ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

1. Έστω $\displaystyle{A=\sqrt{\sqrt{81}}+3\sqrt{8}:\sqrt{2}+8\sqrt{3}:\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}$

Να υπολογιστεί η τιμή του: $\displaystyle{B=3(-1)^{A}+2(-1)^{A+1}}$

2. Έστω παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ και από την κορυφή

φέρνουμε μια τυχούσα ευθεία που τέμνει την $\Gamma B$ στο

. Από το $\Delta$ φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη προς την

και επ΄αυτής παίρνουμε ένα σημείο

.
Να δειχθεί ότι το παραλληλόγραμμο με πλευρές

και

έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου $AB\Gamma \Delta$

3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ που να ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{n(n-1)+(n-1)(n+1)+n(n+1)+3n^{5}=3000000}$

4. Η Άννα έχει $\displaystyle{48}$ σπίρτα και τα χώρισε σε $\displaystyle{3}$ σωρούς. Μετά πήρε τόσα σπίρτα από τον πρώτο σωρό όσα υπήρχαν στον δεύτερο και τα έβαλε στον δεύτερο. Κατόπιν πήρε τόσα σπίρτα από τον δεύτερο σωρό όσα υπήρχαν στον τρίτο και τα έβαλε στον τρίτο. Τέλος πήρε τόσα σπίρτα από τον τρίτο σωρό όσα υπήρχαν στον πρώτο και τα έβαλε στον πρώτο.
Τότε παρατήρησε ότι οι τρεις σωροί είχαν ίσο αριθμό σπίρτων,
Πόσα σπίρτα είχε αρχικά ο κάθε σωρός;

Ch.Chortis · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ που να ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{n(n-1)+(n-1)(n+1)+n(n+1)+3n^{5}=3000000}$

Ο αριθμός γράφεται στην εξής μορφή:
$\displaystyle 3000000=n(n-1)+(n-1)(n+1)+n(n+1)+3n^5=n^2-n+n^2-1+n^2+n+3n^5=3n^5+3n^2-1 \Leftrightarrow 3000000-3n^2=3n^5-1 \Leftrightarrow 3(1000+n)(1000-n)=3n^5-1 \Leftrightarrow (1000+n)(1000-n)=n^5-\frac {1} {3}$ .Από την ώρα που το πρώτο μέλος της εξίσωσης είναι ακέραιος αριθμός(αφού

ακέραιος) θα πρέπει και το δεύτερο μέλος της εξίσωσης να είναι ακέραιος.Όμως $n,n^5 \in \mathbb {Z}$ άρα καταλήγουμε σε άτοπο.
Σας χαιρετώ για σήμερα.

#3

Γράφω και έναν ακόμα τρόπο , διαφορετικό από του ταλαντούχου μαθητή Ch. Chortis

Οι αριθμοί $\displaystyle{n(n-1)}$ και $\displaystyle{n(n+1)}$ είναι άρτιοι (ως γινόμενα δύο διαδοχικών ακεραίων). Άρα και το άθροισμά τους είναι άρτιος, έστω $\displaystyle{2k , k \epsilon Z}$ Άρα η δοσμένη σχέση γράφεται:

$\displaystyle{2k+(n-1)(n+1)+3n^{5}=3000000}$ . Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n}$ άρτιος. Τότε $\displaystyle{n-1 , n+1}$ είναι περιττοί, $\displaystyle{3n^{5}}$ είναι άρτιος και άρα το πρώτο μέλος είναι περιττός και δεν μπορεί να ισούται με $\displaystyle{3000000}$

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: $\displaystyle{n}$ περιττός. Τότε $\displaystyle{n-1 , n+1}$ είναι άρτιοι, ενώ ο $\displaystyle{3n^{5}}$ είναι περιττός. Άρα το πρώτο μέλος είναι περττός και πάλι δεν μπορεί να ισούται με 3000000.

sokratis lyras · #4

Ch.Chortis έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:3. Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ που να ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{n(n-1)+(n-1)(n+1)+n(n+1)+3n^{5}=3000000}$

Πιο απλά παιρνουμε περιπτώσεις mod3

για το

.

Ch.Chortis · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:1. Έστω $\displaystyle{A=\sqrt{\sqrt{81}}+3\sqrt{8}:\sqrt{2}+8\sqrt{3}:\frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}$
Να υπολογιστεί η τιμή του: $\displaystyle{B=3(-1)^{A}+2(-1)^{A+1}}$

Έχουμε: $\displaystyle A=\sqrt {\sqrt {81}}+\frac {3\sqrt {8}} {\sqrt {2}} +\frac {8\sqrt {3} (3+\sqrt {3})} {1+\sqrt {3}}=3+6+\frac {24(1+\sqrt {3})} {1+\sqrt {3}}=9+24=33$ .Άρα $\displaystyle B=3(-1)^{33}+2(-1)^{33+1}=-3+2=-1$
Για το 3.
Σωκράτη θα μπορούσες να μου εξηγήσεις τη λύση σου;
Ωραία λύση κύριε Δημήτρη!

sokratis lyras · #6

Aν $n\equiv 0 (mod3)$ τότε έχουμε $LHS\equiv 2( mod3)$ .Άρα προφανώς είναι αδύνατη η εξίσωση.
Αν $n\equiv 1 (mod3)$ τότε έχουμε $LHS\equiv 2 (mod3)$ .Άρα πάλι αδύνατη η εξίσωση.
Aν $n\equiv 2 (mod3)$ τότε έχουμε $LHS\equiv 2 (mod3)$ .Άρα πάλι αδύνατη η εξίσωση.
(LHS=αριστερό μέλος).

Ch.Chortis · #7

Eυχαριστώ.Τώρα όλα έγιναν κατανοητά.

#8

Ch.Chortis έγραψε: ......... 3000000-3n^2=3n^5-1 .......

Λίγο απλούστερα χρησιμοποιώντας τις πράξεις του Ch. Chortis:

Η εξίσωση γράφεται τελικά ως 3n^5+3n^2=3000001

. Όμως το πρώτο μέλος είναι πολλαπλάσιο του 3 ενώ το δεύτερο μέλος όχι. Συνεπώς η αρχική εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Αλέξανδρος

#9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: 4. Η Άννα έχει $\displaystyle{48}$ σπίρτα και τα χώρισε σε $\displaystyle{3}$ σωρούς. Μετά πήρε τόσα σπίρτα από τον πρώτο σωρό όσα υπήρχαν στον δεύτερο και τα έβαλε στον δεύτερο. Κατόπιν πήρε τόσα σπίρτα από τον δεύτερο σωρό όσα υπήρχαν στον τρίτο και τα έβαλε στον τρίτο. Τέλος πήρε τόσα σπίρτα από τον τρίτο σωρό όσα υπήρχαν στον πρώτο και τα έβαλε στον πρώτο.
Τότε παρατήρησε ότι οι τρεις σωροί είχαν ίσο αριθμό σπίρτων,
Πόσα σπίρτα είχε αρχικά ο κάθε σωρός;

Α Τρόπος (πρακτική αριθμητική)

Αφού στο τέλος το πλήθος των σπίρτων είναι το ίδιο (16) και αφού στο τρίτο βήμα τα σπίρτα του δεύτερου σωρού δεν άλλαξαν ενώ του πρώτου διπλασιάστηκαν άρα στο αμέσως προηγούμενο βήμα τα σπίρτα των τριών σωρών ήταν 8,16,24 αντίστοιχα. Στο δεύτερο βήμα τα σπίρτα του πρώτου σωρού δεν άλλαξαν ενώ τα σπίρτα του τρίτου διπλασιάστηκαν οπότε αμέσως πριν τα σπίρτα σε κάθε σωρό ήταν 8,28,12 αντίστοιχα. Τέλος στο πρώτο βήμα τα σπίρτα του τρίτου σωρού δεν άλλαξαν ενώ του δεύτερου διπλασιάστηκαν. Συνεπώς στην αρχή ο αριθμός των σπίρτων ανά σωρό ήταν 22,14,12 αντίστοιχα.

Β τρόπος (χρήση συστημάτων)

Έστω x,y,z

αρχικός αριθμός των σπίρτων ανά σωρό. Στο τέλος του πρώτου βήματος ο αριθμός των σπίρτων ανα σωρό είναι x-y,2y,z

. Στο τέλος του δευτέρου βήματος ο αριθμός των σπίρτων ανά σωρό είναι x-y,2y-z,2z

αντίστοιχα και τέλος, στο τέλος του τρίτου βήματος ο αριθμός των σπίρτων ανά σωρό είναι 2x-2y, 2y-z,2x-y+z

. Όμως πλέον σε κάθε σωρό πρέπει να βρίσκεται ίσος αριθμός σπίρτων δηλαδή 48 : 3=16

.

Άρα πρέπει $\begin{cases} 2x-2y=16 & \\ 2y-z=16 & \\ 2x-y+z=16 & \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=8+y & \\ z=2y-16 & \\ 2(8+y)-y+(2y-16)=16 & \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=22 & \\ z=12 & \\ y=14 & \end{cases}$

Αλέξανδρος

#10

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
2. Έστω παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ και από την κορυφή φέρνουμε μια τυχούσα ευθεία που τέμνει την $\Gamma B$ στο . Από το $\Delta$ φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη προς την και επ΄αυτής παίρνουμε ένα σημείο .
Να δειχθεί ότι το παραλληλόγραμμο με πλευρές και έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου $AB\Gamma \Delta$

Θα δώσω την λύση μιας και έχει μείνει αναπάντητη από τους μαθητές για αρκετό καιρό (Αλέξανδρε , αν θέλεις δώσε το σχήμα)

Ονομάζουμε

την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τις AZ , ZH

και

ονομάζουμε την απόσταση των παραλλήλων AE , ZH

που είναι και το ένα από τα ύψη του παραλληλογράμμου AZHE

.

Έχουμε: $(AE\Delta)=(A\Gamma \Delta)$ (διότι έχουν κοινή την βάση $A\Delta$ και ίσα ύψη)

Άρα $\frac{1}{2}.AE.u=\frac{1}{2}.(AB\Gamma \Delta)$ , (είναι γνωστό ότι η διαγώνιος παραλληλογράμμου, χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα).

Άρα: $(AZHE)=(AB\Gamma \Delta)$

parmenides51 · #11

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:2. Έστω παραλληλόγραμμο $AB\Gamma \Delta$ και από την κορυφή φέρνουμε μια τυχούσα ευθεία που τέμνει την $\Gamma B$ στο . Από το $\Delta$ φέρνουμε μια ευθεία παράλληλη προς την και επ΄αυτής παίρνουμε ένα σημείο .
Να δειχθεί ότι το παραλληλόγραμμο με πλευρές και έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου $AB\Gamma \Delta$

: ΘΑΛΗΣ 1996 -2o.png (72.96 KiB) Προβλήθηκε 2019 φορές

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Ονομάζουμε την τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου που έχει πλευρές τις και ονομάζουμε την απόσταση των παραλλήλων που είναι και το ένα από τα ύψη του παραλληλογράμμου .

Έχουμε: $(AE\Delta)=(A\Gamma \Delta)$ (διότι έχουν κοινή την βάση $A\Delta$ και ίσα ύψη)

Άρα $\frac{1}{2}.AE.u=\frac{1}{2}.(AB\Gamma \Delta)$ , (είναι γνωστό ότι η διαγώνιος παραλληλογράμμου, χωρίζει το παραλληλόγραμμο σε δύο ισοδύναμα τρίγωνα).

Άρα: $(AZHE)=(AB\Gamma \Delta)$

edit
Διόρθωση σχήματος, είχα κάνει λάθος στο ύψος πριν

ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 1996 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση