συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
HoLiC
Δημοσιεύσεις: 66
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 30, 2010 7:00 pm

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #281 από HoLiC » Παρ Μαρ 30, 2012 1:14 pm

Άσκηση 87


Δίνεται το ΑΒ με Α (-\frac{1}{2},0) , Β (\frac{1}{2},0) και το μέσον του Κ . Βρείτε το Γεωμετρικό τόπο των Μ ώστε : \vec{MK}^2-\frac{1}{2}\left|\vec{MA} \right|\left|\vec{MB} \right|(\cos (\vec{MA},\vec{MB})-1)=1




Σημείωση : Την συγκεκριμένη άσκηση την έχω αναφέρει και σε άλλο thread , απλώς έκρινα σκόπιμο να ενταχθεί και σε αυτή τη συλλογή ασκήσεων


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #282 από Γιώργος Απόκης » Παρ Μαρ 30, 2012 2:58 pm

Μένει η 86 και η 87...


Γιώργος
ΖΩΗ
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Τετ Φεβ 24, 2010 5:22 pm

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #283 από ΖΩΗ » Παρ Μαρ 30, 2012 3:34 pm

HoliC έγραψε:Άσκηση 87
Δίνεται το ΑΒ με Α (-\frac{1}{2},0) , Β (\frac{1}{2},0) και το μέσον του Κ . Βρείτε το Γεωμετρικό τόπο των Μ ώστε : \vec{MK}^2-\frac{1}{2}\left|\vec{MA} \right|\left|\vec{MB} \right|(\cos (\vec{MA},\vec{MB})-1)=1

Αφού \displaystyle{K} είναι το μέσο του \displaystyle{AB} είναι \displaystyle{\vec{MK} =\frac{1}{2}\left(\vec{MA}+\vec{MB} \right)} οπότε η δοσμένη σχέση γίνεται:

\displaystyle{\frac{1}{4}\vec{MA}^2+\frac{1}{2}\vec{MA}\cdot \vec{MB}+\frac{1}{4}\vec{MB}^2-\frac{1}{2}\vec{MA}\cdot \vec{MB}+\frac{1}{2} \left|\vec{MA} \right| \left| \vec{MB} \right|=1 \iff \vec{MA}^2+\vec{MB}^2 +2 \left|\vec{MA} \right| \left| \vec{MB}  \right|=4  \iff}

\displaystyle{\left( \left|\vec{MA} \right|+ \left| \vec{MB} \right|\right)^2 =4 \iff \left|\vec{MA} \right|+ \left| \vec{MB} \right|=2 }, οπότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \displaystyle{M} του επιπέδου είναι η έλλειψη με εστίες \displaystyle{A,\,B} δηλαδή η έλλειψη με εξίσωση \displaystyle{x^2+\frac{y^2}{\frac{3}{4}}=1} - αφού είναι \displaystyle{2a =2 \implies a=1,\, 2 \gamma  = d(A,B) = 1\implies \gamma =\frac{1}{2}} και \displaystyle{b^2 = a^2 - \gamma  ^2 = \frac{3}{4}}.


Ζωή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #284 από Γιώργος Απόκης » Τετ Απρ 04, 2012 12:42 pm

Υπενθυμίζω ότι μένει η 86. Όποιος έχει κάποια άσκηση να προτείνει, ας το κάνει...


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 654
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #285 από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Απρ 04, 2012 1:09 pm

Γιώργος Απόκης έγραψε:Άσκηση 86

(Σύντομη εκφώνηση αλλά με αρκετή διερεύνηση)

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού k να βρεθεί τι παριστάνει στο επίπεδο η εξίσωση : (1-k)x^2+ky^2=k+1.


\displaystyle{k=1} Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις, \displaystyle{y=\pm \sqrt{2}}

\displaystyle{k=0} Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις,\displaystyle{x=\pm 1}

\displaystyle{k=-1} Παριστάνει δύο ευθείες, με εξισώσεις,\displaystyle{y=\pm x\sqrt{2}}

\displaystyle{k<-1 \acute{\eta }-1<k<0\acute{\eta }k>1} Παριστάνει υπερβολή.

\displaystyle{0<k<1} Παριστάνει έλλειψη

Φιλικά Χρήστος
*Ένα πινακάκι για τα πρόσημα των \displaystyle{\frac{k+1}{1-k},\frac{k+1}{k}} διευκολύνει την κατανόηση.
* Ευχαριστώ τον Γιώργο για τις διορθώσεις.
τελευταία επεξεργασία από Χρήστος Λαζαρίδης σε Πέμ Απρ 05, 2012 9:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8677
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #286 από KARKAR » Τετ Απρ 04, 2012 1:49 pm

Άσκηση 88

Δίνεται ο κύκλος x^2+y^2= \rho^2 , τα σημεία του A(\rho , 0) και A'(-\rho , 0) . Σημείο S κινείται επί του κύκλου

και έστω S' το συμμετρικό του ως προς τον x-άξονα . Οι ευθείες A'S και AS' τέμνονται στο P .

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του P .
Συνημμένα
Υπερβολική  προσπάθεια.png
Υπερβολική προσπάθεια.png (13.88 KiB) Προβλήθηκε 1836 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #287 από Γιώργος Απόκης » Τετ Απρ 04, 2012 5:00 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 88
Δίνεται ο κύκλος x^2+y^2= \rho^2 , τα σημεία του A(\rho , 0) και A'(-\rho , 0) . Σημείο S κινείται επί του κύκλου
και έστω S' το συμμετρικό του ως προς τον x-άξονα . Οι ευθείες A'S και AS' τέμνονται στο P .
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του P .


Έστω ότι το S(x_1,y_1) δε συμπίπτει με το A'. Τότε ορίζεται ο \displaystyle{\lambda_{A'S}=\frac{y_1}{x_1+\rho}} και η ευθεία A'S έχει εξίσωση : \displaystyle{y=\frac{y_1}{x_1+\rho}(x+\rho)}.

Ομοίως, αν το S(x_1,y_1) δε συμπίπτει με το A, τότε και το S'(x_1,-y_1) δε συμπίπτει με το A άρα η ευθεία AS' έχει εξίσωση : \displaystyle{y=\frac{y_1}{-x_1+\rho}(x-\rho)}.

Λύνοντας το σύστημα, προκύπτει για το \displaystyle{P\left(\frac{\rho^2}{x_1},\frac{\rho y_1}{x_1}\right)} (Iσχύει x_1\ne 0 γιατί αν x_1=0 οι A'S,AS' είναι παράλληλες).

Αν P(x,y) έχουμε : \displaystyle{\begin{cases}x=\frac{\rho^2}{x_1} \\y=\frac{\rho y_1}{x_1} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=\frac{\rho^2}{x} \\y=\frac{\rho x y_1}{\rho^2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x_1=\frac{\rho^2}{x} \\y_1=\frac{\rho  y}{x} \end{cases},x\ne 0}.

Iσχύει : \displaystyle{x_1^2+y_1^2=\rho^2} άρα με αντικατάσταση έχουμε : \displaystyle{\left(\frac{\rho^2}{x}\right)^2+\left(\frac{\rho  y}{x}\right)^2=\rho^2\Leftrightarrow \frac{\rho^2}{x^2}+\frac{y^2}{x^2}=1\Leftrightarrow \rho^2+y^2=x^2\Leftrightarrow x^2-y^2=\rho^2}

δηλαδή ισοσκελής υπερβολή με κορυφές τα σημεία A,A' (τα οποία επαληθεύουν την εξίσωσή της)
Συνημμένα
ask88.png
ask88.png (27.53 KiB) Προβλήθηκε 1789 φορές


Γιώργος
ΖΩΗ
Δημοσιεύσεις: 117
Εγγραφή: Τετ Φεβ 24, 2010 5:22 pm

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #288 από ΖΩΗ » Παρ Απρ 06, 2012 4:58 pm

Άσκηση 89

Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{A(-1,y), \, B(2x,y),\,M(x,y)} με \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}.

1. Αν \displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}} να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση \displaystyle{y^2 = 2x} της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα.

2. Αν \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση \displaystyle{x^2+y^2 = 3} του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα.

3. Αν \displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση \displaystyle{4x^2+3y^2=12} της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας.

4. Αν \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση \displaystyle{y^2-2x^2 = 6} της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες.


Ζωή
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #289 από Γιώργος Απόκης » Παρ Απρ 06, 2012 10:54 pm

ΖΩΗ έγραψε:Άσκηση 89
Δίνονται τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{A(-1,y), \, B(2x,y),\,M(x,y)} με \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}.
1. Αν \displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}} να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην παραβολή με εξίσωση \displaystyle{y^2 = 2x} της οποίας να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα.
2. Αν \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στον κύκλο με εξίσωση \displaystyle{x^2+y^2 = 3} του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η ακτίνα.
3. Αν \displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην έλλειψη με εξίσωση \displaystyle{4x^2+3y^2=12} της οποίας να βρεθούν η εκκεντρότητα και ο μεγάλος άξονας.
4. Αν \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15}, να δειχθεί ότι τα σημεία \displaystyle{M(x,y)} ανήκουν στην υπερβολή με εξίσωση \displaystyle{y^2-2x^2 = 6} της οποίας να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι ασύμπτωτες.



Για τα διανύσματα έχουμε : \displaystyle{\overrightarrow{OA}=(-1,y), \,\overrightarrow{OB}=(2x,y)}.

1. \displaystyle{\overrightarrow {OA} \perp \overrightarrow {OB}\Leftrightarrow \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB}=0\Leftrightarrow -2x+y^2=0\Leftrightarrow y^2=2x}. Παραβολή με \displaystyle{p=1,~E\left(\frac{1}{2},0\right),~(\delta):x=-\frac{1}{2}}.

2. \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 15\Leftrightarrow 3(1+y^2)+(4x^2+y^2)=15\Leftrightarrow 4x^2+4y^2=12\Leftrightarrow x^2+y^2=3}. Κύκλος με K(0,0),~r=\sqrt{3},

3. \displaystyle{2 \overrightarrow {OA}^2 +\overrightarrow {OB}^2 = 14\Leftrightarrow 2(1+y^2)+(4x^2+y^2)=14\Leftrightarrow 4x^2+3y^2=12\Leftrightarrow \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1}. Έλλειψη με a=2,~\beta=\sqrt{3},~\gamma=\sqrt{4-3}=1,

μεγάλο άξονα (επί του y'y) ίσο με 2a=4 και εκκεντρότητα ίση με \displaystyle{\epsilon=\frac{\gamma}{a}=\frac{1}{2}}.

4. \displaystyle{3\overrightarrow {OA}^2 -\overrightarrow {OB}^2 = 15\Leftrightarrow 3(1+y^2)-(4x^2+y^2)=15\Leftrightarrow -4x^2+2y^2=12\Leftrightarrow \frac{y^2}{6}-\frac{x^2}{3}=1}. Yπερβολή με a=\sqrt{6},~\beta=\sqrt{3},~\gamma=\sqrt{6+3}=3,

εκκεντρότητα ίση με \displaystyle{\epsilon=\frac{\gamma}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}} και ασύμπτωτες τις ευθείες : \displaystyle{y=\pm\frac{a}{b}x~\acute{\eta}~y=\pm \sqrt{2}x}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #290 από Γιώργος Απόκης » Κυρ Απρ 08, 2012 8:28 pm

Άσκηση 90

Δίνεται η έλλειψη C_1:9x^2+25y^2=225 και η υπερβολή C_2:x^2-7y^2=14. Nα δείξετε ότι :

α) Οι C_1,C_2 έχουν τις ίδιες εστίες.

β) Οι C_1,C_2 τέμνονται σε τέσσερα σημεία, που αποτελούν κορυφές ορθογωνίου.

γ) Οι εφαπτόμενες των C_1,C_2 στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5037
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #291 από Γιώργος Απόκης » Δευ Απρ 09, 2012 9:32 am

Noμίζω ότι οι 90 ασκήσεις είναι αρκετές, ας λυθεί και η τελευταία και "κλείνουμε" τη συλλογή.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
Δημοσιεύσεις: 681
Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #292 από ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ » Δευ Απρ 09, 2012 10:48 am

Γιώργος Απόκης έγραψε:Άσκηση 90

Δίνεται η έλλειψη C_1:9x^2+25y^2=225 και η υπερβολή C_2:x^2-7y^2=14. Nα δείξετε ότι :

α) Οι C_1,C_2 έχουν τις ίδιες εστίες.

β) Οι C_1,C_2 τέμνονται σε τέσσερα σημεία, που αποτελούν κορυφές ορθογωνίου.

γ) Οι εφαπτόμενες των C_1,C_2 στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες.


ΛΥΣΗ

α. Για την \displaystyle{{C_1}} έχουμε \displaystyle{9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow \frac{{9{x^2}}}{{225}} + \frac{{25{y^2}}}{{225}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1} ,\displaystyle{(1)}

Η \displaystyle{(1)} παριστάνει έλειψη με \displaystyle{\alpha  = 5,\beta  = 3,\gamma  = 4}, εστίες \displaystyle{{\rm E}( - 4,0)} και \displaystyle{{\rm E}(4,0)}.

Για την \displaystyle{{C_2}} έχουμε \displaystyle{{x^2} - 7{y^2} = 14 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1},

\displaystyle{(2)}. Η \displaystyle{(2)} παριστάνει υπερβολή με \displaystyle{\alpha  = \sqrt {14} ,\beta  = \sqrt 2 ,\gamma  = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}}  = 4}, άρα η υπερβολή έχει εστίες τις \displaystyle{{\rm E}( - 4,0)} και \displaystyle{{\rm E}(4,0)}.

Συνεπώς οι \displaystyle{{C_1}} και \displaystyle{{C_2}} έχουν τις ίδιες εστίες.

β. Λύνουμε το σύστημα των \displaystyle{{C_1}} και \displaystyle{{C_2}}

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2}\\
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{{y^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{9} = \frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{x^2}}}{{25}}\\
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow }


\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{{11{y^2}}}{{18}} = \frac{{11{x^2}}}{{350}}\\
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle\frac{{\frac{{350{y^2}}}{{18}}}}{{14}} - \frac{{{y^2}}}{2} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle\frac{{25{y^2}}}{{18}} - \frac{{9{y^2}}}{{18}} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow }

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle\frac{{16{y^2}}}{{18}} = 1
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle16{y^2} = 18
\displaystyle\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle18{x^2} = 350{y^2}\\
\displaystyle{y^2} = \frac{{18}}{{16}}
\displaystyle\end{array} \right.}


Επομένως τα σημεία τομής είναι τα
\displaystyle\displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}, \displaystyle\displaystyle{\Lambda (-\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})},

\displaystyle\displaystyle{\text{M}(-\frac{5\sqrt{14}}{4},-\frac{3\sqrt{2}}{4})},\displaystyle\displaystyle{\text{N}(\frac{5\sqrt{14}}{4},-\frac{3\sqrt{2}}{4})}.

Επειδή \displaystyle{{\rm K}\Lambda //{\rm M}{\rm N}//xx} και \displaystyle{\Lambda {\rm N}//{\rm K}{\rm N}//yy}, έχουμε ότι το τετράπλευρο \displaystyle{{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}} είναι ορθογώνιο.

γ) Η εξίσωση της εφαπτομένης της \displaystyle{{C_1}}στο \displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})}
είναι η \displaystyle{{\varepsilon _1}}, \displaystyle{9\frac{5\sqrt{14}}{4}x+25\frac{3\sqrt{2}}{4}y=225}

Η εξίσωση της εφαπτομένης της \displaystyle{{C_2}} στο \displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})} είναι η
\displaystyle{{\varepsilon _2}}, \displaystyle{\frac{5\sqrt{14}}{4}x-7\frac{3\sqrt{2}}{4}y=14}.

Εχουμε \displaystyle{{{\lambda }_{{{\varepsilon }_{1}}}}=-\frac{9\frac{5\sqrt{14}}{4}}{25\frac{3\sqrt{2}}{4}}=-\frac{3\sqrt{14}}{5\sqrt{2}}=-\frac{3\sqrt{7}}{5}}
και \displaystyle{{\lambda _{{\varepsilon _2}}} =  - \frac{{\frac{{5\sqrt {14} }}{4}}}{{ - 7\frac{{3\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{{5\sqrt {14} }}{{21\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{21}}}

Οπότε \displaystyle{{\lambda _{{\varepsilon _1}}} \cdot {\lambda _{{\varepsilon _2}}} =  - \frac{{3\sqrt 7 }}{5} \cdot \frac{{5\sqrt 7 }}{{21}} =  - 1}, άρα οι εφαπτομένες των \displaystyle{{C_1}} και \displaystyle{{{C}_{2}}}στο \displaystyle{K(\frac{5\sqrt{14}}{4},\frac{3\sqrt{2}}{4})} τέμνονται κάθετα. Ομοια για τα άλλα σημεία.


\displaystyle{
{\rm K}\alpha \tau \sigma \dot \iota \pi o\delta \alpha \varsigma \begin{array}{*{20}c}
   {} & {\Delta \eta \mu \dot \eta \tau \rho \eta \varsigma }  \\
\end{array}
}
Άβαταρ μέλους
bilstef
Δημοσιεύσεις: 1386
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:45 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι - Κομοτηνή
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #293 από bilstef » Σάβ Απρ 28, 2012 2:53 am

Στο http://www.mediafire.com/?4q8kebg0331k81k
μια προσπάθεια μορφοποίησης όλων των ασκήσεων


Η ζωή είναι Ωραία,ας την χαρούμε.Εν οίδα ότι ουδέν οίδα!Γηράσκω αεί διδασκόμενος!
Η γη δεν μας ανήκει της ανήκουμε !
Βασίλης Στεφανίδης
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #294 από parmenides51 » Σάβ Απρ 28, 2012 3:07 am

Ευχαριστούμε για την απόπειρα.
Κάποια στιγμή θα ανεβάσω κι άλλες λύσεις και θα προσπαθήσω να βελτιώσω το φυλλάδιο μιας και είναι η αδυναμία μου το μάθημα αυτό.
Σαν μια προσπάθεια κριτικής της παρούσας συλλογής υπήρχε αρκετή συμμετοχή στα κεφάλαια διανύσματα - ευθεία - κύκλος,
αλλά στις υπόλοιπες κωνικές τομές μετά βιας πρότεινε κάποιος άσκηση, ίσως να μην δίνουμε την πρέπουσα σημασία σε αυτές.
Όπως και να έχει, σ' ευχαριστώ (αυτό το κατέβασα :) )


Άβαταρ μέλους
Χάρης Γ.Λ.
Δημοσιεύσεις: 110
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 10:53 am
Τοποθεσία: Κατερίνη
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #295 από Χάρης Γ.Λ. » Τετ Ιούλ 11, 2012 8:48 pm

Καλησπέρα
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ MATHEMATICA 2012.pdf
(431.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 421 φορές
τελευταία επεξεργασία από Χάρης Γ.Λ. σε Παρ Μάιος 17, 2013 8:55 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Χάρης Γ. Λάλας
___________________
\displaystyle{\sum\limits_n {{n^{ - s}}}  = \prod\limits_p {{{\left( {1 - {p^{ - s}}} \right)}^{ - 1}}} }
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: συλλογή ασκήσεων Β Λυκείου (κατεύθυνση)

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #297 από Christos75 » Τετ Αύγ 29, 2012 8:25 pm

Εξαιρετική προσφορά, ευχαριστούμε!


Χρήστος Λοΐζος

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες