Ανισοτητα

papel · #1

Να βρειτε το συνολο των πραγματικων αριθμων x που ικανοποιει τo ακολουθο συστημα των ανισωσεων :

$\displaystyle{\left| {x - 2} \right| < \left| {x - 1} \right| < \left| x \right|}$

Μεχρι 16 Αυγ. 2009

(Μετα απο την παρατηρηση του κ.Κυριακοπουλου αλλαξα την εκφωνηση.Να μου επιτρεψει
ο κ.Αντωνης την παρατηρηση οτι η φραση να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι ισως ειναι παραπλανητικη
ως προς την ποσοτητα δηλαδη καποιος ισως να πιστευει οτι προκειται για διακριτες η πεπερασμενο το πληθος
τιμες αρα πιο δοκιμος ορος ειναι το συνολο)

Stavroulitsa · #2

Θα κάνω δύο ξεχωριστές ανισότητες για να διευκολυνθώ.
$\left|x-2 \right|<\left|x-1 \right|\Rightarrow \left(\left|x-2 \right| \right)^2<\left(\left|x-1 \right| \right)^2\Rightarrow x^2-4x+4<x^2-2x+1\Rightarrow -2x<-3\Rightarrow x>\frac{3}{2}$ και $\left|x-1 \right|<\left|x \right|\Rightarrow \left(\left|x-1 \right| \right)^2<\left(\left|x \right| \right)^2\Rightarrow x^2-2x+1<x^2\Rightarrow -2x<-1\Rightarrow x>\frac{1}{2}$ άρα $x\epsilon \left(\frac{3}{2},+\propto \right)$ (από τα συμβολα που έχει μόνο αυτό $\propto$ μου θυμίζει το άπειρο...)

Α.Κυριακόπουλος · #3

papel έγραψε:Να βρειτε το συνολο που ικανοποιει την παρακατω ανισοτητα :

$\displaystyle{\left| {x - 2} \right| < \left| {x - 1} \right| < \left| x \right|}$

Μεχρι 16 Αυγ. 2009

Stavroulitsa έγραψε:Θα κάνω δύο ξεχωριστές ανισότητες για να διευκολυνθώ.
$\left|x-2 \right|<\left|x-1 \right|\Rightarrow \left(\left|x-2 \right| \right)^2<\left(\left|x-1 \right| \right)^2\Rightarrow x^2-4x+4<x^2-2x+1\Rightarrow -2x<-3\Rightarrow x>\frac{3}{2}$ και $\left|x-1 \right|<\left|x \right|\Rightarrow \left(\left|x-1 \right| \right)^2<\left(\left|x \right| \right)^2\Rightarrow x^2-2x+1<x^2\Rightarrow -2x<-1\Rightarrow x>\frac{1}{2}$ άρα $x\epsilon \left(\frac{3}{2},+\propto \right)$ (από τα συμβολα που έχει μόνο αυτό $\propto$ μου θυμίζει το άπειρο...)

Αγαπητή Stavroulitsa. Επειδή είσαι τόσο καλή στα μαθηματικά, από τώρα που είσαι μικρή, θα πρέπει να τα μάθεις σωστά. Θα μου επιτρέψεις λοιπόν κάθε φορά που βλέπω κάτι στα γραπτά σου να σου το λέω. Επίσης, θα μου επιτρέψεις να σου συστήσω να μελετήσεις ( όχι να διαβάσεις) πολλές φορές το άρθρο: « ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»( φάκελος καθηγητή).
•Τώρα θέλω να σου επισημάνω ότι όταν λύνουμε μια ανίσωση (ή μια εξίσωση ή ένα σύστημα) προχωρούμε με ισοδυναμίες, γιατί κάθε φορά θέλουμε να έχουμε μια ανίσωση που να έχει, με την προηγούμενη, ακριβώς τις ίδιες λύσεις ( ούτε λιγότερες, ούτε περισσότερες), δηλαδή μια ανίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη. Διαφορετικά, υπάρχει περίπτωση να κάναμε λάθη. Για παράδειγμα, στη λύση που έκανες, από που προκύπτει ότι οι αριθμοί x>3/2, πληρούν τις δοσμένες ανισώσεις και άρα είναι οι ζητούμενοι; Από πουθενά!!!( αφού προχωρείς με συνεπαγωγές).
Με αγάπη.

Υ.Γ. Η άσκηση πρέπει να διατυπωθεί ως εξής:
« Να λυθεί τo σύστημα των ανισώσεων: |x-2|<|x-1|<|x|» ή
«Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x (ή το σύνολο των πραγματικών αριθμών x), για τους οποίους ισχύον οι ανισώσεις:
|x-2|<|x-1|<|x|».
Γιατί:1) Δεν πρόκειται περί ανισοτήτων, αλλά περί ανισώσεων.
2) Οι ανισώσεις είναι δύο και όχι μια.
3) .O άγνωστος x δεν είναι σύνολο, αλλά αριθμός.

Stavroulitsa · #4

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και χαίρομαι που με διορθώνεται, μάλιστα αυτός είναι ο σκοπός μου, να μάθω να διατυπώνω σωστά τις λύσεις μου. Ειλικρινά δεν κατάλαβα τη διαφορά ανάμεσα στην ισοδυναμία και στη συνεπαγωγή. Τώρα έχω αρχίσει να καταλαβαίνω κάτι, θα μελετήσω το αρθρο σας και να μου επιτρέψεται να σας ενοχλήσω αν δεν καταλάβω κάτι ή αν έχω απορίες, ώστε να μου τα εξηγήσεται πιο απλά γιατί το γράψιμό σας είναι υψηλού επιπέδου και και μου είναι λίγο δύσκολο να το κατανοήσω...

Α.Κυριακόπουλος · #5

Stavroulitsa έγραψε:Σας ευχαριστώ πάρα πολύ και χαίρομαι που με διορθώνεται, μάλιστα αυτός είναι ο σκοπός μου, να μάθω να διατυπώνω σωστά τις λύσεις μου. Ειλικρινά δεν κατάλαβα τη διαφορά ανάμεσα στην ισοδυναμία και στη συνεπαγωγή. Τώρα έχω αρχίσει να καταλαβαίνω κάτι, θα μελετήσω το αρθρο σας και να μου επιτρέψεται να σας ενοχλήσω αν δεν καταλάβω κάτι ή αν έχω απορίες, ώστε να μου τα εξηγήσεται πιο απλά γιατί το γράψιμό σας είναι υψηλού επιπέδου και και μου είναι λίγο δύσκολο να το κατανοήσω...

Αγαπητή Stavroulitsa. Είμαι πάντα στη διάθεσή σου, αρκεί αυτά που θα μου ζητάς να λέγονται σε ένα μήνυμα.
Με απλά λόγια:
• Σε μία συνεπαγωγή ισχύει σίγουρα το « ευθύ». Δεν είναι απαραίτητο να ισχύει και το αντίστροφο. Παραδείγματα:
1) ( έπεσα στη θάλασσα) $\Rightarrow$ ( βράχηκα) ,αληθής( όχι όμως και το αντίστροφο).
2) $\alpha ^{2}=\beta ^{2}\Rightarrow |\alpha |=|\beta|$ ,αληθής( ισχύει και το αντίστροφο).
3)α>β $\Rightarrow \alpha ^{2}>\beta ^{2}$ ,ψευδής.
• Σε μια ισοδυναμία ισχύει απαραίτητα και το «ευθύ» και το αντίστροφο. Παραδείγματα:
1) $\alpha ^{2}=\beta ^{2}\Leftrightarrow |\alpha |=|\beta|$ , αληθής.
2)( έπεσα στη θάλασσα) $\Leftrightarrow$ ( βράχηκα) ,ψευδής( γιατί δεν ισχύει το αντίστροφο).
Stavroulitsa.τα σύμβολα $\Rightarrow$ και $\Leftrightarrow$ ,καθώς και τα "όχι","και" και "ή",ανεξάρτητα πως τα χρησιμοποιούμε στην καθημερινή γλώσσα , στα μαθηματικά τα χρησιμοποιούμε όπως ορίζονται (με μεγάλη σαφήνεια) στη Μαθηματική Λογική. Λέγονται « λογική σύνδεσμοι». Πρέπει ακόμα να σε προειδοποιήσω ότι η κοινή Λογική δεν ταυτίζεται πάντοτε με την Μαθηματική Λογική.
•Και κάτι ακόμα πολύ σοβαρό. Σε μια απόδειξη γράφουμε, από αυτά που ισχύουν, μόνο εκείνα που χρειαζόμαστε για να κάνουμε την απόδειξη. Αν κάτι ισχύει αλλά δεν μας χρειάζεται στην απόδειξη ,θα είναι λάθος να το γράψουμε ( το σχολικά βιβλία είναι γεμάτα από τέτοια λάθη).

Με αγάπη.

Α.Κυριακόπουλος · #6

papel έγραψε:
(Μετα απο την παρατηρηση του κ.Κυριακοπουλου αλλαξα την εκφωνηση.Να μου επιτρεψει
ο κ.Αντωνης την παρατηρηση οτι η φραση να βρεθουν οι πραγματικοι αριθμοι ισως ειναι παραπλανητικη
ως προς την ποσοτητα δηλαδη καποιος ισως να πιστευει οτι προκειται για διακριτες η πεπερασμενο το πληθος
τιμες αρα πιο δοκιμος ορος ειναι το συνολο)

Αγαπητέ papel.
Η φράση: «Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί» δεν είναι καθόλου παραπλανητική. Γιατί εννοούμε να βρεθούν όλοι οι αριθμοί, όποιο και αν είναι το πλήθος τους: πεπερασμένο ή άπειρο (αριθμήσιμο ή όχι).
● Η παραπάνω φράση δεν είναι παραπλανητική, ακόμα και στην περίπτωση που δεν υπάρχουν τέτοιοι αριθμοί (που ζητάμε), γιατί πριν να λύσουμε την άσκηση δεν ξέρουμε αν υπάρχουν και πόσοι.
● Τον τίτλο γιατί δεν τον διόρθωσες; (ανίσωση και όχι ανισότητα).

Ανισοτητα

Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Re: Ανισοτητα

Μέλη σε σύνδεση