Ανισότητα

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [α, β] (α<β) με θετικές τιμές ,δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με συνεχή την 2η παράγωγο της και για την οποία ισχύει
$f\left( x \right)f{''} \left( x \right) - 2\left( {f{'} \left( x \right)} \right)^2 \geqslant f^2 \left( x \right),$ για κάθε x του [α, β]. Να αποδειχθεί ότι β-α<π .

S.E.Louridas

mathxl · #2

Μία προσπάθεια
$\displaystyle{f\left( x \right)f''\left( x \right) - 2{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}{f^2}\left( x \right)}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow f\left( x \right)f''\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} \ge {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + {f^2}\left( x \right) \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{{f\left( x \right)f''\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{f^2}\left( x \right)}} \ge {\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]^2} + 1 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow {\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]^\prime } \ge {\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]^2} + 1 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]}^\prime }}}{{{{\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]}^2} + 1}} \ge 1 \Rightarrow \int\limits_a^b {\frac{{{{\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]}^\prime }}}{{{{\left[ {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right]}^2} + 1}}dx \ge b - a \Rightarrow } }$
$\displaystyle{\arctan \frac{{f'\left( b \right)}}{{f\left( b \right)}} - \arctan \frac{{f'\left( a \right)}}{{f\left( a \right)}} \ge b - a}$
και το αριστερό μέλος είναι μικρότερο του π

#3

Φοβερή ασκησούλα και τζαμπουκαλίδικη λύση!!!!!

S.E.Louridas · #4

Δηλαδή,θα πρέπει τώρα εγώ να μην εκφράσω την χαρά μου που Μαθηματικοί σαν τόν Βασίλη και τον Αναστάση πρόσφατα ασχολήθηκαν και έλυσαν θέμα που πρότεινα επενδύοντας την Μαθηματική τους Προσωπικότητα ώστε να επιτευχθεί ο σκοπός να κατανοήσουν οι παρακολουθούντες την ομορφιά των Μαθηματικών;
Και γιά μένα ναί σε επίπεδο τουλάχιστον προδιαγραφών στο mathematica υπάρχουν Μεγάλοι Μαθηματικοί όπως παλαιώτερα υπήρξαν επίσης Μεγάλοι Μαθηματικοί off των πυλών, Σταυρόπουλος, Κυριακόπουλος (ο δικός μας, του mathematica Α.Κυριακόπουλος), Κανέλλος, Μάγειρας, Ζήβας και άλλοι.

S.E.Louridas

#5

Σωτήρη εδώ θα συμφωνήσω μαζί σου, όσον αφορά το ''μεγάλος''.

Τι να τα κάνω τα διδακτορικά και τα μεταδιδακτορικά αν δε μπορείς να μεταδώσεις ούτε ένα+ένα=δύο;

Συνεπώς θα πρέπει να λέμε μεγάλους κι εκείνους που γεμίζουν αίθουσες , αμφιθέατρα κτλ

Κι ας μην έστειλαν πύραυλο στο φεγγάρι...

Καλην εσπέρα να έχετε.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση