ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #21 από orestisgotsis » Σάβ Μάιος 12, 2012 9:30 am

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 77

Θεωρούμε την δυο φορές παραγφωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f(x)} με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbb{R}} με \displaystyle{f''\left( x \right) = 2{e^x}}
για την οποία ισχύει πως \displaystyle{f'\left( 0 \right) = 5} και \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx}  = 3}.
i. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f'\left( 0 \right) = f''\left( 0 \right) + \int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} }
ii. Να βρείτε την συνάρτηση \displaystyle{f'\left( x \right)}
iii. Να βρείτε την συνάρτηση \displaystyle{f\left( x \right)}
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf''\left( x \right)dx}}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 77

i) Είναι \displaystyle{f'\left( 0 \right) = 5 = 2 + 3 = 2{e^0} + 3 = f''(0) + \int\limits_0^1 {f(x)dx} }

ii) Από \displaystyle{{f}''\left( x \right)=2{{e}^{x}}\Rightarrow {f}'(x)=2{{e}^{x}}+{{c}_{1}},\,\,\,{{c}_{1}}\in \mathbb{R}}.

Από \displaystyle{{f}'\left( 0 \right)=5\Rightarrow 2{{e}^{0}}+{{c}_{1}}=5\Rightarrow {{c}_{1}}=3}, οπότε {f}'(x)=2{{e}^{x}}+3.

iii) Από {f}'(x)=2{{e}^{x}}+3\Rightarrow f(x)=2{{e}^{x}}+3x+{{c}_{2}},\,\,\,{{c}_{2}}\in \mathbb{R}.

Όμως \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,1}{f\left( x \right)dx}=3\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( 2{{e}^{x}}+3x+{{c}_{2}} \right)dx}=3\Rightarrow \left[ 2{{e}^{x}}+\frac{3}{2}{{x}^{2}}+{{c}_{2}}x \right]_{0}^{1}=3}

\displaystyle{\Rightarrow 2{{e}^{1}}+\frac{3}{2}\cdot {{1}^{2}}+{{c}_{2}}\cdot 1-\left( 2{{e}^{0}}+\frac{3}{2}\cdot 0+{{c}_{2}}\cdot 0 \right)=3\Rightarrow 2e+\frac{3}{2}+{{c}_{2}}-2=3}

\displaystyle{\Rightarrow {{c}_{2}}=\frac{7}{2}-2e\Rightarrow f(x)=2{{e}^{x}}+3x+\frac{7}{2}-2e

iv) \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,1}{x{f}''\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{x\cdot 2{{e}^{x}}dx}=2\left( \int\limits_{0}^{1}{x({{e}^{x}}{)}'dx} \right)=2\left\{ \left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{(x{)}'{{e}^{x}}dx} \right\}=}

\displaystyle{=2\left\{ \left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx} \right\}=2\left\{ \left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\left[ {{e}^{x}} \right]_{0}^{1} \right\}=2\left[ 1\cdot {{e}^{1}}-0\cdot {{e}^{0}}-\left( {{e}^{1}}-{{e}^{0}} \right) \right]=2}.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #22 από orestisgotsis » Σάβ Μάιος 12, 2012 3:28 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 83

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x) = \frac{x}{{\ln x}}}

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \displaystyle{f}

β. Να μελετηθεί η συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα

γ. Να συγκριθούν οι αριθμοί \displaystyle{f\left( {\frac{1}{e}} \right)} και \displaystyle{f\left( {\frac{2}{e}} \right)}

δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_e^{{e^2}} {\left( {\frac{1}{{\ln x}} - \frac{1}{{{{\ln }^2}x}}} \right)dx} }


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 83

α) Έστω \displaystyle{A} το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f}. Τότε:

\displaystyle{x\in A\Leftrightarrow \left( x>0\,\,\,\wedge \,\,\,\ln x\ne 0 \right)\Leftrightarrow \left( x>0\,\,\,\wedge \,\,\,x\ne 1 \right)}, άρα \displaystyle{A=\left( 0,\,\,1 \right)\cup \left( 1,\,\,+\infty  \right)}.

β) Για \displaystyle{x\in A\Rightarrow {f}'(x)=\frac{(x{)}'\ln x-x(\ln x{)}'}{{{\ln }^{2}}x}=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x}}.

Είναι \displaystyle{{f}'(x)=0\Leftrightarrow \ln x-1=0\Leftrightarrow \ln x=1\Leftrightarrow \ln x=\ln e\Leftrightarrow x=e}. Επειδή \displaystyle{{{\ln }^{2}}x>0},

θα είναι \displaystyle{{f}'(x)>0\Leftrightarrow \ln x-1>0\Leftrightarrow \ln x>1\Leftrightarrow \ln x>\ln e\Leftrightarrow x>e}, επομένως στα

διαστήματα \displaystyle{\left( 0,\,1 \right)} και \displaystyle{\left( 1,\,e \right)} είναι \displaystyle{{f}'(x)<0}, δηλαδή εκεί η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα.

Στο διάστημα \displaystyle{\left( e,\,+\infty  \right)} είναι γνησίως αύξουσα, ενώ στο \displaystyle{x=e} παρουσιάζει τοπικό

ακρότατο το \displaystyle{f(e)=\frac{e}{\ln e}=e}.

γ) Είναι \displaystyle{e>2>1\Rightarrow \frac{e}{e}>\frac{2}{e}>\frac{1}{e}\Rightarrow 0<\frac{1}{e}<\frac{2}{e}<1}. Επειδή στο \displaystyle{\left( 0,\,1 \right)} η \displaystyle{f} είναι γνησίως

φθίνουσα \displaystyle{\Rightarrow f\left( \frac{1}{e} \right)>f\left( \frac{2}{e} \right)}.

δ) Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{{{\ln }^{2}}x}=\frac{\ln x-1}{{{\ln }^{2}}x}={f}'(x)}, οπότε \displaystyle{\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\left( \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{{{\ln }^{2}}x} \right)dx}=}

\displaystyle{=\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{{f}'(x)dx}=\left[ f(x) \right]_{e}^{{{e}^{2}}}=f({{e}^{2}})-f(e)=\frac{{{e}^{2}}}{\ln {{e}^{2}}}-\frac{e}{\ln e}=\frac{{{e}^{2}}}{2}-e=\frac{{{e}^{2}}-2e}{2}}.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #23 από orestisgotsis » Σάβ Μάιος 12, 2012 9:00 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 81

α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης \displaystyle{f:R \to R}, για την οποία γνωρίζουμε \displaystyle{f'(x) = 6x,x \in R} και \displaystyle{\int\limits_1^2 {f(x)dx = 12} }

β. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_1^2 {\left( {3{x^2}f(x) - 5f(x)} \right)dx} }

γ. Να υπολογίσετε τα όρια \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {\frac{{f(x) - 8}}{{{x^2} + x}}} \right)} και \displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{{x^3} - x}}}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 81

α) Από \displaystyle{{f}'(x)=6x\Rightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+c,\,\,\,c\in \mathbb{R}}.

Τότε \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx=12}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{(3{{x}^{2}}+c)dx}=12\Rightarrow \left[ {{x}^{3}}+cx \right]_{1}^{2}=12\Rightarrow }

{{2}^{3}}+c\cdot 2-\left( {{1}^{3}}+c\cdot 1 \right)=12\Rightarrow c=5\Rightarrow f(x)=3{{x}^{2}}+5.

β) \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}f(x)-5f(x) \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)f(x)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3{{x}^{2}}-5 \right)\left( 3{{x}^{2}}+5 \right)dx}=}

=\int\limits_{1}^{2}{\left( 9{{x}^{4}}-25 \right)dx}=\left[ \frac{9}{5}{{x}^{5}}-25x \right]_{1}^{2}=\frac{154}{5}

γ) Έχουμε: \displaystyle{\frac{f(x)-8}{{{x}^{2}}+x}=\frac{3{{x}^{2}}+5-8}{{{x}^{2}}+x}=\frac{3({{x}^{2}}-1)}{{{x}^{2}}+x}=\frac{3(x-1)(x+1)}{x(x+1)}=\frac{3(x-1)}{x}},

άρα \displaystyle{\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{f(x)-8}{{{x}^{2}}+x} \right)=\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3(x-1)}{x}=6}

Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\frac{f(x)-f(1)}{{{x}^{3}}-x}=\frac{1}{x(x+1)}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}} και \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{2},

\displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={f}'(1)=6}, οπότε \displaystyle{\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(1)}{{{x}^{3}}-x}=\frac{1}{2}\cdot 6=3}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #24 από orestisgotsis » Σάβ Μάιος 12, 2012 10:45 pm

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 78

θεωρούμε τις συναρτήσεις \displaystyle{g\left( x \right) = {e^{{x^2} - 4x}} - 3} και \displaystyle{f\left( x \right) = 2\left( {x - 2} \right){e^{{x^2} - 4x}}}

i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{g\left( x \right)} είναι παράγουσα της \displaystyle{f\left( x \right)}
ii. Να βρείτε την παράγουσα της \displaystyle{f\left( x \right)} που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{(0,1- e)}
iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{ - 1}^0 {2f\left( x \right)dx} }
iv. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int_{ - 2}^2 {\left(3-g''\left( x \right)\right)dx} }
v. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα \displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left(g\left( x \right){\color{red}+f\left( x \right)}\right)dx}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 78

i) Έχουμε:

\displaystyle{{g}'\left( x \right)={{\left( {{e}^{{{x}^{2}}-4x}}-3 \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}}-4x \right)}^{\prime }}{{e}^{{{x}^{2}}-4x}}=\left( 2x-4 \right){{e}^{{{x}^{2}}-4x}}=2\left( x-2 \right){{e}^{{{x}^{2}}-4x}}=f(x)}

ii) Κάθε άλλη παράγουσα της f(x) είναι της μορφής G(x)=g(x)+c,\,\,\,c\in \mathbb{R}.

Για την παράγουσα που διέρχεται από το σημείο \displaystyle{(0,1-e)} θα ισχύει

G(0)=1-e\Leftrightarrow g(0)+c=1-e\Leftrightarrow {{e}^{0}}-3+c=1-e\Rightarrow c=3-e, οπότε

G(x)={{e}^{{{x}^{2}}-4x}}-3+3-e\Rightarrow G(x)={{e}^{{{x}^{2}}-4x}}-e.

iii) Έχουμε:

\displaystyle{\int\limits_{-1}^{0}{2f\left( x \right)dx}=2\int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}\,\,\overset{(i)}{\mathop{=}}\,\,\,2\int\limits_{-1}^{0}{{g}'(x)dx}=2\left[ g(x) \right]_{-1}^{0}=2\left[ {{e}^{{{0}^{2}}-4\cdot 0}}-3-\left( {{e}^{{{(-1)}^{2}}-4(-1)}}-3 \right) \right]=}

={{e}^{0}}-{{e}^{5}}=1-{{e}^{5}}

iv) \displaystyle{\int\limits_{-2}^{2}{\left( 3-{g}''\left( x \right) \right)dx}=\int\limits_{-2}^{2}{{{\left( 3x-{g}'(x) \right)}^{\prime }}dx}=\left[ 3x-{g}'(x) \right]_{-2}^{2}=\left[ 3x-2(x-2){{e}^{{{x}^{2}}-4x}} \right]_{-2}^{2}=}

=3\cdot 2-2(2-2){{e}^{{{2}^{2}}-4\cdot 2}}-\left[ 3(-2)-2(-2-2){{e}^{{{(-2)}^{2}}-4(-2)}} \right]=12-8{{e}^{12}}.

v) \displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left( g\left( x \right)+f(x) \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left( {{e}^{{{x}^{2}}-4x}}-3+2(x-2){{e}^{{{x}^{2}}-4x}} \right)dx}=}

\displaystyle{=\int\limits_{0}^{2}{{{e}^{x}}\left( (2x-3){{e}^{{{x}^{2}}-4x}}-3 \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\left( (2x-3){{e}^{{{x}^{2}}-3x}}-3{{e}^{x}} \right)dx}=}
\displaystyle{=\int\limits_{0}^{2}{{{\left( {{e}^{{{x}^{2}}-3x}}-3{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}dx}=\left[ {{e}^{{{x}^{2}}-3x}}-3{{e}^{x}} \right]_{0}^{2}={{e}^{-2}}-3{{e}^{2}}-\left( {{e}^{0}}-3{{e}^{0}} \right)=\frac{1-3{{e}^{4}}+2{{e}^{2}}}{{{e}^{2}}}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #25 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 13, 2012 2:25 am

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 79

Αν για την \displaystyle{f(x)} με συνεχή πρώτη παράγωγο στο \displaystyle{\mathbbb{R}} ισχύει ότι \displaystyle{\int_{\,1}^{\,4} {f\left( x \right)dx}  = 2} και \displaystyle{[tex]\displaystyle{\int_{\,0}^{\,4} {f\left( x \right)dx}  =  - 1} :
i. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {f\left( x \right)dx} } και \displaystyle{II = \int_{\,0}^{\,1} {\left( {3f\left( x \right) - {e^x}} \right)dx} }
ii. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\int_{\,0}^{\,1} {xf'\left( x \right)dx}  = f\left( 1 \right) + 3}
iii. Θεωρούμε την παράγουσα \displaystyle{g} της \displaystyle{f} της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \displaystyle{K=2g(4)+3g(1)-\int_{\,g(1)}^{\,g(4)} 2012dx}  }


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 79

i) Ισχύει ότι \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{4}{f(x)dx}}, οπότε -1=\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+2\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-3

\displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,1}{\left( 3f\left( x \right)-{{e}^{x}} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{3f(x)dx}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}=3\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}-\left[ {{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=3(-3)-{{e}^{1}}+{{e}^{0}}=-8-e}

ii) \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,1}{x{f}'\left( x \right)dx}=\left[ xf(x) \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{(x{)}'f(x)dx}=1\cdot f(1)-0\cdot f(0)-\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=f(1)+3}, αφού

\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=-3.

iii) Αν g(x) παράγουσα της f(x), τότε \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,4}{f\left( x \right)dx}=g(4)-g(0)\,\,\,(1)}. Όμως

g(0)=0\,\,\,(2) αφού η γραφική παράσταση της g(x) διέρχεται από την αρχή των

αξόνων. Από την υπόθεση είναι \displaystyle{\int\limits_{\,0}^{\,4}{f\left( x \right)dx}=-1\,\,\,(3)}. Από (1),(2),(3)\Rightarrow g(4)=-1.

Επίσης είναι \displaystyle{\int\limits_{\,1}^{\,4}{f\left( x \right)dx}=2\Rightarrow g(4)-g(1)=2\,\,\,\overset{g(4)=-1}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,\,\,-1-g(1)=2\Rightarrow g(1)=-3}

Από τα παραπάνω έχουμε \displaystyle{\int\limits_{\,g(1)}^{\,g(4)}{2}012dx=\int\limits_{-3}^{-1}{2012dx}=2012\left[ -1-(-3) \right]=4024}, άρα

\displaystyle{K=2g(4)+3g(1)-\int\limits_{\,g(1)}^{\,g(4)}{2}012dx=2(-1)+3(-3)-4024=-4035}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #26 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 13, 2012 4:03 pm

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 80

Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g} είναι συνεχής στο \displaystyle{R} και ισχύουν \displaystyle{\int\limits_1^4 {f(x)dx =  - 1} ,\int\limits_1^5 {f(x)dx = 2,\int\limits_4^5 {g(x)dx = 1,} } }

να υπολογίσετε την τιμή των ορισμένων ολοκληρωμάτων

α. \displaystyle{\int\limits_4^1 {f(x)dx} }

β. \displaystyle{\int\limits_4^5 {f(x)dx} }

γ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {3g(x)dx} }

δ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) + 3g(x)} \right)dx} }

ε. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {2f(x) - 2x} \right)dx} }

στ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + \frac{1}{x}} \right)dx} }

ζ. \displaystyle{\int\limits_4^5 {\left( {g(x) + {e^x} - 1} \right)dx} }


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 80

α) \displaystyle{\int\limits_{4}^{1}{f(x)dx}=-\int\limits_{1}^{4}{f(x)dx}=-(-1)=1}

β) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{f(x)dx}=\int\limits_{4}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{5}{f(x)dx}=1+2=3}

γ) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{3g(x)dx}=3\int\limits_{4}^{5}{g(x)dx}=3\cdot 1=3}

δ) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{\left( 2f(x)+3g(x) \right)dx}=2\int\limits_{4}^{5}{f(x)dx}+3\int\limits_{4}^{5}{g(x)dx}=2\cdot 3+3\cdot 1=9}

ε) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{\left( 2f(x)-2x \right)dx}=2\int\limits_{4}^{5}{f(x)dx}-\int\limits_{4}^{5}{2xdx}=2\cdot 3-\left[ {{x}^{2}} \right]_{4}^{5}=6-\left( 25-16 \right)=-3}

στ) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{\left( g(x)+\frac{1}{x} \right)dx}=\int\limits_{4}^{5}{g(x)}dx+\int\limits_{4}^{5}{\frac{1}{x}dx}=1+\ln 5-\ln 4=1+\ln \frac{5}{4}}

ζ) \displaystyle{\int\limits_{4}^{5}{\left( g(x)+{{e}^{x}}-1 \right)dx}=\int\limits_{4}^{5}{g(x)dx}+\int\limits_{4}^{5}{\left( {{e}^{x}}-1 \right)dx}=1+\left[ {{e}^{x}}-x \right]_{4}^{5}=}

\displaystyle{=1+{{e}^{5}}-5-\left( {{e}^{4}}-4 \right)={{e}^{5}}-{{e}^{4}}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #27 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 13, 2012 7:56 pm

parmenides51 έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 76

Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα

i. \displaystyle{\int_{ - 1}^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {5x + 1} \right)dx} }

ii. \displaystyle{ \int_3^2 {\frac{{3{x^2} - 2x - 6}}{{3{x^2}}}dx} }

iii. \displaystyle{\int_1^e {\ln xdx} }

iv. \displaystyle{\int_1^2 {x^3\ln xdx} }

v. \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi }{2}} {x\sigma \upsilon \nu xdx} }


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 76

i) \displaystyle{\int\limits_{-1}^{2}{\left( 3x-2 \right)\left( 5x+1 \right)dx}=\int\limits_{-1}^{2}{\left( 15{{x}^{2}}-7x-2 \right)dx=}\left[ 5{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}-2x \right]_{-1}^{2}=\frac{57}{2}}

ii) \displaystyle{\int\limits_{3}^{2}{\frac{3{{x}^{2}}-2x-6}{3{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{3}^{2}{\left( 3-\frac{2}{3}\frac{1}{x}+2\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right) \right)dx}=\left[ 3x-\frac{2}{3}\ln x+\frac{2}{x} \right]_{3}^{2}=}

\displaystyle{=\frac{2}{3}\ln 3-\frac{2}{3}\ln 2-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\left( \ln \frac{3}{2}-1 \right)}

iii) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\ln xdx}=\int\limits_{1}^{e}{(x{)}'\ln xdx}=\left[ x\ln x \right]_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{x(\ln x{)}'}dx=e\ln e-1\cdot \ln 1-(e-1)=1}

iv) \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}\ln xdx}=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{2}{({{x}^{4}}{)}'\ln xdx}=\frac{1}{4}\left\{ \left[ {{x}^{4}}\ln x \right]_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{4}}(\ln x{)}'dx} \right\}=}

\displaystyle{=\frac{1}{4}\left\{ \left[ {{x}^{4}}\ln x \right]_{1}^{2}-\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{3}}dx} \right\}=\frac{1}{4}\left\{ \left[ {{x}^{4}}\ln x \right]_{1}^{2}-\frac{1}{4}\left[ {{x}^{4}} \right]_{1}^{2} \right\}=4\ln 2-\frac{15}{16}}

v) \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x\sigma \upsilon \nu xdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x(\eta \mu \,x{)}'}dx=\left[ x\eta \mu \,x \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}-\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(x{)}'}\eta \mu \,xdx=\left[ x\eta \mu \,x \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{(\sigma \upsilon \nu \,x{)}'}dx=}

\displaystyle{=\frac{\pi }{2}\eta \mu \,\frac{\pi }{2}-0+\left( \sigma \upsilon \nu \,\frac{\pi }{2}-\sigma \upsilon \nu \,0 \right)=\frac{\pi }{2}-1}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #28 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 20, 2012 5:29 pm

Vasilikos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 84

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,τη γραφική παράσταση Cf της:

1) \displaystyle{f(x) = 3{x^2} + 2x + 1} και τις ευθείες χ=0,χ=1

2)\displaystyle{f(x) = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}} και τις ευθείες χ=1,χ=2

3)\displaystyle{f(x) = \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}} και τις ευθείες χ=1,χ=2

4)\displaystyle{f(x) = x{e^{ - x}}} και τις ευθείες χ=0,χ=1



ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 84

1) E=\int\limits_{0}^{1}{\left| 3{{x}^{2}}+2x+1 \right|}dx\,\,\,(1). Παρατηρούμε ότι 3{{x}^{2}}+2x+1>0 για κάθε x\in \mathbb{R} διότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητικός αριθμός, οπότε η (1) γίνεται: E=\int\limits_{0}^{1}{\left( 3{{x}^{2}}+2x+1 \right)}dx=\left[ {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x \right]_{0}^{1}=3

2) Η \displaystyle{f(x)} έχει πεδίο ορισμού το A=\left( -\infty ,-1 \right)\cup \left( -1,+\infty  \right) και η γραφική της παράσταση τέμνει τον {x}'x στα σημεία εκείνα που είναι \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow \frac{x-1}{x+1}=0\Leftrightarrow x=1. Για το πρόσημο των τιμών της έχουμε \displaystyle{\frac{x-1}{x+1}>0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x+1 \right)>0\Leftrightarrow \left( x<-1\,\,\,\vee \,\,\,x>1 \right)}. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι στο διάστημα ολοκλήρωσης \left[ 1,2 \right] είναι f(x)\ge 0, οπότε \displaystyle{E=\int\limits_{1}^{2}{\left| \frac{x-1}{x+1} \right|dx=}\int\limits_{1}^{2}{\frac{x-1}{x+1}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{x+1-2}{x+1}dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( 1-2\cdot \frac{1}{x+1} \right)}dx}}=
\displaystyle{=\int\limits_{1}^{2}{1}dx-2\int\limits_{1}^{2}{\frac{(x+1{)}'}{x+1}}dx\displaystyle{=\left[ x \right]_{1}^{2}-2\left[ \ln (x+1) \right]_{1}^{2}=1+2\ln 2-2\ln 3=1+2\ln \frac{2}{3}}.

3) Πεδίο ορισμού της \displaystyle{f(x)} είναι το \displaystyle{A = \left( {0, + \infty } \right)} και σ’ αυτό είναι \displaystyle{f(x) > 0 \Leftrightarrow \frac{{\ln x}}{{\sqrt x }} > 0 \Leftrightarrow \sqrt x  \cdot \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x > 0 \Leftrightarrow \ln x > \ln 1 \Leftrightarrow x > 1} και \displaystyle{f(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1}. Επειδή στο διάστημα ολοκλήρωσης \displaystyle{\left[ {1,2} \right]} είναι \displaystyle{f(x) \ge 0}, έχουμε \displaystyle{E = \int\limits_1^2 {\frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}} dx = 2\int\limits_1^2 {\frac{1}{{2\sqrt x }}\ln x} dx = 2\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }\ln x} dx = }
\displaystyle{ = 2\left\{ {\left[ {\sqrt x \ln x} \right]_1^2 - \int\limits_1^2 {\sqrt x } {{\left( {\ln x} \right)}^\prime }dx} \right\} = 2\left\{ {\left[ {\sqrt x \ln x} \right]_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{\sqrt x }}{x}} dx} \right\} = 2\left\{ {\left[ {\sqrt x \ln x} \right]_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}} dx} \right\} = 2\left\{ {\left[ {\sqrt x \ln x} \right]_1^2 - 2\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^\prime }} dx} \right\} = }
\displaystyle{ = 2\left[ {\sqrt x \ln x} \right]_1^2 - 4\left[ {\sqrt x } \right]_1^2 = 4 + 2\sqrt 2 \ln 2 - 4\sqrt 2 }.

4) Πεδίο ορισμού της \displaystyle{f(x)} είναι το \mathbb{R} και σ’ αυτό είναι \displaystyle{f(x)\ge 0\Leftrightarrow x{{e}^{-x}}\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0}. Επειδή στο διάστημα ολοκλήρωσης \left[ 0,1 \right] είναι f(x)\ge 0 έχουμε:

\displaystyle{E = \int\limits_0^1 {x{e^{ - x}}} dx =  - \int\limits_0^1 {x\left( { - {e^{ - x}}} \right)} dx =  - \int\limits_0^1 {x{{\left( {{e^{ - x}}} \right)}^\prime }} dx =  - \left\{ {\left[ {x{e^{ - x}}} \right]_0^1 - \int\limits_0^1 {{{\left( x \right)}^\prime }{e^{ - x}}} dx} \right\} =  - \left\{ {\left[ {x{e^{ - x}}} \right]_0^1 + \int\limits_0^1 {\left( { - {e^{ - x}}} \right)} dx} \right\} = }

\displaystyle{ =  - \left\{ {\left[ {x{e^{ - x}}} \right]_0^1 + \int\limits_0^1 {{{\left( {{e^{ - x}}} \right)}^\prime }} dx} \right\} =  - \left\{ {\left[ {x{e^{ - x}}} \right]_0^1 + \left[ {{e^{ - x}}} \right]_0^1} \right\} = 1 - \frac{2}{e}}.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #29 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 20, 2012 7:09 pm

Vasilikos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 85


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ και τη γραφική παράσταση Cf:

1) \displaystyle{f(x) = {x^2} - 4}

2) \displaystyle{f(x) = {x^3} - x}

3) \displaystyle{f(x) = x({e^x} - e)}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 85

1) Η {{C}_{f}} τέμνει τον {x}'x στα σημεία που είναι

\displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow x=-2\,\,\,\vee \,\,\,x=2}. Στο διάστημα \displaystyle{\left[ -2,2 \right]} είναι \displaystyle{f(x)\le 0}, οπότε

E=\int\limits_{-2}^{2}{\left| f(x) \right|}dx=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx=\left[ 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-2}^{2}=\frac{32}{3}

2) Η {{C}_{f}} τέμνει τον {x}'x στα σημεία που είναι

\displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x=0\Leftrightarrow x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=1\,\,\,\vee \,\,\,x=-1}.

Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την {{C}_{f}} και τον {x}'x δίνεται από το

E=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f(x) \right|}dx. Στο διάστημα ολοκλήρωσης είναι f(x)\ge 0,\,\,\,x\in \left[ -1,0 \right] και

f(x)\le 0,\,\,\,x\in \left[ 0,1 \right], άρα E=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-x \right)}dx+\int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{3}} \right)}dx=\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{-1}^{0}+

+\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{4}}}{4} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}

3) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow x({{e}^{x}}-e)=0\Leftrightarrow \left( x=0\,\,\,\vee {{e}^{x}}=e \right)\Leftrightarrow \left( x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=1 \right)}.

Για 0\le x\le 1\Rightarrow {{e}^{x}}\le e\Rightarrow {{e}^{x}}-e\le 0\Rightarrow x\left( {{e}^{x}}-e \right)\le 0 και τότε

\displaystyle{E=\int\limits_{0}^{1}{\left| x({{e}^{x}}-e) \right|}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( ex-x{{e}^{x}} \right)}dx=e\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}}dx=\frac{e}{2}-\int\limits_{0}^{1}{x{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}dx=}

\displaystyle{=\frac{e}{2}-\left( \left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x \right)}^{\prime }}{{e}^{x}}}dx \right)=\frac{e}{2}-e+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}dx=-\frac{e}{2}+\left[ {{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=\frac{e}{2}-1}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #30 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 20, 2012 10:22 pm

Vasilikos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τον άξονα χ'χ ,την γραφική παράσταση Cf:

1) \displaystyle{f(x) = {x^3} + 1} και την ευθεία χ=0

2) \displaystyle{f(x) = \ln x} και την ευθεία \displaystyle{x = \frac{1}{e}}

3) \displaystyle{f(x) = {x^2} - 1} και την ευθεία χ=2

4) \displaystyle{f(x) = {x^2} - x} και την ευθεία χ=-1


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 86

1) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+1=0\Leftrightarrow (x+1)({{x}^{2}}-x+1)=0\Leftrightarrow x=-1}

(αφού είναι {{x}^{2}}-x+1>0 για κάθε x\in \mathbb{R}) και f(x)\ge 0\Leftrightarrow x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge -1,

άρα \displaystyle{E=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}dx=\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4}+x \right]_{-1}^{\,0}=\frac{3}{4}

2) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow \ln x=0\Leftrightarrow \ln x=\ln 1\Leftrightarrow x=1}. Είναι \displaystyle{e>1\Rightarrow \frac{1}{e}<1 και για

\displaystyle{\frac{1}{e}\le x\le 1\Rightarrow \ln x\le \ln 1\Rightarrow \ln x\le 0 και \displaystyle{E=\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\left| \ln x \right|}dx=-\int\limits_{\frac{1}{e}}^{1}{\ln x}dx=\int\limits_{1}^{\frac{1}{e}}{\ln x}dx=}

\displaystyle{=\int\limits_{1}^{\frac{1}{e}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}\ln x}dx=\left[ x\ln x \right]_{1}^{\frac{1}{e}}-\int\limits_{1}^{\frac{1}{e}}{x{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}}dx=\left[ x\ln x \right]_{1}^{\frac{1}{e}}-\int\limits_{1}^{\frac{1}{e}}{1}dx=1-\frac{2}{e}}

3) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=-1\,\,\,\vee \,\,\,x=1}, ενώ \displaystyle{f(x)\le 0} για -1\le x\le 1 και

για x\ge 1 είναι \displaystyle{f(x)\ge 0}.

Τότε \displaystyle{E=\int\limits_{-1}^{2}{\left| f(x) \right|}dx=\int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}dx+\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}dx=\left[ x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-1}^{\,1}+\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}-x \right]_{1}^{2}=\frac{8}{3}}

4) Έχουμε \displaystyle{f(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=1} με f(x)\le 0 για

0\le x\le 1 και f(x)\ge 0 για x\le 0. Τότε E=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f(x) \right|}dx=\int\limits_{-1}^{0}{({{x}^{2}}-x)}dx+\int\limits_{0}^{1}{(x-{{x}^{2}})}dx=

\displaystyle{=\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{-1}^{\,\,0}+\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}=1


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #31 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 20, 2012 11:41 pm

Vasilikos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 87

Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση Cf :

1) \displaystyle{f(x) = {x^2}} και την ευθεία y=1

2) \displaystyle{f(x) = \frac{2}{x}} και την ευθεία y=-x+3


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 87

1) Σχηματίζουμε τη διαφορά \displaystyle{f(x)-y={{x}^{2}}-1}. Βρίσκουμε τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των f(x)={{x}^{2}} και y=1, λύνοντας την εξίσωση \displaystyle{{{x}^{2}}-1=0}. Αυτή έχει λύσεις τις {{x}_{1}}=-1 και {{x}_{2}}=1, επομένως το ζητούμενο εμβαδό δίνεται από την τιμή του ολοκληρώματος \int\limits_{-1}^{1}{\left| {{x}^{2}}-1 \right|}dx. Παρατηρούμε ότι {{x}^{2}}-1\le 0 για -1\le x\le 1, οπότε \left| {{x}^{2}}-1 \right|=1-{{x}^{2}} και τότε \displaystyle{E=\int\limits_{-1}^{1}{(1-{{x}^{2}})}dx=\left[ x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-1}^{1}=\frac{4}{3}

2) Όπως παραπάνω έχουμε \displaystyle{f(x)-y=\frac{2}{x}-(-x+3)=\frac{2}{x}+x-3=\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x}} για x\ne 0.
Έχουμε \displaystyle{\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow x=1\,\,\vee \,\,x=2} και το ζητούμενο εμβαδό είναι \displaystyle{E=\int\limits_{1}^{2}{\left| \frac{2}{x}+x-3 \right|}dx.
Όμως για \displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{\displaystyle{1\le x\le 2\Rightarrow x>0 και \displaystyle{{{x}^{2}}-3x+2\le 0} οπότε \displaystyle{\frac{{{x}^{2}}-3x+2}{x}\le 0}, δηλαδή \displaystyle{\frac{2}{x}+x-3\le 0 και τότε \displaystyle{\left| \frac{2}{x}+x-3 \right|=3-x-\frac{2}{x}, άρα \displaystyle{E=\int\limits_{1}^{2}{\left| \frac{2}{x}+x-3 \right|}dx=\int\limits_{1}^{2}{\left( 3-x-\frac{2}{x} \right)}dx=\left[ 3x-\frac{{{x}^{2}}}{2}-2\ln x \right]_{1}^{2}=\frac{3}{2}-2\ln 2=\frac{3}{2}-\ln 4


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #32 από orestisgotsis » Δευ Μάιος 21, 2012 12:56 am

Vasilikos έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 88


Να υπολογιστεί το εμβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση Cf και Cg των συναρτήσεων :

1) \displaystyle{f(x) = {x^3}} και \displaystyle{g(x) = {x^2}}

2) \displaystyle{f(x) = {x^2}} και \displaystyle{g(x) = \sqrt x }


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 88

1) Έχουμε \displaystyle{f(x)-g(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\,\,\vee \,\,x=1}.

Για 0\le x\le 1\Rightarrow x-1\le 0\Rightarrow {{x}^{2}}(x-1)\le 0 και τότε \displaystyle{E=\int\limits_{0}^{1}{\left| f(x)-g(x) \right|}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-{{x}^{3}} \right)}dx=\left[ \frac{{{x}^{3}}}{3}-\frac{{{x}^{4}}}{4} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{12}

2) Για x\ge 0 έχουμε \displaystyle{f(x)-g(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow {{\sqrt{x}}^{4}}-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( {{\sqrt{x}}^{3}}-1 \right)=0\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)=0\Leftrightarrow \left( \sqrt{x}=0\,\,\vee \,\,\sqrt{x}=1 \right)\Leftrightarrow \left( x=0\,\,\vee \,\,x=1 \right)}, επειδή είναι x+\sqrt{x}+1>0.

Για 0\le x\le 1\Rightarrow \sqrt{x}\le 1\Rightarrow \sqrt{x}-1\le 0\Rightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\le 0 και από x+\sqrt{x}+1>0\Rightarrow \sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)\le 0\Rightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{x}\le 0,

οπότε για το εμβαδό έχουμε \displaystyle{E=\int\limits_{0}^{1}{\left| {{x}^{2}}-\sqrt{x} \right|}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{x}-{{x}^{2}} \right)}dx=\left[ \frac{{{x}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}=\left[ \frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #33 από orestisgotsis » Κυρ Μάιος 27, 2012 11:33 pm

polysot έγραψε:Καταρχήν, μερικές ασκήσεις υπολογισμού, που καλύπτουν νομίζω όλο το εύρος των εξεταζόμενων. Ας συμπληρωθούν και άλλες αν χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 71

1. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+\sin x+\cos x \right)}dx}

2. \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}}dx}

3. \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{3}x\sqrt{x}dx}

4. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}+8}{x+2}}dx}

5. \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\left( {{e}^{x}}-\frac{3}{x}+\cos (2x) \right)}dx}



ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 71

1) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+\sin x+\cos x \right)}dx=\left[ \frac{1}{4}{{x}^{4}}-\cos x+\sin x \right]_{0}^{1}=\frac{5}{4}-\cos 1+\sin 1}

2) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\frac{{{x}^{2}}+x+1}{x}}dx=\int\limits_{1}^{e}{\left( x+1+\frac{1}{x} \right)dx=}\left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}+x+\ln x \right]_{1}^{e}=\frac{1}{2}{{e}^{2}}+e-\frac{1}{2}=\frac{{{e}^{2}}+2e-1}{2}}

3) \displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{3}x\sqrt{x}dx=\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{3x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}}dx=\displaystyle{\int\limits_{1}^{2}{3{{x}^{\frac{3}{2}}}}dx=\displaystyle{\left[ 3\cdot \frac{{{x}^{\frac{3}{2}+1}}}{\frac{3}{2}+1} \right]_{1}^{2}=\left[ \frac{6}{5}{{x}^{\frac{5}{2}}} \right]_{1}^{2}=\displaystyle{\frac{24\sqrt{2}-6}{5}}

4) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{3}}+8}{x+2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{(x+2)({{x}^{2}}-2x+4)}{x+2}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}dx=\left[ \frac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x \right]_{0}^{1}=\frac{7}{4}}

5) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\left( {{e}^{x}}-\frac{3}{x}+\cos (2x) \right)}dx=\int\limits_{1}^{e}{{{e}^{x}}dx-3\int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{x}dx+\int\limits_{1}^{e}{\frac{1}{2}(2x{)}'\cos 2x\,dx=}}}}

\displaystyle{=\int\limits_{1}^{e}{({{e}^{x}}{)}'dx-3\int\limits_{1}^{e}{(\ln x{)}'dx+\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \sin 2x \right)}^{\prime }}dx=}}}\left[ {{e}^{x}}-3\ln x+\frac{1}{2}\sin 2x \right]_{1}^{e}=}

\displaystyle{={{e}^{e}}+\left( \sin e \right)\cos e-3-e-\frac{1}{2}\sin 2}
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Δευ Μάιος 28, 2012 7:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #34 από orestisgotsis » Δευ Μάιος 28, 2012 1:24 am

polysot έγραψε:Καταρχήν, μερικές ασκήσεις υπολογισμού, που καλύπτουν νομίζω όλο το εύρος των εξεταζόμενων. Ας συμπληρωθούν και άλλες αν χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 72
1. \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)}dx}

2. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{x+3}{x+1}}dx}

3. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{x}{{e}^{x}}dx}

4. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{x}\sin xdx}

5. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\sin xdx}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 72

1) \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\left( \frac{1}{{{\cos }^{2}}x}-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \right)}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( \varepsilon \phi x+\sigma \phi x \right)}^{\prime }}dx=}\left[ \varepsilon \phi x+\sigma \phi x \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}-2}

2) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{x+3}{x+1}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\left( x+1 \right)+2}{x+1}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( 1+2\cdot \frac{{{\left( x+1 \right)}^{\prime }}}{x+1} \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{1}dx+2\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ \ln (x+1) \right]}^{\prime }}dx=}}

\displaystyle{=\left[ x+2\ln (x+1) \right]_{0}^{1}=1+2\ln 2}

3) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{x}{{e}^{x}}dx=\int\limits_{0}^{1}{x({{e}^{x}}{)}'dx=\left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{(x{)}'{{e}^{x}}dx}}=\left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}=\left[ x{{e}^{x}} \right]_{0}^{1}-\left[ {{e}^{x}} \right]_{0}^{1}=1}

4) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{x}\sin xdx=\int\limits_{0}^{1}{x}{{\left( -\cos x \right)}^{\prime }}dx=\left[ -x\cos x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}\left( -\cos x \right)dx=\left[ -x\cos x \right]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{\cos x\,}dx=}
\displaystyle{=\left[ -x\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ \sin x \right]_{0}^{1}=\sin 1-\cos 1}

5) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\sin xdx=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}{{\left( -\cos x \right)}^{\prime }}dx=\displaystyle{\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}\left( -\cos x \right)dx=}

\displaystyle{=\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\cos x\,dx=}\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}dx=}}

\displaystyle{=\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\sin xdx=}\displaystyle{\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}\sin xdx}\Rightarrow }
\displaystyle{\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\sin xdx=\left[ -{{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}=e\left( \sin 1-\cos 1 \right)+1\Rightarrow

\displaystyle{\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\sin xdx=\frac{e\left( \sin 1-\cos 1 \right)+1}{2}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #35 από orestisgotsis » Δευ Μάιος 28, 2012 11:52 pm

polysot έγραψε:Καταρχήν, μερικές ασκήσεις υπολογισμού, που καλύπτουν νομίζω όλο το εύρος των εξεταζόμενων. Ας συμπληρωθούν και άλλες αν χρειάζεται.
ΑΣΚΗΣΗ 73

1. \int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}dx

2. \int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx

3. \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\cos x}{\sin x}}dx

4. \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}}dx

5. \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{1+\sin x}}dx


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 73

1) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}dx=\int\limits_{1}^{e}{{{x}^{2}}}{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}dx=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}}{{e}^{x}}dx=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{2x}{{e}^{x}}dx=

\displaystyle{=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-2\int\limits_{1}^{e}{x}({{e}^{x}}{)}'dx=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-2\left\{ \left[ x{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{(x{)}'{{e}^{x}}dx} \right\}=}

\displaystyle{=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-2\left[ x{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}+2\int\limits_{1}^{e}{{{e}^{x}}dx}=\left[ {{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}-2\left[ x{{e}^{x}} \right]_{1}^{e}+2\left[ {{e}^{x}} \right]_{1}^{e}=}

={{e}^{e+2}}-2{{e}^{e+1}}+2{{e}^{e}}-e


2) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{({{x}^{2}}+1{)}'}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}}dx=\left[ \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right]_{0}^{1}=\sqrt{2}-1


3) \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\cos x}{\sin x}}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{(\sin x{)}'}{\sin x}}dx=\left[ \ln (\sin x) \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{1}{2}\ln 3-\frac{1}{2}\ln 2,αφού \sin x>0 για x\in \left[ \frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3} \right]

4) \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}}}dx=-2\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{(\cos x{)}'}{2\sqrt{\cos x}}}dx=-2\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{{{\left( \sqrt{\cos x} \right)}^{\prime }}}dx=\left[ -2\sqrt{\cos x} \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}=\sqrt[4]{{{2}^{3}}}-\sqrt{2}=\sqrt[4]{8}-\sqrt{2}

5) \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\cos x}{1+\sin x}}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{(1+\sin x{)}'}{1+\sin x}}dx=\left[ \ln \left( 1+\sin x \right) \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\ln 2, αφού 1+\sin x>0 για \displaystyle{x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #36 από orestisgotsis » Τρί Μάιος 29, 2012 5:55 pm

polysot έγραψε:Και η συνέχεια :

ΑΣΚΗΣΗ 74

1. \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{x}\ln xdx}

2. \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x}\sin (2x)dx}

3. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\cos xdx}

4. \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }(3x)dx}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 74

1) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{x}\ln xdx=\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)}^{\prime }}}\ln x\,dx=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right]_{1}^{e}-\int\limits_{1}^{e}{\left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)}{{\left( \ln x \right)}^{\prime }}dx=}

\displaystyle{=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right]_{1}^{e}-\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}{x}dx=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}\ln x \right]_{1}^{e}-\left[ \frac{{{x}^{2}}}{4} \right]_{1}^{e}=\frac{{{e}^{2}}+1}{4}}


2) \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x}\sin (2x)dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{x}{{\left( -\frac{\cos 2x}{2} \right)}^{\prime }}dx=\left[ -\frac{x\cos 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}\cos 2xdx=}

\displaystyle{=\left[ -\frac{x\cos 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( \frac{\sin 2x}{2} \right)}^{\prime }}}dx=\left[ -\frac{x\cos 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}+\left[ \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}}


3) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\cos xdx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}\cos xdx=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}{{\left( \cos x \right)}^{\prime }}dx=}

\displaystyle{=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\sin xdx=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\int\limits_{0}^{1}{({{e}^{x}}{)}'}\sin xdx=}

\displaystyle{=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}(\sin x{)}'dx=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\cos xdx\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow 2\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\cos xdx=\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}}\cos xdx=\frac{\left[ {{e}^{x}}\cos x \right]_{0}^{1}+\left[ {{e}^{x}}\sin x \right]_{0}^{1}}{2}}

=\displaystyle{\frac{{{e}^{\frac{\pi }{2}}}-1}{2}=\frac{\sqrt{{{e}^{\pi }}}-1}{2}


4) \displaystyle{\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }3xdx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\left( -\frac{\cos 3x}{3} \right)}^{\prime }}}dx=\left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{3}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1304
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #37 από orestisgotsis » Τρί Μάιος 29, 2012 8:16 pm

polysot έγραψε:Και η συνέχεια :

ΑΣΚΗΣΗ 75

1. \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{{{x}^{2}}}}dx}

2. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x}{{{x}^{2}}+1}}dx}

3. \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\ln x}}}dx}

4. \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+2012}}dx}


ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 75

1) \displaystyle{\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{\sin \left( \frac{1}{x} \right)}{{{x}^{2}}}}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\left[ -\left( -\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\sin \left( \frac{1}{x} \right) \right]}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\left[ -{{\left( \frac{1}{x} \right)}^{\prime }}\sin \left( \frac{1}{x} \right) \right]}dx=\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{{{\left[ \cos \left( \frac{1}{x} \right) \right]}^{\prime }}dx=}}

\displaystyle{=\left[ \cos \left( \frac{1}{x} \right) \right]_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }=\cos \left( \frac{1}{\pi } \right)-\cos \left( 2\cdot \frac{1}{\pi } \right)=\cos \left( \frac{1}{\pi } \right)-\left[ 2{{\cos }^{2}}\left( \frac{1}{\pi } \right)-1 \right]=-2{{\cos }^{2}}\left( \frac{1}{\pi } \right)+\cos \left( \frac{1}{\pi } \right)+1}

2) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{3x}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{3}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{3}{2}\int\limits_{0}^{1}{\frac{({{x}^{2}}+1{)}'}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{3}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ \ln ({{x}^{2}}+1) \right]}^{\prime }}}dx=}

\displaystyle{=\left[ \frac{3}{2}\ln ({{x}^{2}}+1) \right]_{0}^{1}=\frac{3}{2}\ln 2=\ln {{2}^{\frac{3}{2}}}=\ln \sqrt{{{2}^{3}}}=\ln 2+\ln \sqrt{2}}

3) \displaystyle{\int\limits_{1}^{e}{\frac{\frac{1}{x}}{\sqrt{\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{e}{\frac{(\ln x{)}'}{\sqrt{\ln x}}}dx=2\int\limits_{1}^{e}{\frac{(\ln x{)}'}{2\sqrt{\ln x}}}dx=2\int\limits_{1}^{e}{{{\left( \sqrt{\ln x} \right)}^{\prime }}}dx=}

\displaystyle{=\left[ 2\sqrt{\ln x} \right]_{1}^{e}=2\sqrt{\ln e}=2}


4) \displaystyle{\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+2012}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{({{e}^{x}}+2012{)}'}{{{e}^{x}}+2012}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ \ln ({{e}^{x}}+2012) \right]}^{\prime }}dx=}}

\displaystyle{=\left[ \ln ({{e}^{x}}+2012) \right]_{0}^{1}=\ln \left( 2012+e \right)-\ln 2013}


Άβαταρ μέλους
polysot
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2444
Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
Επικοινωνία:

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΕΠΑΛ

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #38 από polysot » Πέμ Ιουν 07, 2012 9:26 pm

polysot έγραψε:Όλες οι επαναληπτικές ασκήσεις συγκεντρωμένες σε ένα αρχείο.
ΤΟ ανεβάζω χωρίς δεύτερο έλεγχο, γιατί πρέπει ΤΩΡΑ να το έχουμε για το τέλος της επανάληψης.
Θα γίνουν όσες διορθώσεις απαιτηθούν (γράψτε εδώ για ό,τι δείτε ή pm).
Βάζω ένα pdf αρχείο και είναι διαθέσιμο για όποιον θέλει το tex.
Καλή επανάληψη.

Στην τελευταία δημοσίευση το τελικό αρχείο ελεγμένο



ΤΟ ΤΕΛΙΚΟ ΑΡΧΕΙΟ ΣΕ PDF ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕ ΥΠΕΡΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΓΙΑ ΕΥΚΟΛΗ ΕΥΡΕΣΗ
ΔΙΟΡΘΩΜΕΝΟ - ΕΛΕΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΩΣ 07-06-2012
Συνημμένα
Επαναληπτικές ασκήσεις ΕΠΑΛ.pdf
(380.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 214 φορές


Σωτήρης Δ. Χασάπης

Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu

Επιστροφή σε “ΕΠΑ.Λ.”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες