Έλλειψη και ορθογώνιο.

#1

Ορθογώνιο είναι εγγεγραμμένο σε έλλειψη. Να αποδειχθεί ότι οι πλευρές του ορθογωνίου είναι παράλληλες στους άξονες της έλλειψης.

#2

Έστω ότι έχουμε το ορθογώνιο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο στην έλλειψη (ε). Τότε θα ορίζεται ο περιγεγραμμένο κύκλος στο ορθογώνιο που θα τέμνει την έλλειψη στα σημεία Α, Β, Γ,Δ. Ισχύει το ακόλουθο θεώρημα που δείχνεται με τη βοήθεια του θεωρήματος του Νεύτωνα.(Ιησουΐτες υπό F.G.M τέταρτος τόμος σελίδα 1104-5 θεωρήματα 885 και 886):
Θεώρημα 886:
Εάν ένας κύκλος τέμνει μια έλλειψη σε τέσσερα σημεία, οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι απέναντι κοινές χορδές του κύκλου και της έλλειψης είναι παράλληλοι προς τους άξονες της έλλειψης.(Σχήμα 1)
Στην περίπτωση που το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο τότε οι απέναντι πλευρές(κοινές χορδές) τέμνονται στο άπειρο και οι διχοτόμοι αυτών που είναι παράλληλες αντίστοιχα προς τις απέναντι πλευρές του ορθογωνίου είναι σύμφωνα με το θεώρημα αυτό και παράλληλες με τους άξονες της έλλειψης. Άρα οι πλευρές του ορθογωνίου θα είναι παράλληλες προς τους άξονες της έλλειψης.

ορθογώνιο σε έλλειψη.fig: (4.63 KiB) Μεταφορτώθηκε 123 φορές

Ανδρέας Πούλος · #3

Κώστα,
σε ευχαριστώ για την υπόδειξη και την προσέγγιση που έκανες στο θέμα.
Έσπαγα το κεφάλι μου από εχτές και δεν έβρισκα μία λογική εξήγηση.
Πρέπει να παρατηρήσω ότι πολλά από τα θέματα που προτείνει ο Θάνος, είναι φαινομενικά απλά, έχουν σχέση με τη σχολική ύλη, αλλά είναι σκληρά καρύδια.
Για το συγκεκριμένο ερώτημα, είναι θέμα "τιμής" να ανακαλύψουμε μία απλούστερη απόδειξη. Είναι μία ενδιαφέρουσα πρόκληση.

Φιλικά,
Ανδρέας πούλος

#4

Έστω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta }$ εγγεγραμμένο σε έλλειψη. Οι χορδές της έλλειψης $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ και $\displaystyle{\Gamma \Delta }$ είναι παράλληλες και ίσες, συνεπώς έχουν κέντρο συμμετρίας το κέντρο $\displaystyle{{\rm O}}$ της έλλειψης (χρειάζεται απόδειξη, αλλά είναι στοιχειώδης).

: Ortho-Eclipse.jpg (13.68 KiB) Προβλήθηκε 1356 φορές

Συνεπώς το κέντρο του ορθογωνίου, ταυτίζεται με το κέντρο της έλλειψης. Άρα ο περιγεγραμμένος κύκλος του ορθογωνίου έχει κέντρο το κέντρο της έλλειψης, και τα σημεία τομής αυτού με την έλλειψη θα είναι οι κορυφές του ορθογωνίου.

Όμως το σύστημα $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + {y^2} = {R^2}} \\ {\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1} \\ \end{array} } \right\}}$ , με τον μετασχηματισμό $\displaystyle{{x^2} = X}$ και $\displaystyle{{y^2} = Y}$ , έχει λύσεις που αντιστοιχούν σε σημεία συμμετρικά ως προς τους άξονες … ο.ε.δ.

Έλλειψη και ορθογώνιο.

Έλλειψη και ορθογώνιο.

Re: Έλλειψη και ορθογώνιο.

Re: Έλλειψη και ορθογώνιο.

Re: Έλλειψη και ορθογώνιο.

Μέλη σε σύνδεση