Ρίζες συνάρτησης 2

erxmer · #1

Δείξτε οτι η εξίσωση $2x^{2+n}+1=3x$ έχει 1 μόνο ρίζα στο διάστημα (0,1).

Εως 12/12

Υγ ν=φυσικός

kwstas12345 · #2

Παρατηεούμε πως το

είναι ρίζα της $\displaystyle f\left(x \right)=2x^{n+2}-3x+1,x \in \left(0,1 \right),n \in \mathbb{N}$ με σχήμα Horner

θα δούμε πως $\displaystyle 2x^{n+2}-3x+1=\left(x-1 \right)\left(2x^{n+1}+2x^{n}+...+2x-1 \right)$ . Αρκεί να δεόξω πως το

$\displaystyle P\left(x \right)=2x^{n+1}+2x^{n}+...+2x-1,x \in \left(0,1 \right), n \in \mathbb{N}$ έχει μοναδική λύση στο $\left(0,1 \right)$

Παρατηρούμε πως $\displaystyle P\left(0 \right)=-1,P\left(1 \right)>0\Rightarrow P\left(0 \right)P\left(1 \right)<0$ και λόγω συνεχειας θα υπάρχει

τουλάχιστον ένα $\displaystyle x_{0} \in \left(0,1 \right):P\left(x_{0} \right)=0$ το οπίο ειναι και μοναδικό αφού:

$\displaystyle P'\left(x \right)=2\left(n+1 \right)x^{n}+2nx^{n-1}+...+2>0,0<x<1$ και η συναρτηση μας ειναι γνησίως αύξουσα.

Ρίζες συνάρτησης 2

Ρίζες συνάρτησης 2

Re: Ρίζες συνάρτησης 2

Μέλη σε σύνδεση