γ.τ.

Α.Κυριακόπουλος · #1

Στον μιγαδικό επίπεδο, να βρείτε τον γ.τ. των εικόνων Μ των μιγαδικών αριθμών z, για τους οποίους οι εικόνες των αριθμών z, i και zi είναι σημεία συνευθειακά. Έστω ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ω και φ ανήκουν στον προηγούμενο γ.τ. Να αποδείξετε (όχι γεωμετρικά) ότι: $\displaystyle{\left| {\omega - \varphi } \right| \le \sqrt 2 }$ .

•Λύση από μαθητές έως: 25/6/2010.

chris · #2

Αν $z=x+y\iota$ τοτε η εικόνα του z είναι τα σημεία Α(χ,y) , η εικόνα του

είναι τα σημεία Β(-y,x) ενώ η εικόνα του

είναι το σημείο Γ(0,1)
Ισχυει: $\vec{AB}=(-y-x,x-y)$ και $\vec{A\Gamma }=(-x,1-y)$
Πρέπει $det(\vec{AB},\vec{A\Gamma })=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} -y-x &x-y \\ -x& 1-y \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-x+y=0$
Αρα κύκλος κέντρου $K(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ και ακτίνα $p=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Επίσης $\left|z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Άρα $\left|\omega -\varphi \right|=\left|(\omega -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota)-(\varphi -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota ) \right|\leq \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Α.Κυριακόπουλος · #3

chris έγραψε:Αν $z=x+y\iota$ τοτε η εικόνα του z είναι τα σημεία Α(χ,y) , η εικόνα του είναι τα σημεία Β(-y,x) ενώ η εικόνα του είναι το σημείο Γ(0,1)
Ισχυει: $\vec{AB}=(-y-x,x-y)$ και $\vec{A\Gamma }=(-x,1-y)$
Πρέπει $det(\vec{AB},\vec{A\Gamma })=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} -y-x &x-y \\ -x& 1-y \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-x+y=0$
Αρα κύκλος κέντρου $K(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ και ακτίνα $p=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Επίσης $\left|z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Άρα $\left|\omega -\varphi \right|=\left|(\omega -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota)-(\varphi -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota ) \right|\leq \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Αγαπητέ μαθητή ( μαθήτρια;) chris.
Πρέπει να βελτιώσεις της εκφράσεις σου ώστε να είσαι σαφής και απόλυτα σωστός. Σου επισημαίνω τα σημεία αυτά για να βελτιωθείς:
1) … η εικόνα του z είναι τα σημεία A(x,y). Το σωστό είναι: … η εικόνα του z είναι το σημείο A(x,y). Όμοια: … η εικόνα του zi είναι το σημείο Β(-y,x)( και όχι… τα σημεία..).
2) Αυτό που θα σου γράψω τώρα είναι πολύ σοβαρό και θα πρέπει να το προσέξεις ιδιαιτέρως. Ζητάμε να βρούμε γ.τ.. Επομένως ή θα πρέπει να διατηρήσουμε τις ισοδυναμίες ή αν όχι να αποδείξουμε και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε σημείο του σχήματος που βρήκαμε ανήκει στο ζητούμενο γ.τ.
Εσύ όμως χρησιμοποιείς τη λέξη «πρέπει», που σημαίνει « συνεπάγεται» και επομένως δεν έχεις ισοδυναμίες ( άσχετα αν παρακάτω βάζεις ισοδυναμίες). Από που λοιπόν προκύπτει ότι όλα τα σημεία του κύκλου που βρήκες ανήκουν στο ζητούμενο γ.τ.; Προφανώς από πουθενά!!! Το σωστό λοιπόν είναι, μετά την εύρεση των διανυσμάτων, για να είσαι σωστός και περισσότερο σαφής, να προχωρήσεις ως εξής:
• Για να είναι τα σημεία Α,Β και Γ συνευθειακά πρέπει και αρκεί ( που σημαίνει : ισοδυναμεί, και όχι πρέπει) κτλ.
Φιλικά.

chris · #4

Αγαπητέ κ.Αντώνη,
Οπως σίγουρα καταλαβαίνετε αυτή δε θα μπορούσε να είναι ποτέ η εικόνα ενός επίσημου γραπτού αφού σίγουρα υπάρχουν αρκετές ελλείψεις.Σκεφτείτε για παράδειγμα οτι δεν αναφέρω καν οτι οι μιγαδικοί ανήκουν στον προηγούμενο γ.τ. για να αιτιολογήσω την απάντηση στο δεύτερο ερώτημα.Όσον αφορά τις παρατηρήσεις που κάνατε έχω να πω τα εξής:

Πρέπει να βελτιώσεις της εκφράσεις σου ώστε να είσαι σαφής και απόλυτα σωστός

Νομίζω οτι δεν υπάρχει ασάφεια σην έκφρασή μου. Συγκεκριμένα η αποψή σας είναι οτι η λύση μου δεν είναι απόλυτα σωστή και συμφωνώ με αυτό.Όμως άλλο ορθότητα και άλλο σαφήνεια.Δεν νομίζω να υπάρχει σημείο της προηγούμενης δημοσίευσής μου όπου δεν καταλάβατε τι θέλω να πω(άσχετα με το αν είναι σωστό).

η εικόνα του z είναι τα σημεία A(x,y). Το σωστό είναι: … η εικόνα του z είναι το σημείο A(x,y). Όμοια: … η εικόνα του zi είναι το σημείο Β(-y,x)( και όχι… τα σημεία..).

Ως προς αυτό το σημείο έχω να πω οτι σκόπιμα χρησιμοποίησα το άρθρο "τα" και στις δύο περιπτώσεις αφού τα σημεία Α,Β δεν μπορεί να είναι συγκεκριμένα καθώς μεταβάλλονται ανάλογα με τις τιμές των χ,y.Αντίθετα το απόλυτα προσδιοριστικό άρθρο "το" τα συγκεκριμενοποιεί αψηφώντας τη μεταβλητότητά τους.Παρατηρήστε οτι για το Γ επειδή είναι συγκεκριμένο και δεν πρόκειτε να αλλάξει χρησιμοποιώ ενικό.

Αυτό που θα σου γράψω τώρα είναι πολύ σοβαρό και θα πρέπει να το προσέξεις ιδιαιτέρως. Ζητάμε να βρούμε γ.τ.. Επομένως ή θα πρέπει να διατηρήσουμε τις ισοδυναμίες ή αν όχι να αποδείξουμε και το αντίστροφο, δηλαδή ότι κάθε σημείο του σχήματος που βρήκαμε ανήκει στο ζητούμενο γ.τ.
Εσύ όμως χρησιμοποιείς τη λέξη «πρέπει», που σημαίνει « συνεπάγεται» και επομένως δεν έχεις ισοδυναμίες ( άσχετα αν παρακάτω βάζεις ισοδυναμίες). Από που λοιπόν προκύπτει ότι όλα τα σημεία του κύκλου που βρήκες ανήκουν στο ζητούμενο γ.τ.; Προφανώς από πουθενά!!! Το σωστό λοιπόν είναι, μετά την εύρεση των διανυσμάτων, για να είσαι σωστός και περισσότερο σαφής, να προχωρήσεις ως εξής:
• Για να είναι τα σημεία Α,Β και Γ συνευθειακά πρέπει και αρκεί ( που σημαίνει : ισοδυναμεί, και όχι πρέπει) κτλ.

Σε αυτό το σημείο έχω απλώς να πω οτι συμφωνώ απόλυτα. Η χρήση της ισοδυναμίας είναι απαραίτητη σε αυτή την περίπτωση ωστόσο επαναλαμβάνω οτι αυτή ειναι απλώς μία μη επίσημη λύση την οποία χρησιμοποιώ για να αντιληφθήτε εσείς αλλά και όποιος παρακολουθεί το θέμα τον τρόπο σκέψης και λύσης.Φυσικά αυτό δε σημαίνει οτι στις μη επίσημες λύσεις πρέπει να γράφουμε με μεγαλύτερη προχειρότητα.Απλά παρατηρήστε λύσεις άλλων συναδέλφων σας και κυρίως μαθητών για ναδείτε οτι τα μικρολάθη δεν αποφεύγονται ποτέ κάτι απολύτως φυσιολογικό αφού η επικοινωνία γίνεται απο ένα ηλεκτρονικό μέσο και οι δοθείσες λύσεις αποσκοπούν απλώς στην επίλυση της άσκησης και όχι στη απολυτα ορθή λύση τόσο απο μαθηματικής όσο και γλωσσικής πλευράς.

$\bullet$ Σε γενικές γραμμές θα ήθελα να σας ευχαριστήσω που μου επισημάνατε τα λάθη και να τονίσω οτι αυτό που πρέπει να μας ενδιαφέρει πρωτίστως είναι "το δάσος και όχι το δέντρο". Τα μαθηματικά σίγουρα έχουν και λεπτομέρεις αλλά αν είναι να μένουμε μόνο σε αυτές τότε το μάθημα θα έχανε την αναμφισβήτητη ομορφιά που έχει(και αυτό το λέω γιατί μου αρέσουν τα μαθηματικά γιατί σου μαθαίνουν να σκέφτεσαι να πράττεις και να να μαθαίνεις απο τα λάθη σου)

Με σεβασμό,
Χρήστος

air · #5

chris έγραψε:αυτό που πρέπει να μας ενδιαφέρει πρωτίστως είναι "το δάσος και όχι το δέντρο". Τα μαθηματικά σίγουρα έχουν και λεπτομέρεις αλλά αν είναι να μένουμε μόνο σε αυτές τότε το μάθημα θα έχανε την αναμφισβήτητη ομορφιά που έχει(και αυτό το λέω γιατί μου αρέσουν τα μαθηματικά γιατί σου μαθαίνουν να σκέφτεσαι να πράττεις και να να μαθαίνεις απο τα λάθη σου)

Α.Κυριακόπουλος · #6

chris έγραψε:Αγαπητέ κ.Αντώνη,
Οπως σίγουρα καταλαβαίνετε αυτή δε θα μπορούσε να είναι ποτέ η εικόνα ενός επίσημου γραπτού αφού σίγουρα υπάρχουν αρκετές ελλείψεις. Σκεφτείτε για παράδειγμα οτι δεν αναφέρω καν οτι οι μιγαδικοί ανήκουν στον προηγούμενο γ.τ. για να αιτιολογήσω την απάντηση στο δεύτερο ερώτημα

Αγαπητέ Χρήστο. Αν αυτή δεν θα μπορούσε να είναι η εικόνα ενός επίσημου γραπτού, το οποίο θα δει μόνο ο εξεταστής, τότε πολύ περισσότερο δεν θα μπορούσε να είναι η εικόνα μιας δημοσίευσης, την οποία θα δουν ίσως και χιλιάδες, μεταξύ των οποίων και μαθητές, οι οποίοι θα μπορούσαν και να παραδειγματιστούν.

chris έγραψε:Ως προς αυτό το σημείο έχω να πω οτι σκόπιμα χρησιμοποίησα το άρθρο "τα" και στις δύο περιπτώσεις αφού τα σημεία Α,Β δεν μπορεί να είναι συγκεκριμένα καθώς μεταβάλλονται ανάλογα με τις τιμές των χ,y.Αντίθετα το απόλυτα προσδιοριστικό άρθρο "το" τα συγκεκριμενοποιεί αψηφώντας τη μεταβλητότητά τους.Παρατηρήστε οτι για το Γ επειδή είναι συγκεκριμένο και δεν πρόκειτε να αλλάξει χρησιμοποιώ ενικό.

Χρήστο. Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι κάνεις λάθος, γιατί κάθε μιγαδικός αριθμός z έχει μία μόνο εικόνα και όχι πολλές. Στο επισήμανα, γιατί δεν στέκει να λες: «η εικόνα του z»( εννοείς μια και είναι σωστό) « είναι τα σημεία…»( και να εννοείς πολλά). Εδώ αναφέρεται η ασάφεια που γράφω.

chris έγραψε:Σε αυτό το σημείο έχω απλώς να πω οτι συμφωνώ απόλυτα. Η χρήση της ισοδυναμίας είναι απαραίτητη σε αυτή την περίπτωση ωστόσο επαναλαμβάνω οτι αυτή ειναι απλώς μία μη επίσημη λύση την οποία χρησιμοποιώ για να αντιληφθήτε εσείς αλλά και όποιος παρακολουθεί το θέμα τον τρόπο σκέψης και λύσης. Φυσικά αυτό δε σημαίνει οτι στις μη επίσημες λύσεις πρέπει να γράφουμε με μεγαλύτερη προχειρότητα. Απλά παρατηρήστε λύσεις άλλων συναδέλφων σας και κυρίως μαθητών για να δείτε οτι τα μικρολάθη δεν αποφεύγονται ποτέ κάτι απολύτως φυσιολογικό αφού η επικοινωνία γίνεται απο ένα ηλεκτρονικό μέσο και οι δοθείσες λύσεις αποσκοπούν απλώς στην επίλυση της άσκησης και όχι στη απολυτα ορθή λύση τόσο απο μαθηματικής όσο και γλωσσικής πλευράς.

Αγαπητέ Χρήστο. Θα μου επιτρέψεις να πω ότι σε αυτά που γράφεις βλέπω μερικές αντιφάσεις: «.. αυτή είναι απλώς μία μη επίσημη λύση…», «..Φυσικά αυτό δε σημαίνει οτι στις μη επίσημες λύσεις πρέπει να γράφουμε με μεγαλύτερη προχειρότητα…». Και δεν είναι καθόλου «απολύτως φυσιολογικό» να γίνονται λάθη επειδή η επικοινωνία γίνεται από ένα ηλεκτρονικό μέσο. Το αντίθετο θα έλεγα ότι ισχύει, γιατί έχουμε την άνεση να σκεφτόμαστε όταν έχουμε διάθεση και χωρίς πίεση. Στα μαθηματικά δεν υπάρχει λύση « απόλυτα ορθή» και « σχετικά ορθή», από κάθε άποψη. Μια λύση ή είναι σωστή ή δεν είναι. Άλλο είναι να κάνουμε λάθος σε μια άσκηση και άλλο είναι «..οι δοθείσες λύσεις αποσκοπούν απλώς στην επίλυση της άσκησης και όχι στη απολυτα ορθή λύση τόσο απο μαθηματικής όσο και γλωσσικής πλευράς». Αυτό ομολογώ ότι δεν το καταλαβαίνω. Και βέβαια πρέπει να αποσκοπούμε στην ορθή λύση μιας άσκησης από κάθε άποψη. Επειδή μερικές φορές βλέπουμε πρόχειρες λύσεις ή και λανθασμένες πρέπει να τους μιμηθούμε; Σαν μεγαλύτερος (στην ηλικία) που είμαι θα σε συμβούλευα από όσα βλέπεις να κρατάς μόνο τα καλά και τα σωστά.

chris έγραψε: $\bullet$ Σε γενικές γραμμές θα ήθελα να σας ευχαριστήσω που μου επισημάνατε τα λάθη και να τονίσω οτι αυτό που πρέπει να μας ενδιαφέρει πρωτίστως είναι "το δάσος και όχι το δέντρο". Τα μαθηματικά σίγουρα έχουν και λεπτομέρεις αλλά αν είναι να μένουμε μόνο σε αυτές τότε το μάθημα θα έχανε την αναμφισβήτητη ομορφιά που έχει(και αυτό το λέω γιατί μου αρέσουν τα μαθηματικά γιατί σου μαθαίνουν να σκέφτεσαι να πράττεις και να να μαθαίνεις απο τα λάθη σου)

Αγαπητέ Χρήστο. Θέλω να πιστέψεις ότι δεν είχα σκοπό να σε προσβάλω. Αντίθετα σκοπός μου είναι να σε βοηθήσω να δεις σωστά τα μαθηματικά. Από τώρα που είσαι μικρός, πρέπει να καταλάβεις ότι τα μαθηματικά είναι «λεπτομέρειες». Γιατί , αν σε μια λύση, μια λεπτομέρεια δεν είναι σωστή, τότε ολόκληρη η λύση δεν είναι σωστή. Στα μαθηματικά μας ενδιαφέρει πρωτίστως « το δέντρο», γιατί μόνον τότε «το δάσος» θα είναι σωστά δομημένο. Τα περί «δέντρου» και «δάσους» ισχύουν για άλλες περιπτώσεις και όχι στα μαθηματικά.
Αγαπητέ Χρήστο. Έχω την αίσθηση ότι το θέμα το πείρες εγωιστικά. Πρέπει όμως να ξέρεις ότι στα μαθηματικά δεν χωράνε εγωισμοί. Ότι είχα να πω σου το είπα και δεν θα είχε κανένα νόημα να αντιπαρατεθώ μαζί σου. Θα μου επιτρέψεις, λοιπόν από τη μεριά μου να κλείσω εδώ το θέμα, ό,τι και να απαντήσεις.

alkinoos · #7

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Αγαπητέ Χρήστο. Θέλω να πιστέψεις ότι δεν είχα σκοπό να σε προσβάλω. Αντίθετα σκοπός μου είναι να σε βοηθήσω να δεις σωστά τα μαθηματικά. Από τώρα που είσαι μικρός, πρέπει να καταλάβεις ότι τα μαθηματικά είναι «λεπτομέρειες». Γιατί , αν σε μια λύση, μια λεπτομέρεια δεν είναι σωστή, τότε ολόκληρη η λύση δεν είναι σωστή. Στα μαθηματικά μας ενδιαφέρει πρωτίστως « το δέντρο», γιατί μόνον τότε «το δάσος» θα είναι σωστά δομημένο. Τα περί «δέντρου» και «δάσους» ισχύουν για άλλες περιπτώσεις και όχι στα μαθηματικά.

Μάκης Χατζόπουλος · #8

air έγραψε:

alkinoos έγραψε:

Πολλούς χειροκροτητές-κλακαδόρους έχουμε βρε παιδιά, δεν χρειάζεται να χωριστείτε σε στρατόπεδα αφού οι άνθρωποι τα έχουμε βρει, απλά αντιπαραθέτουν διαφορετικά σκεπτικά, δεν χρειάζεται να ανάβετε τα αίματα...

air · #9

Θεωρώ ότι ούτε εγώ ούτε ο Αλκίνοος προσπαθήσαμε να "ανάψουμε τα αίματα", ούτε να χωρίσουμε οποιονδήποτε σε στρατόπεδα. Σε ένα διάλογο άλλωστε δεν υπάρχουν στρατόπεδα, αλλά μόνο οι διαφορετικές απόψεις που ανταλάσσονται.

Έτσι σε αυτό το πλαίσιο του διαλόγου, επικροτώντας το συγκεκριμένο απόσπασμα, ήθελα απλά να δείξω ότι συμφωνώ απόλυτα με αυτήν την άποψη, καθώς και το γεγονός ότι δε θα μπορούσα να το είχα εκφράσει καλύτερα. Το να συμμερίζεται κάποιος μια άποψη, δηλώνοντας το, πιστεύω ότι αποτελεί τμήμα της ανθρώπινης επικοινωνίας. Ίσως στα fora αυτό δεν είναι τοσο συνηθισμένο, αλλά και πάλι συχνά συναντά κανείς συντομογραφίες όπως το "QFT" (quoted for truth) που εκφράζουν ακριβώς αυτό.

Παρ'ολ'αυτά, θα εξηγήσω λίγο πιο αναλυτικά τη θέση μου.. (από καθαρό εγωισμό γιατί δε μου αρέσει να χαρακτηρίζομαι "κλακαδόρος").

Γενικά, οι απόψεις του κύριου Κυριακόπουλου- τουλάχιστον αυτές που είναι δημοσιευμένες στο συγκεκριμένο ιστότοπο- και που αφορούν τα μαθηματικά είναι σχεδόν πάντοτε απολύτως ορθές. Λίγοι γνωρίζουν τα μαθηματικά και ιδιαίτερα τη Μαθηματική Λογική σε τέτοιο βάθος.

Και όμως, θεωρώ ότι εδώ το ζητούμενο δεν είναι τα Μαθηματικά, αυτή η λογικά θεμελιωμένη επιστήμη, αλλά είναι ο μαθητής και τα Μαθηματικά. Εδώ το ζητούμενο δεν είναι τόσο το δέντρο και οι λεπτομέρειες, αλλά το δάσος. Ο σκοπός σε πρώτη φάση είναι ο μαθητής να αρχίσει να ενδιαφέρεται. Στη συνέχεια θα αρχίσει να "ψάχνεται", και να βλέπει την ομορφιά των "δέντρων" των Μαθηματικών. Εδώ λοιπόν η υπερβολική αυστηρότητα όσον αφορά τη λογική μπορεί να γίνει κουραστική. Έτσι, ενώ αναμφισβήτητα είναι απαραίτητη προυπόθεση η γνώση της μαθηματικής λογικής, η τυπικότητα όσον αφορά αυτή σε αυτό το στάδιο μπορεί να απομακρύνει το μαθητή από τα μαθηματικά. Σε αυτά τα αρχικά στάδια η ομορφιά των μαθηματικών είναι κυρίως η διανοητική πορεία που οδηγεί στη λύση μιας άσκησης. Δηλαδή αν και πρέπει κανείς να γνωρίζει τη βάση (Λογική), ώστε αφενός να μπορεί να καταλάβει σε κάποιο βαθμό για ποιον λόγο ισχύουν οι διάφορες σχέσεις και αφετέρου ώστε να αποφεύγει τα "χοντρά" λάθη, αυτή δεν αποτελεί την ομορφιά. (Ή καλύτερα: Η ίδια η μαθηματική λογική με την αυστηρότητά της και τα διάφορα συμπεράσματα που προκύπτουν με βάση αυτή είναι εξαιρετικά όμορφη - η απόλυτη, τυπική, αυστηρή εφαρμογή της όμως δεν είναι τόσο ευχάριστη. )

Έτσι στη λύση του Chris δε βλέπω πρόβλημα, εφόσον είναι σίγουρο ότι έλεγξε έστω και στο μυαλό του αν π.χ. ισχύει το αντίστροφο. Το να το καταγράξει κιόλας όμως είναι άλλο θέμα..

(Στη λέξη μαθητή συμπεριλαμβάνω οποιονδήποτε ασχολείται με τα μαθηματικά από ενδιαφέρον και μόνο ανεξαρτήτως ηλικίας.)

Σημείωση: Και τα γράφω όλα αυτά εγώ ως μαθητής που αν δεν είχα την τύχη στην αρχή της χρονιάς να διαβάσω την εξαιρετική εργασία του Κύριου Κυριακόπουλου πάνω στη Μαθηματική Λογική (για την οποία και τον ευχαριστώ), πιθανότατα τα μαθηματικά δε θα μου άρεσαν, θα αποστασιοποιόμουν από αυτά, μένοντας στη φροντιστηριακή μεθοδολογία όπως και έκαναν οι περισσότεροι συμμαθητές μου. Χωρίς αυτή δε θα καταλάβαινα γιατί ο συλλογισμός " Έστω ότι ισχύει $\Rightarrow$ Αληθές" δεν είναι απόδειξη! Και πάλι επιμένω ότι στην αρχή δεν είναι τόσο σημαντική η αυστηρότητα.

Αυτή η μέση οδός που προτείνω βέβαια παραμένει προσωπική άποψη και πιθανότατα δεν αντιστοιχεί σε κάποιον που είναι σίγουρος ότι π.χ. θέλει να πάει στο μαθηματικό. (Αν και ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση πιστεύω ότι αυτός πέρασε κάποιο στάδιο, παλιότερα, στο οποίο η ευχαρίστηση στα μαθηματικά δεν ήταν τόσο η Λογική..)

Α.Κυριακόπουλος · #10

air έγραψε:Θεωρώ ότι ούτε εγώ ούτε ο Αλκίνοος προσπαθήσαμε να "ανάψουμε τα αίματα", ούτε να χωρίσουμε οποιονδήποτε σε στρατόπεδα. Σε ένα διάλογο άλλωστε δεν υπάρχουν στρατόπεδα, αλλά μόνο οι διαφορετικές απόψεις που ανταλάσσονται.

Έτσι σε αυτό το πλαίσιο του διαλόγου, επικροτώντας το συγκεκριμένο απόσπασμα, ήθελα απλά να δείξω ότι συμφωνώ απόλυτα με αυτήν την άποψη, καθώς και το γεγονός ότι δε θα μπορούσα να το είχα εκφράσει καλύτερα. Το να συμμερίζεται κάποιος μια άποψη, δηλώνοντας το, πιστεύω ότι αποτελεί τμήμα της ανθρώπινης επικοινωνίας. Ίσως στα fora αυτό δεν είναι τοσο συνηθισμένο, αλλά και πάλι συχνά συναντά κανείς συντομογραφίες όπως το "QFT" (quoted for truth) που εκφράζουν ακριβώς αυτό.

Παρ'ολ'αυτά, θα εξηγήσω λίγο πιο αναλυτικά τη θέση μου.. (από καθαρό εγωισμό γιατί δε μου αρέσει να χαρακτηρίζομαι "κλακαδόρος").

Γενικά, οι απόψεις του κύριου Κυριακόπουλου- τουλάχιστον αυτές που είναι δημοσιευμένες στο συγκεκριμένο ιστότοπο- και που αφορούν τα μαθηματικά είναι σχεδόν πάντοτε απολύτως ορθές. Λίγοι γνωρίζουν τα μαθηματικά και ιδιαίτερα τη Μαθηματική Λογική σε τέτοιο βάθος.

Και όμως, θεωρώ ότι εδώ το ζητούμενο δεν είναι τα Μαθηματικά, αυτή η λογικά θεμελιωμένη επιστήμη, αλλά είναι ο μαθητής και τα Μαθηματικά. Εδώ το ζητούμενο δεν είναι τόσο το δέντρο και οι λεπτομέρειες, αλλά το δάσος. Ο σκοπός σε πρώτη φάση είναι ο μαθητής να αρχίσει να ενδιαφέρεται. Στη συνέχεια θα αρχίσει να "ψάχνεται", και να βλέπει την ομορφιά των "δέντρων" των Μαθηματικών. Εδώ λοιπόν η υπερβολική αυστηρότητα όσον αφορά τη λογική μπορεί να γίνει κουραστική. Έτσι, ενώ αναμφισβήτητα είναι απαραίτητη προυπόθεση η γνώση της μαθηματικής λογικής, η τυπικότητα όσον αφορά αυτή σε αυτό το στάδιο μπορεί να απομακρύνει το μαθητή από τα μαθηματικά. Σε αυτά τα αρχικά στάδια η ομορφιά των μαθηματικών είναι κυρίως η διανοητική πορεία που οδηγεί στη λύση μιας άσκησης. Δηλαδή αν και πρέπει κανείς να γνωρίζει τη βάση (Λογική), ώστε αφενός να μπορεί να καταλάβει σε κάποιο βαθμό για ποιον λόγο ισχύουν οι διάφορες σχέσεις και αφετέρου ώστε να αποφεύγει τα "χοντρά" λάθη, αυτή δεν αποτελεί την ομορφιά. (Ή καλύτερα: Η ίδια η μαθηματική λογική με την αυστηρότητά της και τα διάφορα συμπεράσματα που προκύπτουν με βάση αυτή είναι εξαιρετικά όμορφη - η απόλυτη, τυπική, αυστηρή εφαρμογή της όμως δεν είναι τόσο ευχάριστη. )

Έτσι στη λύση του Chris δε βλέπω πρόβλημα, εφόσον είναι σίγουρο ότι έλεγξε έστω και στο μυαλό του αν π.χ. ισχύει το αντίστροφο. Το να το καταγράξει κιόλας όμως είναι άλλο θέμα..

(Στη λέξη μαθητή συμπεριλαμβάνω οποιονδήποτε ασχολείται με τα μαθηματικά από ενδιαφέρον και μόνο ανεξαρτήτως ηλικίας.)

Σημείωση: Και τα γράφω όλα αυτά εγώ ως μαθητής που αν δεν είχα την τύχη στην αρχή της χρονιάς να διαβάσω την εξαιρετική εργασία του Κύριου Κυριακόπουλου πάνω στη Μαθηματική Λογική (για την οποία και τον ευχαριστώ), πιθανότατα τα μαθηματικά δε θα μου άρεσαν, θα αποστασιοποιόμουν από αυτά, μένοντας στη φροντιστηριακή μεθοδολογία όπως και έκαναν οι περισσότεροι συμμαθητές μου. Χωρίς αυτή δε θα καταλάβαινα γιατί ο συλλογισμός " Έστω ότι ισχύει $\Rightarrow$ Αληθές" δεν είναι απόδειξη! Και πάλι επιμένω ότι στην αρχή δεν είναι τόσο σημαντική η αυστηρότητα.

Αυτή η μέση οδός που προτείνω βέβαια παραμένει προσωπική άποψη και πιθανότατα δεν αντιστοιχεί σε κάποιον που είναι σίγουρος ότι π.χ. θέλει να πάει στο μαθηματικό. (Αν και ακόμα και σε αυτήν την περίπτωση πιστεύω ότι αυτός πέρασε κάποιο στάδιο, παλιότερα, στο οποίο η ευχαρίστηση στα μαθηματικά δεν ήταν τόσο η Λογική..)

Αγαπητέ air.
• Σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Αυτά που γράφεις είναι η μεγαλύτερη ανταμοιβή που θα μπορούσα να έχω. Γιατί όχι μόνον βλέπω ότι οι κόποι μου δεν πάνε χαμένοι, αλλά μου δίνουν και κουράγιο να συνεχίσω. Τα λόγια που γράφεις τα ακούω συχνά από τους (παλιούς) μαθητές μου. Καταλαβαίνεις τη συγκίνηση που νιώθω όταν τα ακούω και από σημερινούς μαθητές.
• Επανέρχομαι στο θέμα μόνο και μόνο για να σου πω ότι από τη λύση που έκανε ο Χρήστος κατάλαβα ότι πρόκειται για πολύ καλό μαθητή. Σκοπός μου δεν ήταν να τον θίξω. Απλά ήθελα να του υποδείξω μερικά πράγματα για να γίνει ακόμα καλύτερος. Έχω τη γνώμη ότι από τώρα που είσαστε μικροί πρέπει τα μαθηματικά να τα βάλετε σωστά στο μυαλό σας, γιατί αν τώρα κάτι το μάθετε στραβά, αργότερα είναι πολύ δύσκολο να το διορθώσετε. Όσο για την Μαθηματική Λογική, δεν πρέπει να ξεχνάς ότι: « Τα Μαθηματικά θεμελιώνονται, κατανοούνται και αναπτύσσονται με τη βοήθεια της Μαθηματικής Λογικής».
Με εκτίμηση και αγάπη.

chris · #11

Αγαπητοι air , κ.Αντώνη και κ.Μάκη(με χαρά βλέπω οτι πλυθήναμε και όχι όπως προαναφέρθηκε αντιπαρατεθήκαμε),

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Πολλούς χειροκροτητές-κλακαδόρους έχουμε βρε παιδιά, δεν χρειάζεται να χωριστείτε σε στρατόπεδα αφού οι άνθρωποι τα έχουμε βρει, απλά αντιπαραθέτουν διαφορετικά σκεπτικά, δεν χρειάζεται να ανάβετε τα αίματα...

Συμφωνώ.Δεν νομίζω να υπήρξε αντιπαράθεση και διάθεση αντιπαράθεσης ούτε μία στιγμή.Δεν είναι αυτός ο σκοπός ούτε του κ.Αντώνη ούτε δικός μου. Μοναδικός σκοπός μου είναι να μάθω μαθηματικά σωστά και για αυτό το λόγο έγραψα οτι έγραψα στο προηγούμενο μύνημα, γιατί αυτά πίστευα μέχρι τώρα τουλάχιστον και είμαι σίγουρος οτι δεν υπάρχει καταλληλότερος απο τον κύριο Αντώνη(και δεν το πιστεύω μόνο εγώ) για να μου μάθει μαθηματικά.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Χρήστο. Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι κάνεις λάθος, γιατί κάθε μιγαδικός αριθμός z έχει μία μόνο εικόνα και όχι πολλές. Στο επισήμανα, γιατί δεν στέκει να λες: «η εικόνα του z»( εννοείς μια και είναι σωστό) « είναι τα σημεία…»( και να εννοείς πολλά). Εδώ αναφέρεται η ασάφεια που γράφω.

Αν αυτό που αναφέρετε εδώ είναι σωστό(και για να το λέτε εσείς σίγουρα είναι) τότε το αποδέχομαι και απο εδώ και μπρος το εφαρμόζω.Όμως να ξέρετε οτι αυτό που είχα προαναφέρει εγώ ήταν απλώς τι πίστευα μέχρι στιγμής για αυτό το σημείο και δεν προσπάθησα να πω οτι είχατε δίκιο ή άδικο.Απλώς εξέφρασα το λόγο που χρησιμοποίησα πλυθηντικό χωρίς να λέω πουθενά οτι ο λόγος αυτός είναι ορθός. Η λανθασμενη άποψη εξάλλου συνεχίζει να υπάρχει σε έναν μαθητή μεχρις ότου η ορθή γίνει αντιληπτή, πλήρως ορισμένη και σαφώς διατυπωμένη.Συνεπώς αποδεχομαι την ορθότητα της σκέψης σας.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Επειδή μερικές φορές βλέπουμε πρόχειρες λύσεις ή και λανθασμένες πρέπει να τους μιμηθούμε;

Όχι βέβαια.Εγώ απλώς ανέφερα τι συμβαίνει και όχι τι θα έπρεπε να συμβαίνει.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Χρήστο. Θέλω να πιστέψεις ότι δεν είχα σκοπό να σε προσβάλω. Αντίθετα σκοπός μου είναι να σε βοηθήσω να δεις σωστά τα μαθηματικά. Από τώρα που είσαι μικρός, πρέπει να καταλάβεις ότι τα μαθηματικά είναι «λεπτομέρειες». Γιατί , αν σε μια λύση, μια λεπτομέρεια δεν είναι σωστή, τότε ολόκληρη η λύση δεν είναι σωστή. Στα μαθηματικά μας ενδιαφέρει πρωτίστως « το δέντρο», γιατί μόνον τότε «το δάσος» θα είναι σωστά δομημένο. Τα περί «δέντρου» και «δάσους» ισχύουν για άλλες περιπτώσεις και όχι στα μαθηματικά.

Καταρχήν θέλω να πιστέψετε οτι σας ευχαριστώ πραγματικά που ξοδέψατε χρόνο προκειμένου να μου επισημάνετε τα λάθη μου και να αναλύσετε τις αιτίες τους. Όμως πραγματικά πιστεύετε οτι έχει μεγαλύτερη σημασία το αν ένας μαθητής έχει λύσει απολύτως σωστά μια άσκηση(ακόμη και ως τη λεπτομέρεια της λεπτομέρειας) ή μήπως έχει μεγαλύτερη σημασία το έχει βρει τον τρόπο λύσης, το οτι έχει μπει (επιτρέψτε μου την έκφραση) στο "πετσί" της άσκησης, το οτι έχει καταλάβει τι πρέπει να κάνει για να την "ξεκλειδώσει" και κυρίως το οτι ξέρει πως να τη χειριστεί.Αυτό αυτομάτως τον γεμίζει με αυτοπεποίθηση και απο εκεί ξεκινάει η αγάπη του για το μάθημα.Γιατί αν του κόβουμε τα φτερά προσπαθώντας να βρούμε το λάθος, όχι στον τρόπο σκέψης αλλά στον τρόπο έκφρασης, τότε θα απογοητευτεί(και επειδή η λέξη "απογοητεύομαι" κρύβει μέσα της και τη λέξη "γοητεύομαι") και θα πάψει να γοητεύται απο αυτή την πανάρχαια επιστήμη που λέγετε μαθηματικά.
-Όσον αφορά τις λεπτομέρειες, εγώ πρώτος ανέφερα οτι αυτές υπάρχουν στα μαθηματικά αλλά πιστεύω οτι μεγαλύτερη σημασία έχουν οι παραπάνω λόγοι.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Χρήστο. Θέλω να πιστέψεις ότι δεν είχα σκοπό να σε προσβάλω. Αντίθετα σκοπός μου είναι να σε βοηθήσω να δεις σωστά τα μαθηματικά. Από τώρα που είσαι μικρός, πρέπει να καταλάβεις ότι τα μαθηματικά είναι «λεπτομέρειες». Γιατί , αν σε μια λύση, μια λεπτομέρεια δεν είναι σωστή, τότε ολόκληρη η λύση δεν είναι σωστή

Φυσικά και πιστεύω οτι δεν έχετε σκοπό να με προσβάλλετε γιατί αν το πίστευα δε θα σας απαντούσα.Αντίθετα σκοπός του διαλόγου μας με την ετοιμολογική σημασία της λέξης(δια-λόγος:γόνιμη ανταλλαγή απόψεων) είναι η αυτοβελτίωση και των δύο(και κυρίως η δική μου λόγω ηλικίας και απειρίας). Όμως θα διαφωνήσω με τον ισχυρισμό:" Γιατί , αν σε μια λύση, μια λεπτομέρεια δεν είναι σωστή, τότε ολόκληρη η λύση δεν είναι σωστή".Δηλάδη αν σε μία λύση υπάρχει αριθμητικό π.χ. λάθος τότε η λύση είναι λάθος.Μήπως σε αυτό το σημείο υποτιμούμε την προσπάθεια του μαθητή για την επίλυση της άσκησης?
Μήπως υποτιμούμε τις ικανότητες του?Είναι προφανές το οτι αν ένας μαθητής λύσει μια άσκηση(και μάλιστα δύσκολη) τότε έχει ικανότητες(και δεν αναφέρομαι σε εμένα) και δε θα πρέπει να σταθούμε σε κάτι που απλώς θα υπονομεύει αυτές τις δυνατότητες
ασχέτα με το αν ο σκοπός του καθηγητή-διορθωτή είναι απολύτως καλοπροαίρετος.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε: Αγαπητέ Χρήστο. Έχω την αίσθηση ότι το θέμα το πείρες εγωιστικά.

Αν αυτό το πιστεύεται πραγματικά τότε αυτή η γόνιμη συνομιλία που είχαμε δε θα ωφελήσει κανέναν απο τους δυο μας αλλά ούτε αυτούς που μας παρακολουθούν.Αν ήμουνα εγωιστής δε θα έμπενα στον κόπο να εκθέσω τις απόψεις μου και να συναινέσω με τα λάθη μου.Επαναλαμβάνω οτι μόνος σκοπός μου είναι νά μάθω μαθηματικά.

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Θα μου επιτρέψεις, λοιπόν από τη μεριά μου να κλείσω εδώ το θέμα, ό,τι και να απαντήσεις.

Για πιο λόγο να το κάνετε αυτό. Αφού η συνομιλία μας είναι πολύ γόνιμη και νομίζω οτι δεν πρέπει να κρατήσετε τέτοιου είδους στάση αλλά θα πρέπει να προάγετε τη συζήτηση και τη μαθηματική σκέψη.

-Θα ήθελα,όπως και να έχει, να σας ξαναευχαριστησω δημόσια που ασχοληθήκατε με το θέμα γιατί αυτό δείχνει την προσπάθεια που κάνετε για τη βελτίωση της μαθηματικής παιδείας στη χώρα.

Πάντα φιλικά,
Χρήστος

Α.Κυριακόπουλος · #12

Αγαπητέ Χρήστο.
Με έπεισες να συνεχίσουμε το διάλογο. Κατάλαβα ότι όσα σου γράφω, αφού τα καταλάβεις, μετά τα εφαρμόζεις. Και αυτό είναι το ζητούμενο. Αυτό είναι χαρακτηριστικό των πολύ καλών μαθητών. Έξυπνος και προοδευτικός, κατά τη γνώμη μου, είναι εκείνος που ανεξαρτήτως ηλικίας, δεν διεκδικεί το αλάθητο, δεν δογματίζει, μελετάει κάθε καινούργια ιδέα και όταν καταλάβει ότι κάπου έχει κάνει λάθος το παραδέχεται και το διορθώνει αμέσως ( έστω και αν το λάθος αυτό το έκανε πολλά χρόνια). Η χαρά μου θα ήταν μεγάλη, αν ο διάλογος αυτός γίνει η αιτία να υψωθεί το επίπεδο των μαθηματικών σου γνώσεων. Λοιπόν Χρήστο:
• Εκείνο που πρέπει να σου ξεκαθαρίσω είναι ότι όταν εγώ λέω «λάθος» στα μαθηματικά δεν εννοώ τυπογραφικό λάθος , ούτε λάθος πράξεων. Εννοώ «λογικό λάθος». Δεν ξέρω αν έχεις υπόψη σου ότι πριν μερικά χρόνια ένας Εγγλέζος μαθηματικός παρουσίασε μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, που ήταν πάρα πολλές σελίδες . Μετά όμως από προσεκτικό έλεγχο βρέθηκε ότι σε ένα μοναδικό σημείο υπήρχε ένα (λογικό) λάθος. Αυτό βέβαια ήταν αρκετό για να απορριφθεί ολόκληρη η απόδειξη ( ένα δέντρο κατέστρεψε όλο το δάσος). Μετά, έκανε έξη μήνες για να διορθώσει το λάθος αυτό, οπότε η απόδειξή του έγινε δεκτή. Ελπίζω να καταλαβαίνεις τι θέλω να πω. Ίσως όμως εσύ με το δέντρο και το δάσος να εννοείς ότι αν ένας κάνει ένα λάθος ( το δέντρο), τότε δεν είναι για πέταμα όλες οι γνώσεις του ( το δάσος). Αν εννοείς αυτό είναι σωστό και είμαστε απόλυτα σύμφωνοι. Εγώ, όπως θα έχεις καταλάβει, εννοώ ότι αν σε μια απόδειξη υπάρχει έστω και ένα (λογικό) λάθος (το δέντρο), τότε ολόκληρη η απόδειξη είναι λάθος ( το δάσος). Αυτό είμαι σίγουρος ότι το καταλαβαίνεις.
• Σε μια λύση που κάνει ένας μαθητής, δεν προσπαθούμε «να βρούμε το λάθος», όπως λες, σαν αυτό να μας γέμιζε χαρά!!!. Ούτε σκοπός μας είναι «να του κόψουμε τα φτερά». Ούτε να τον απογοητεύσουμε. Αντίθετα, τουλάχιστον δικός μου σκοπός ,όταν επισημαίνω τα λάθη , είναι να διορθωθεί και να γίνει καλύτερος. Και δεν θα πρέπει να απογοητεύεται κάποιος όταν κάνει ένα λάθος. Αντίθετα πρέπει να παίρνει θάρρος, σκεπτόμενος ότι αυτό το λάθος δεν πρόκειται να το ξανακάνει. Ένας δημοσιογράφος ρώτησε τον Thomas Edison πώς ένιωθε που είχε αποτύχει 25.000 φορές στην προσπάθειά του να φτιάξει μια απλή μπαταρία. Εκείνος απάντησε : « Δεν ξέρω γιατί μιλάτε για αποτυχία. Σήμερα ξέρω 25.000 τρόπους που δεν φτιάχνεται μια μπαταρία. Εσείς τι ξέρετε;».
• Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς όταν λες λεπτομέρειες στα μαθηματικά. Όλα τα μαθηματικά, από την αρχή μέχρι το τέλος, είναι λεπτομέρειες. Για παράδειγμα, στην άσκηση που έλυσες και που έγινε η αιτία να «γνωριστούμε», ζητάμε να βρούμε ένα γ. τ. και εσύ χωρίς να διατηρήσεις ισοδυναμίες κατέληξες ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι ένας κύκλος, χωρίς να εξετάσεις αν όλα τα σημεία του κύκλου αυτού ανήκουν στον ζητούμενο γ.τ. Αυτό είναι λεπτομέρεια; (Αν κάποιος, ό,τι και αν είναι αυτός, σου πει ότι είναι λεπτομέρεια, είναι επικίνδυνος και μην τον ξαναρωτήσεις τίποτα!!!). Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι εσύ δεν είσαι καλός μαθητής. Ούτε ότι εσύ δεν έχεις άλλες γνώσεις , ίσως και πολλές ,στα μαθηματικά. Απλά, τη συγκεκριμένη περίπτωση δεν την είχες υπόψη του, γιατί δεν σου την είχε πει κανένας. Αυτά τα πράγματα τα μαθαίνουμε και δεν τα βγάζουμε από την «κοιλιά μας».
• Ο μαθητής που έχει ικανότητες πρέπει να καθοδηγείται σωστά και να του επισημαίνονται τα λάθη του, ώστε συνεχώς να βελτιώνετε. Και όπως τόνισα και παραπάνω, σε καμία περίπτωση, δεν θα πρέπει να απογοητεύεται όταν κάνει λάθη. Όμως, κατά τη γνώμη μου, αν δεν είναι κακό να κάνει κάποιος στα μαθηματικά λάθη, είναι πάρα πολύ κακό να επαναλαμβάνει τα ίδια λάθη.
Φιλικά.

chris · #13

Αγαπητέ κ.Αντώνη,
χαίρομαι ιδιαίτερα που αποφασίσατε να συνεχίσετε το διαλόγο και χαίρομαι ακόμα περισσότερο που αναφέρετε κάποια ιστορικά παραδείγματα τα οποία δεν ήξερα και τα βρήκα πολύ διδακτικά.
Φυσικά αυτά που μου υποδείξατε θα τα εφαρμόζω αδιαμφισβήτητα απο εδώ και μπρος,ή τουλάχιστον να είστε σίγουρος οτι θα προσπαθήσω να τα εφαρμόζω όσο γίνεται, και επίσης σας διαβεβαιώνω οτι αυτός ο διάλογος αλλά και όλοι οι διάλογοι μέσα στο mathematica με βοηθούν να εισχωρήσω ακόμη βαθύτερα μέσα στο αγαπημένο μου μάθημα, πλουταίνοντας τις γνώσεις μου και διδάσκοντάς μου έναν ιδιαίτερο τρόπο σκέψης.

• Εκείνο που πρέπει να σου ξεκαθαρίσω είναι ότι όταν εγώ λέω «λάθος» στα μαθηματικά δεν εννοώ τυπογραφικό λάθος , ούτε λάθος πράξεων. Εννοώ «λογικό λάθος». Δεν ξέρω αν έχεις υπόψη σου ότι πριν μερικά χρόνια ένας Εγγλέζος μαθηματικός παρουσίασε μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat, που ήταν πάρα πολλές σελίδες . Μετά όμως από προσεκτικό έλεγχο βρέθηκε ότι σε ένα μοναδικό σημείο υπήρχε ένα (λογικό) λάθος. Αυτό βέβαια ήταν αρκετό για να απορριφθεί ολόκληρη η απόδειξη ( ένα δέντρο κατέστρεψε όλο το δάσος). Μετά, έκανε έξη μήνες για να διορθώσει το λάθος αυτό, οπότε η απόδειξή του έγινε δεκτή. Ελπίζω να καταλαβαίνεις τι θέλω να πω. Ίσως όμως εσύ με το δέντρο και το δάσος να εννοείς ότι αν ένας κάνει ένα λάθος ( το δέντρο), τότε δεν είναι για πέταμα όλες οι γνώσεις του ( το δάσος). Αν εννοείς αυτό είναι σωστό και είμαστε απόλυτα σύμφωνοι. Εγώ, όπως θα έχεις καταλάβει, εννοώ ότι αν σε μια απόδειξη υπάρχει έστω και ένα (λογικό) λάθος (το δέντρο), τότε ολόκληρη η απόδειξη είναι λάθος ( το δάσος). Αυτό είμαι σίγουρος ότι το καταλαβαίνεις.

Να λοιπόν το σημείο στο οποίο είχε γίνει παρανόηση. Εγώ εννούσα αυτό ακριβώς που λέτε εσείς(κόκκινα γράμματα) και για αυτό δυσπιστούσα απέναντι στα λεγόμενά σας. Φυσικά ως προς το λογικό λάθος που αναφέρετε καμία αντίρρηση και μάλιστα όπως γράφετε και στο τέλος της παραπάνω παράθεσης, να είστε σίγουρος οτι το καταλαβαίνω.

• Σε μια λύση που κάνει ένας μαθητής, δεν προσπαθούμε «να βρούμε το λάθος», όπως λες, σαν αυτό να μας γέμιζε χαρά!!!. Ούτε σκοπός μας είναι «να του κόψουμε τα φτερά». Ούτε να τον απογοητεύσουμε. Αντίθετα, τουλάχιστον δικός μου σκοπός ,όταν επισημαίνω τα λάθη , είναι να διορθωθεί και να γίνει καλύτερος. Και δεν θα πρέπει να απογοητεύεται κάποιος όταν κάνει ένα λάθος. Αντίθετα πρέπει να παίρνει θάρρος, σκεπτόμενος ότι αυτό το λάθος δεν πρόκειται να το ξανακάνει. Ένας δημοσιογράφος ρώτησε τον Thomas Edison πώς ένιωθε που είχε αποτύχει 25.000 φορές στην προσπάθειά του να φτιάξει μια απλή μπαταρία. Εκείνος απάντησε : « Δεν ξέρω γιατί μιλάτε για αποτυχία. Σήμερα ξέρω 25.000 τρόπους που δεν φτιάχνεται μια μπαταρία. Εσείς τι ξέρετε;».

Φυσικά και δεν προσπαθείτε να βρείτε το λάθος για να απογοητεύσετε το μαθητή.Αλίμονο αν συνέβαινε αυτό απο κάποιον που θέλει να αποκαλεί τον ευατό του "καλό" καθηγητή και γνώστη των μαθηματικών!!!Απλά ήθελα να πω οτι υπάρχουν κάποιες περιπτώσεις στις οποίες το λάθος ενός μαθητή(και επαναλμβάνω οτι δεν αναφέρομαι σε εμένα) δεν αντικατοπτρίζει ούτε την πραγματική αξία του, ούτε την μαθηματική ευφυία του.Για αυτό το λόγο ,και παρόλο που η επισήμανση των λαθών είναι σαφώς απαραίτητη για τους λόγους που προαναφέρετε, πιστεύω οτι ο μαθητής θα πρέπει να έχει δικαίωμα στο λάθος χωρίς να υποπίπτει συνέχεια σε αυτό,θα πρέπει να ενθαρρύνεται με κάθε τρόπο χωρίς να υπερεκτιμά τον εαυτό του και κυρίως θα πρέπει να πιστεύσει οτι μπορεί να επιτύχει στα μαθηματικά για αν δεν το πιστεύσει έστω και μία στιγμή τότε έχει ήδη χάσει.

• Δεν καταλαβαίνω τι εννοείς όταν λες λεπτομέρειες στα μαθηματικά. Όλα τα μαθηματικά, από την αρχή μέχρι το τέλος, είναι λεπτομέρειες. Για παράδειγμα, στην άσκηση που έλυσες και που έγινε η αιτία να «γνωριστούμε», ζητάμε να βρούμε ένα γ. τ. και εσύ χωρίς να διατηρήσεις ισοδυναμίες κατέληξες ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι ένας κύκλος, χωρίς να εξετάσεις αν όλα τα σημεία του κύκλου αυτού ανήκουν στον ζητούμενο γ.τ. Αυτό είναι λεπτομέρεια; (Αν κάποιος, ό,τι και αν είναι αυτός, σου πει ότι είναι λεπτομέρεια, είναι επικίνδυνος και μην τον ξαναρωτήσεις τίποτα!!!).

Εδώ να πω οτι διακρίνω και εγώ μία αντίφαση.Στην αρχή λέτε οτι όλα είναι λεπτομέρειες στα μαθηματικά ενώ στη συνέχεια αρνείστε εμμέσως οτι στην παραπάνω άσκηση που θέσατε ο ελεγχος για το αν τα σημεία ανήκουν στον γ.τ είναι λεπτομέρεια.Αυτό που λογικά εννοείτε είναι οτι τα πάντα είναι λεπτομέρειες στα μαθηματικά και οτι δεν είναι επουσιώδες το οτι δε διατήρησα τις ισοδυναμίες.Αν εννοείτε αυτό τότε με βρίσκετε σύμφωνο άποψη που άλλωστε εξέφρασα και στο πρώτο μήνυμα λέγοντας οτι ήταν λάθος μου να μη χρησιμοποιήσω ισοδυναμίες.

αν δεν είναι κακό να κάνει κάποιος στα μαθηματικά λάθη, είναι πάρα πολύ κακό να επαναλαμβάνει τα ίδια λάθη.

Αυτό ίσως σε λίγο καιρό να είναι μία απο τις υπογραφές μου στο mathematica αν και αν δεν κάνω λάθος στον κ.Ρίζο αρέσει ο Καρόν ντε Μπωμαρσαί .

Φιλικά

pito · #14

chris έγραψε:Αν $z=x+y\iota$ τοτε η εικόνα του z είναι τα σημεία Α(χ,y) , η εικόνα του είναι τα σημεία Β(-y,x) ενώ η εικόνα του είναι το σημείο Γ(0,1)
Ισχυει: $\vec{AB}=(-y-x,x-y)$ και $\vec{A\Gamma }=(-x,1-y)$
Πρέπει $det(\vec{AB},\vec{A\Gamma })=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} -y-x &x-y \\ -x& 1-y \end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-x+y=0$
Αρα κύκλος κέντρου $K(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ και ακτίνα $p=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Επίσης $\left|z-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota \right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Άρα $\left|\omega -\varphi \right|=\left|(\omega -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota)-(\varphi -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\iota ) \right|\leq \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

Για τυπικούς και μόνο λόγους η εξίσωση του κύκλου που προκύπτει είναι $x^{2}+y^{2}-x-y=0$ με κέντρο $K(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ και ακτίνα $\rho =\frac{\sqrt{2}}{2}$ άρα και $|w-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|=|\varphi -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i|=\frac{\sqrt{2}}{2}$

γ.τ.

γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Re: γ.τ.

Μέλη σε σύνδεση