Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία

Antonis_Z · #1

Σε μια ευθεία υπάρχουν 3 σημεία A,B,C

τέτοια ώστε AB=BC

.Έστω ένας κύκλος με διάμετρο

και μια κάθετη ευθεία (ε) στην

στο

.Ένα σημείο

κινείται πάνω στον κύκλο.Οι ευθείες

και

τέμνουν την (ε) στα

και

αντίστοιχα.Οι κάθετες ευθείες

και

στην (ε) τέμουν η μεν πρώτη την

στο

,ενώ η δεύτερη την

στο

.Να αποδείξετε ότι:
α) (M,B,H,K)=-1

(αρμονική διαίρεση)
β)Τα σημεία M,A,N

είναι συνευθειακά
γ)Οι ευθείες

και

τέμνονται σε ένα σημείο

πάνω στον κύκλο.
δ)Η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο.
ε)Η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο.

#2

Antonis_Z έγραψε:Σε μια ευθεία υπάρχουν 3 σημεία τέτοια ώστε .Έστω ένας κύκλος με διάμετρο και μια κάθετη ευθεία (ε) στην στο .Ένα σημείο κινείται πάνω στον κύκλο.Οι ευθείες και τέμνουν την (ε) στα και αντίστοιχα.Οι κάθετες ευθείες και στην (ε) τέμουν η μεν πρώτη την στο ,ενώ η δεύτερη την στο .Να αποδείξετε ότι:
α) (αρμονική διαίρεση)
β)Τα σημεία είναι συνευθειακά
γ)Οι ευθείες και τέμνονται σε ένα σημείο πάνω στον κύκλο.
δ)Η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.
ε)Η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.

Καλημέρα Αντώνη, καλημέρα και ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ σε όλους μας

Με προτίμηση στους μαθητές θεώρησα λογικό η πρώτη μου δημοσίευση του 2012 να είναι σε μαθητή και σε Γεωμετρία (λόγω αδυναμίας).

: Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία.png (28.66 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές

α) Είναι: $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} AB//MP \Rightarrow \vartriangle HMP \sim \vartriangle AHB \Rightarrow \boxed{\frac{{HM}} {{HB}} = \frac{{MP}} {{AB}}} \\ CB//MP \Rightarrow \vartriangle KCB \sim \vartriangle KPB \Rightarrow \boxed{\frac{{KM}} {{KB}} = \frac{{MP}} {{BC}}} \\ \end{gathered} \right.\quad \mathop \Rightarrow \limits^{BC = AB \to \frac{{MP}} {{AB}} = \frac{{MP}} {{BC}}} \frac{{HM}} {{HB}} = \frac{{KM}} {{KB}} \Rightarrow M,B }$ συζυγή αρμονικά των $\displaystyle{ H,K }$ δηλαδή $\displaystyle{ \boxed{\left( {M,B,H,K} \right) = - 1} }$

β) Έστω $\displaystyle{ M{'} \equiv AN \cap Px }$ τότε στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle NPM'\mathop \Rightarrow \limits^{AB//PM{'}} \vartriangle NAB \sim \vartriangle NPM{'} \Rightarrow \boxed{\frac{{PM{'}}} {{AB}} = }\frac{{NP}} {{NB}}\mathop = \limits^{KN//PM \to (\Theta \varepsilon \rho \eta \mu \alpha - \Theta \alpha \lambda )} \frac{{KM}} {{KB}} }$

$\displaystyle{ \mathop = \limits^{BC//PM \to \vartriangle KCB \sim KPM} \boxed{\frac{{PM}} {{BC}}}\mathop \Rightarrow \limits^{AB = BC} PM{'} = PM \Rightarrow \boxed{M{'} \equiv M} }$

γ) Στο τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle AKP }$ είναι $\displaystyle{ AC \bot KP }$ (από κατασκευής) και $\displaystyle{ \widehat{AHB}\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \nu \eta - \sigma \varepsilon - \eta \mu \iota \kappa \kappa \lambda \iota o} 90^0 \Rightarrow KH \bot AP }$

άρα το $\displaystyle{ B }$ είναι το σημείο τομής των δύο υψών του δηλαδή είναι το ορθόκεντρό του οπότε

η $\displaystyle{ PR }$ (αφού διέρχεται από το $\displaystyle{ B }$ (ορθόκεντρο)) θα είναι το τρίτο ύψος δηλαδή $\displaystyle{ PR \bot AK \Rightarrow \widehat{BRA} = 90^0 }$

το $\displaystyle{ R }$ θα "βλέπει" την $\displaystyle{ AB }$ (διάμετρο του κύκλου) υπό ορθή γωνία άρα θα είναι σημείο του κύκλου.

δ) δ) Στο πλήρες τετράπλευρο $\displaystyle{ AB - PH - KP }$ κάθε διαγώνιος τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο

(η απόδειξη στο συνημμένο) οπότε $\displaystyle{ \frac{{SA}} {{SB}} = \frac{{CA}} {{CB}}\mathop \Rightarrow \limits^{CA = 2CB} \frac{{SA}} {{SB}} = \frac{2} {1} \Rightarrow \frac{{SA}} {{SA + SB}} = \frac{2} {{1 + 2}} \Rightarrow \frac{{SA}} {{AB}} = \frac{2} {3} \Rightarrow \boxed{SA = \frac{2} {3}AB = ct} }$

δηλαδή το $\displaystyle{ S }$ απέχει (για κάθε θέση του $\displaystyle{ H }$ πάνω στον κύκλο) από το σταθερό σημείο $\displaystyle{ A }$ σταθερή απόσταση

άρα η θέση του είναι σταθερή (ανεξάρτητη από τη θέση του $\displaystyle{ H }$ )

ε) Στο τραπέζιο $\displaystyle{ ANKB }$ είναι γνωστό (προκύπτει από το θεώρημα της δέσμης ευθειών) ότι τα μέσα των βάσεων του και τα σημεία τομής των

διαγωνίων του και των μη παραλλήλων πλευρών του είναι συνευθειακά οπότε η $\displaystyle{ RM }$ θα διέρχεται από το σταθερό μέσο $\displaystyle{ O }$ της σταθερής $\displaystyle{ AB }$

Στάθης

Antonis_Z · #3

Να σημειώσω πως αυτή είναι μια άσκηση από τη Γεωμετρία του Κανελλου(η τελευταια πριν τις γενικές).
Σας ευχαριστώ πολυ κύριε Στάθη για τη λύση σας.Καλή χρονιά και σε σας,να είστε πάντα καλά.

Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία

Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία

Re: Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία

Re: Πρωτοχρονιάτικη Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση