ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Τριψήφιος αριθμός είναι μεγαλύτερος του $\displaystyle{610}$ , μικρότερος του $\displaystyle{650}$ και διαιρούμενος με το $\displaystyle{7}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ .
Να βρεθεί ο αριθμός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$ .

2. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A= (1+\alpha- \alpha^2 + \alpha^3)^2+ \alpha^3}$ .

3. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{\widehat{A}= 90^o}$ ) με $\displaystyle{AB > A\Gamma}$ . Από το μέσον $\displaystyle{M}$ της υποτείνουσας $\displaystyle{B\Gamma}$ φέρνουμε κάθετη προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ ,
η οποία τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ . Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{\Delta MB}$ και $\displaystyle{\Delta A\Gamma}$ είναι ίσα.
Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

4. Έστω $\displaystyle{A = \frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}}}$ και $\displaystyle{B = \frac{2(x+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}}}$ .
Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες η αριθμητική τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Pi = \frac{2A+B}{3}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Τριψήφιος αριθμός είναι μεγαλύτερος του $\displaystyle{610}$ , μικρότερος του $\displaystyle{650}$ και διαιρούμενος με το $\displaystyle{7}$ δίνει υπόλοιπο $\displaystyle{3}$ .
Να βρεθεί ο αριθμός, αν είναι γνωστό ότι είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{5}$ .

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση $\displaystyle{A= (1+\alpha- \alpha^2 + \alpha^3)^2+ \alpha^3}$ .

εδώ (άσκηση 46)

KARKAR · #3

parmenides51 έγραψε: 3. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{\widehat{A}= 90^o}$ ) με $\displaystyle{AB > A\Gamma}$ . Από το μέσον $\displaystyle{M}$ της υποτείνουσας $\displaystyle{B\Gamma}$ φέρνουμε
κάθετη προς τη $\displaystyle{B\Gamma}$ , η οποία τέμνει την πλευρά $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{\Delta}$ . Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα $\displaystyle{\Delta MB}$ και $\displaystyle{\Delta A\Gamma}$ είναι ίσα.
Να βρεθούν οι οξείες γωνίες του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .

: ΟΡΘ.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 1430 φορές

Επειδή $\widehat{ADC}>\hat{B}$ , πρέπει $\widehat{DCA}=\hat{B}=\phi$ , δηλαδή $\hat{B}=30^0 ,\hat{C}=60^0$

#4

parmenides51 έγραψε: 4. Έστω $\displaystyle{A = \frac{1}{\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}}}$ και $\displaystyle{B = \frac{2(x+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}}}$ .
Να βρεθούν οι ακέραιες τιμές του $\displaystyle{x}$ για τις οποίες η αριθμητική τιμή της παράστασης $\displaystyle{\Pi = \frac{2A+B}{3}}$ είναι ακέραιος αριθμός.

Για

έχουμε $\Pi=4/3$ που απορρίπτεται. Το x=-1

επίσης απορρίπτεται αφού τότε η παράσταση δεν ορίζεται.

Για $x \geqslant 1$ έχουμε $\displaystyle{ A = \frac{1}{3x-1}}$ και $\displaystyle{ B = 2}$ . Τότε όμως είναι $\displaystyle{ \Pi = \frac{2x}{3x-1}}$ ο οποίος είναι ακέραιος μόνο αν x= 1

αφού αλλιώς $0 < \Pi < 1$ .

Για $x \leqslant -2$ έχουμε $\displaystyle{ A = \frac{1}{1-3x}}$ και $\displaystyle{ B = -2}$ . Τότε όμως είναι $\displaystyle{ \Pi = -\frac{2x}{3x-1}}$ ο οποίος δεν είναι ποτέ ακέραιος αφού για $x \leqslant -2$ ισχύει ότι $-1 < \Pi < 0$ .

Οπότε μόνο για x=1

είναι και ο

και ο $\Pi$ ακέραιοι.

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2001 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση