η ρίζα της ρίζας...

irakleios · #1

Nα υπολογισθεί $\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}}$

gtk1994 · #2

Ελπίζω να πέφτω σε πλάνη, γιατί έχω την εντύπωση ότι κάπου έχω ξανασυναντήσει παρόμοιο θέμα, αλλά δε θυμάμαι που...(σε ολυμπιακά θέματα λυκείου νομίζω)
Ονομάζω λοιπόν αυτή την άπειρη (;) παράσταση

.
Άρα, $N^2=5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}$
και $N^4=50\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2...}}}}$
Άρα, $N^4=50N\Leftrightarrow N=0$ ( που απορρίπτεται ) $\vee N= \sqrt[3]{50}$
Άρα, $N=\sqrt[3]{50}$

Γιώργος

irakleios · #3

Αυτός ο τρόπος νομίζω ότι γενικά δεν είναι αποδεκτός.

Η καλύτερη και πιο σωστή αντιμετώπιση είναι με ακολουθίες.

#4

Ο τρόπος καλός είναι, αρκεί να αποδειχθεί ότι το όριο (με τα άπειρα ριζικά) υπάρχει.

$\displaystyle{\sqrt {5\sqrt {2\sqrt {5\sqrt {2\sqrt {5...} } } } } = {5^\big{{\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{{2^3}}} + \dfrac{1}{{{2^5}}} + ..} \right)}}}{2^\big{{\left( {\dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{2^4}}} + \dfrac{1}{{{2^6}}} + ..} \right)}}} = {5^{^{\dfrac{2}{3}}}}{2^{\dfrac{1}{3}}} = \sqrt[\big{3}]{{50}}}$

#5

irakleios έγραψε:Αυτός ο τρόπος νομίζω ότι γενικά δεν είναι αποδεκτός.

Η καλύτερη και πιο σωστή αντιμετώπιση είναι με ακολουθίες.

Νομίζω και εγώ ότι η αντιμετώπιση του Γιώργου δεν είναι κακή. Κινείται στο ίδιο επίπεδο αυστηρότητας με την εκφώνηση. Διότι είναι συζητήσιμο ποια πράξη της 'Αλγεβρας χρησιμοποιείται στο σύμβολο
$\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5\sqrt{2\sqrt{5...}}}}}$ .
Εν πάση περιπτώσει η προσέγγιση του Γιώργου μπορεί να γίνει κάπως πιο αυστηρή αν γίνει και η εκφώνηση δηλαδή αν γράψουμε ότι αυτό που ζητάμε είναι το όριο της αναδρομικής ακολουθίας $(a_{n})$ με
$a_{1}=\sqrt{5\sqrt{2}}$ , $a_{n+1}=\sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}$
Δείχνουμε επαγωγικά ότι η ακολουθία μας είναι γνησίως αύξουσα.
$a_{1}<a_{2}$ (απλό)
$a_{n}<a_{n+1}\Rightarrow 5\sqrt{2a_{n}}<5\sqrt{2a_{n+1}}\Rightarrow \sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}<\sqrt{5\sqrt{2a_{n+1}}}\Rightarrow a_{n+1}<a_{n+2}$
Δείχνουμε πάλι επαγωγικά ότι η ακολουθία μας είναι φραγμένη άνω
$a_{1}\leq \root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}$ (αυτός ο αριθμός δεν είναι ουρανοκατέβατος, αφού η ακολουθία μας θα είναι συγκλίνουσα θα είναι φραγμένη και αφού είναι αύξουσα το όριο της, που το βρίσκουμε ανεπίσημα στο πρόχειρο, θα είναι ένα άνω φράγμα της)
$a_{n}\leq \root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}\Rightarrow 5\sqrt{2a_{n}}\leq 5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}\Rightarrow \sqrt{5\sqrt{2a_{n}}}\leq \sqrt{5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}}a_{n+1}\leq \sqrt{5\sqrt{2\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}}}=\root{3}\of{2}\root{3}\of{5}^{2}$
Αν τώρα (εδώ επαναλαμβάνω στην ουσία την σκέψη του Γιώργου) ονομάσουμε

το όριο της ακολουθίας μας και η υπακολουθία της $a_{n+1}$ έχει όριο επίσης

. Θα είναι $N=\sqrt{5\sqrt{2}N}$ και συνεχίζοντας όπως ο Γιώργος βρίσκουμε N=0

(απορρίπτεται) η $N=\root{3}\of{2}\left( \root{3}\of{5}\right) ^{2}$ .
Βέβαια μπορούμε να μεταγράψουμε την αλληλένθεση των άπειρων ριζικών σε εκθέτη σε άπειρο άθροισμα όπως έκανε ο Σεραφείμ οπότε έχουμε μια εκφώνηση που μας καθοδηγεί και στην απάντηση.
Μαυρογιάννης

irakleios · #6

Λέγοντας ότι δεν είναι αποδεκτός ο τρόπος του Γιώργου (δεν είπα λάθος , εμένα προσωπικά μου άρεσε πάρα πολύ) εννοούσα ότι τίθεται ένα θέμα με την ύπαρξη του ορίου καθώς το Ν που έθεσε είναι το όριο .
Ίσως όμως όπως λέτε , η άσκηση να μην είχε την αυστηρή εκφώνηση .

Να είστε καλά και σας ευχαριστώ όλους που ασχοληθήκατε με την άσκηση.

gtk1994 · #7

Κατ'αρχήν συγγνώμη που μπήκα στα λημέρια σας ...

Θα ήθελα να ρωτήσω .... Η λύση μου αυτή σε έναν οποιοδήποτε μαθητικό(!!) διαγωνισμό θα πιανόταν ως σωστή??

Γιώργος

#8

gtk1994 έγραψε:Κατ'αρχήν συγγνώμη που μπήκα στα λημέρια σας ...
Θα ήθελα να ρωτήσω .... Η λύση μου αυτή σε έναν οποιοδήποτε μαθητικό(!!) διαγωνισμό θα πιανόταν ως σωστή??

Γιώργος

Γιώργο, καλησπέρα και χρόνια πολλά.
Να μην ρωτάς ποτέ "αν η λύση θα πιανόταν ως σωστή". Γιατί η απάντηση στο ερώτημά σου θα είναι πάντα υποκειμενική. Αντίθετα η ερώτηση που έχει αντικειμενική απάντηση είναι " είναι η λύση μου σωστή;" και επ' αυτού, νομίζω πως απάντησε πλήρως ο Νίκος Μαυρογιάννης.

gtk1994 · #9

Ευχαριστώ πολυ κ.Καπελλίδη για τη συμβουλή σας.
Ρωτάω απλώς για να ξέρω αν αυτός ο τρόπος λύσης είναι αποδεκτός σε μαθητικά πλαίσια...

Γιώργος

η ρίζα της ρίζας...

η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Re: η ρίζα της ρίζας...

Μέλη σε σύνδεση