Ερώτηση

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #1

Καλημέρα.
Έχω διαβάσει πολλά και τελικά τι είναι σωστό και τι όχι σε σχέση με τα κοινά σημεία της f και της $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ :

1. Η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=x ή με την εξίσωση $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = x}$ όταν η f δεν είναι ενελικτική (η f δεν ισούται με την αντίστροφή της);

2. Η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$ είναι ισοδύναμη με την εξίσωση f(x)=x ή με την εξίσωση $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = x}$ μόνον όταν η f είναι γνήσια αύξουσα;

3. (Προσωπική μου άποψη) Αν $\displaystyle{f,g:R \to R}$
δυο αντίστροφες συναρτήσεις και γνήσια αύξουσες τότε ισχύoυν οι ισοδυναμίες:
$\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow f(x) = x}$
ή
$\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = x}$

Για το τελευταίο είναι περιττό να πούμε ότι οι δυο συναρτήσεις είναι γνήσια μονότονες αφού μπορούμε να αποδείξουμε (με εις άτοπο απαγωγή) ότι αν η $\displaystyle{f:A \to R}$
είναι γνήσια μονότονη στο Α, τότε υπάρχει η $\displaystyle{{f^{ - 1}}:f(A) \to R}$ η οποία είναι γνήσια μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας με την f,
αλλά τη διατυπώνω σαν πρόταση που κατά την άποψή μου αποδεικνύεται.

Θωμάς
Υ.Γ
Δεν αναφέρομαι στο θέμα Πετράκη.
Έγινε διόρθωση στην εκφώνηση του 3

k-ser · #2

Θωμά, δεν το κατάλαβα.
Αν έχω την f(x)=-x^3

, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα, και την αντίστροφή της, τότε οι εξισώσεις:
$f(x)=f^{-1}(x)$ , f(x)=x

είναι ισοδύναμες;

Και μία απαραίτητη διευκρίνηση: Οι εξισώσεις f(x)=x

και $f^{-1}(x)=x$ είναι πάντα ισοδύναμες.

#3

Με πρόλαβε ο Κώστας ( καλησπέρα Κώστα!! ) γιατί έλειψα για λίγο απο το σπίτι και απάντησε με το ίδιο ακριβώς παράδειγμα που είχα κατα νου για το 3)...
Θωμά εσύ το εξειδικεύεις κάπως και βάζεις πεδίο ορισμού το R.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #4

Καλησπέρα και πάλι
Διαβάζοντας το βιβλίο του Ηλία Ντζιώρα Ανάλυση Γ! Λυκείου Α! τεύχος σελίδες 321 και 323 καθώς και την άσκηση 20 στη σελίδα 342, βρήκα τα ερωτήματα που έθεσα.

Στην άσκηση 20 το 2ο ερώτημα είναι διατυπωμένο όπως το έγραψα.
Ο συγγραφέας όμως το αποδεικνύει μόνον για γνήσια αύξουσα συνάρτηση.
Στην (εκ των υστέρων) προσπάθειά μου να το αποδείξω για γνήσια φθίνουσα συνάρτηση δεν το κατόρθωσα, οπότε ανασκευάζω την εκφώνηση ως εξής:

3. Αν $\displaystyle{f,g:R \to R}$ δυο αντίστροφες συναρτήσεις και γνήσια αύξουσες τότε ισχύoυν οι ισοδυναμίες:
$\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow f(x) = x}$
ή
$\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(x) = x}$

Όλοι κάνουν λάθος και οι απρόσεκτοι εκτίθενται.

Ας γράψω την απόδειξη για τιμωρία μου.
1. (ευθύ)
Έστω ρ μια ρίζα της εξίσωσης f(x)=x, οπότε f(ρ)=ρ (1).
Θα δειχθεί ότι το ρ είναι και ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$ .
Από την (1) έχουμε $\displaystyle{{f^{ - 1}}(f(\rho )) = {f^{ - 1}}(\rho ) \Rightarrow \rho = {f^{ - 1}}(\rho )}$ (2).
Από (1) και (2) έχουμε f(ρ)=g(ρ), οπότε ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$ .
2. (αντίστροφο)
Έστω ρ ρίζα της εξίσωσης $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$ , οπότε $\displaystyle{f(\rho ) = {f^{ - 1}}(\rho )}$ .
Θα δειχθεί ότι το ρ είναι ρίζα και της εξίσωσης f(x)=x, δηλαδή θα δειχθεί ότι f(ρ)=ρ.
Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{f(\rho ) \ne \rho }$ , οπότε $\displaystyle{f(\rho ) > \rho }$ ή $\displaystyle{f(\rho ) < \rho }$ .
Ας πάρουμε $\displaystyle{f(\rho ) > \rho }$ και ότι η συνάρτηση f είναι γνήσια αύξουσα, οπότε και η αντίστροφη θα είναι γνήσια αύξουσα, οπότε θα έχουμε:
$\displaystyle{{f^1}(f(\rho )) > {f^{ - 1}}(\rho ) \Rightarrow \rho > {f^{ - 1}}(\rho )}$ και επειδή $\displaystyle{f(\rho ) = {f^{ - 1}}(\rho )}$ θα έχουμε τελικά $\displaystyle{\rho > f(\rho )}$ , άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι $\displaystyle{f(\rho ) > \rho }$ .
Όμοια σε άτοπο καταλήγουμε και αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{f(\rho ) < \rho }$ .
Αρκετά Αυτοτιμωρήθηκα.
Τον δάσκαλό μου στο μαθηματικό Αθήνας τον συγχωρώ, γιατί τελικά μου έμαθε τόσα άλλα!
Θωμάς

Κώστα και Χρήστο ευχαριστώ για την παρέμβαση, νόμιζα ότι ήταν κάτι καλό αλλά άνθρακας ο θησαυρός.

mathxl · #5

Από το χαρτομάντηλο

, προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και περιττή στο πεδίο ορισμού της, να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$
είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = - x}$

Καλή δύναμη Θωμά!!

Πως ΄βάζεις λέξεις κλειδιά;
ΠΡΟΣΘΗΚΗ: Διόρθωσα την εκφώνηση...πέταξα έξω το ένα διάστημα..που δεν είναι απαραίτητο...(έτσι ήταν κα στο χαρτομάντηλο

)

#6

To ένα σκέλος - προς τα δεξιά - αποδεικνύεται παρόμοια με την γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Το άλλο σκέλος , πχ αν f(a)=-a , τότε και $f^{-1} (a) = -a$ , βγαίνει με τα γνωστά κολπάκια.
(Η αντίστροφη είναι και αυτή περιττή, σύμφωνα με μια ωραία προτασούλα!)
Βλέπω το Ροδόλφο να είναι στην οθόνη,οπότε δεν βάζω αναλυτικά τη λύση, μήπως και την έχει γράψει. Την αφήνω όμως στο προχειράκι μπροστά μου, μήπως χρειαστεί.

Μπάμπης

#7

mathxl έγραψε:.............................. προτεινόμενη από τον Νίκο Ζανταρίδη

Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και περιττή στο πεδίο ορισμού της, που είναι ένα διάστημα (Τάσο ευχαριστώ) να δείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(x) = {f^{ - 1}}(x)}$
είναι ισοδύναμη με την εξίσωση $\displaystyle{f(x) = - x}$

Μια και ο Ροδόλφος δεν έβαλε κάτι (Ροδόλφε, Χρόνια πολλά !) , γράφω μια σκέψη:

Αν ${f^{ - 1}}(a) = f(a)$ , θα αποδείξουμε ότι f(a) = - a

. Η συνθήκη δίνει :

${f^{ - 1}}(a) = f(a) \Rightarrow \,f(f(a)) = a$

Αν ήταν f(a) < - a

, θα είχαμε τις συνεπαγωγές :

$\begin{array}{l} f(a) < - a \Rightarrow f(f(a)) > f( - a) \Rightarrow a > - f(a) \Rightarrow \\ \Rightarrow f(a) > - a \end{array}$ ,

άτοπο. Όμοια είναι:

$\begin{array}{l} f(a) > - a \Rightarrow f(f(a)) < f( - a) \Rightarrow a < - f(a) \Rightarrow \\ \Rightarrow f(a) < - a \end{array}$

άτοπο. Άρα είναι f(a) = - a

.

Ας δούμε λίγο και την άλλη κατέυθυνση :

Έστω ότι f(a) = - a

. Θα αποδείξουμε ότι και ${f^{ - 1}}(a) = - a$ . ΄Εχουμε :

$\begin{array}{l} f(a) = - a \Rightarrow f(f(a)) = f( - a) \Rightarrow f(f(a)) = - f(a) \Rightarrow \\ \Rightarrow f(a) = {f^{ - 1}}( - f(a)) \Rightarrow f(a) = - {f^{ - 1}}(f(a)) \Rightarrow f(a) = - {f^{ - 1}}( - a) \Rightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow f(a) = - ( - {f^{ - 1}}(a)) \Rightarrow - a = {f^{ - 1}}(a) \Rightarrow {f^{ - 1}}(a) = - a \end{array}$

Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι αν η

είναι περιττή ,τότε και η $f^{-1}$ είναι περιττή.

( Να ξαναδώ μόνο μήπως μερικά βήματα μπορούν να συντομευτούν )

Σχόλιο

Αφού η

είναι περιττή, αν θέσουμε ${f^{ - 1}}( - x) = y$ , θα είναι :

$\begin{array}{l} \,\,\,\,\,{f^{ - 1}}( - x) = y \Leftrightarrow - x = f(y) \Leftrightarrow x = - f(y) \Leftrightarrow x = f( - y) \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow - y = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow - {f^{ - 1}}( - x) = {f^{ - 1}}(x) \Leftrightarrow {f^{ - 1}}( - x) = - {f^{ - 1}}(x) \end{array}$

Επομένως η ${f^{ - 1}}$ είναι περιττή .

Μπάμπης

#8

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ και ΚΑΛΑ
(Μπάμπη είμαι εκδρομή στην Δημητσάνα...)
Ροδόλφος

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση