ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ . Σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στο τόξο $\displaystyle{ \overset{\frown }{AB}}$ . Να δειχτεί ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{MA+MB}{M\Gamma +M\Delta}}$ είναι σταθερός.

2. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Στα ύψη $\displaystyle{A\Delta, BE}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{M,N}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\displaystyle{\widehat{BM\Gamma} =\widehat{AN\Gamma} =90^o}$ .
α) Να δειχτεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma MN}$ είναι ισοσκελές.
β) Επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{MN =4+2\sqrt3}$ και $\displaystyle{\widehat{M{\color{red}\Gamma }N} =30^o}$ . Να υπολογιστεί το εμβαδόν $\displaystyle{(M\Gamma N)}$ .

3. Έστω $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών. Να δειχτεί ότι το $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ μπορεί να γραφτεί ως ένωση τριών συνόλων $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ , ανά δύο ξένων μεταξύ τους, που είναι τέτοια ώστε, να ισχύει: "αν $\displaystyle{\kappa ,\lambda \in \mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{|\kappa-\lambda|=2}$ ή $\displaystyle{5}$ , τότε τα $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα".

4. Έστω $\displaystyle{x , y , z\in\mathbb{R}}$ και ισχύει $\displaystyle{x^2+2y^2+z^2 = \frac{2}{5}\alpha^2, \alpha >0}$ . Να δειχτεί ότι $\displaystyle{| x-y+z | \le \alpha}$ .

edit
Διόρθωση γωνίας στο 2β, ευχαριστώ Γρηγόρη

#2

parmenides51 έγραψε:
4. Έστω $\displaystyle{x , y , z\in\mathbb{R}}$ και ισχύει $\displaystyle{x^2+2y^2+z^2 = \frac{2}{5}\alpha^2, \alpha >0}$ . Να δειχτεί ότι $\displaystyle{| x-y+z | \le \alpha}$ .

Απλή Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{\frac{2a^2}{5}=\frac{x^2}{1}+\frac{(-y)^2}{\frac{1}{2}}+\frac{z^2}{1}\geq \frac{(x-y+z)^2}{1+\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{5}(x-y+z)^2\implies}$

$\displaystyle{(x-y+z)^2\leq a^2\implies |x-y+z|\leq a.}$

sokratis lyras · #3

parmenides51 έγραψε:

3. Έστω $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών. Να δειχτεί ότι το $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ μπορεί να γραφτεί ως ένωση τριών συνόλων $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ , ανά δύο ξένων μεταξύ τους, που είναι τέτοια ώστε, να ισχύει: "αν $\displaystyle{\kappa ,\lambda \in \mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{|\kappa-\lambda|=2}$ ή $\displaystyle{5}$ , τότε τα $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα".
.

Κάτι δεν πάει καλά.Aν χωρίσουμε το

σε 3 υποσύνολα με βάση το $\mod3$ προκύπτει το ζητούμενο.Μήπως υπάρχει κάποιο λάθος στην εκφώνηση?

parmenides51 · #4

Από 3 ανεξάρτητες πηγές έχω την ίδια εκφώνηση για το 3ο. Η μια πηγή είναι το παλιό site της EME.

#5

sokratis lyras έγραψε:
parmenides51 έγραψε:

3. Έστω $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών. Να δειχτεί ότι το $\displaystyle{\mathbb{N}^*}$ μπορεί να γραφτεί ως ένωση τριών συνόλων $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ , ανά δύο ξένων μεταξύ τους, που είναι τέτοια ώστε, να ισχύει: "αν $\displaystyle{\kappa ,\lambda \in \mathbb{N}^*}$ με $\displaystyle{|\kappa-\lambda|=2}$ ή $\displaystyle{5}$ , τότε τα $\displaystyle{\kappa}$ και $\displaystyle{\lambda }$ ανήκουν σε διαφορετικά σύνολα".
.
Κάτι δεν πάει καλά.Aν χωρίσουμε το σε 3 υποσύνολα με βάση το $\mod3$ προκύπτει το ζητούμενο.Μήπως υπάρχει κάποιο λάθος στην εκφώνηση?

Σωκράτη δεν υπάρχει πρόβλημα στην εκφώνηση! Μάλιστα αυτή που αναφέρεις είναι και η απάντηση. Αν θεωρήσουμε τα σύνολα $A=\{3n,n\in\mathbb{N}\}$ , $B=\{3n+1,n\in\mathbb{N}\}$ , $C=\{3n+2,n\in\mathbb{N}\}$ , τότε είναι ξένα μεταξύ τους ανα δύο και αν πάρουμε δύο στοιχεία $\kappa, \lambda$ στο ίδιο σύνολο, η διαφορά τους είναι πολλαπλάσιο του 3 οπότε δε μπορεί να είναι ίση με 2 ή 5.

Αλέξανδρος

Grigoris K. · #6

parmenides51 έγραψε:1. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ . Σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στο τόξο $\displaystyle{ \overset{\frown }{AB}}$ . Να δειχτεί ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{MA+MB}{M\Gamma +M\Delta}}$ είναι σταθερός.

Αν $\displaystyle{ x }$ είναι η πλευρά του τετραγώνου το Θ. Πτολεμαίου δίνει $\displaystyle{ MA \cdot BD + MB \cdot x = MD \cdot x }$ και $\displaystyle{ MA \cdot x + MB \cdot AC = MC \cdot x }$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει $\displaystyle{ MA(BD + x) + MB(AC + x) = (MC+MD)x\Rightarrow \frac{MA + MB}{MC + MD} = \frac{x}{\sqrt{2} x + x} = \sqrt{2} -1 }$

Grigoris K. · #7

parmenides51 έγραψε:2. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Στα ύψη $\displaystyle{A\Delta, BE}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{M,N}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\displaystyle{\widehat{BM\Gamma} =\widehat{AN\Gamma} =90^o}$ .
α) Να δειχτεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma MN}$ είναι ισοσκελές.
β) Επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{MN =4+2\sqrt3}$ και $\displaystyle{\widehat{M{\color{red}\Gamma }N} =30^o}$ . Να υπολογιστεί το εμβαδόν $\displaystyle{(M\Gamma N)}$ .

Λίγο περιληπτικά γιατί βιάζομαι:

Ισχύει $\displaystyle{ CN^2 = CE \cdot CA }$ και $\displaystyle{ CM^2 = CD \cdot CB }$ . Όμως από το εγγράψιμο $\displaystyle{ AEDB }$ ισχύει $\displaystyle{ CE \cdot CA = CD \cdot CB \Rightarrow CN = CM }$ .

Ο Ν. Συνημιτόνων δίνει $\displaystyle{ MN^2 = 2MC^2 - 2MC^2\cos 30^o \Rightarrow (4+2\sqrt{3})^2 = 2MC^2 - \sqrt{3} MC^2 \Rightarrow MC^2 = 4(2+\sqrt{3})^3}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{ (MCN) = \frac{\sin 30^o}{2} MC^2 = (2+\sqrt{3})^3 }$ .

parmenides51 · #8

parmenides51 έγραψε:1. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ . Σημείο $\displaystyle{M}$ κινείται στο τόξο $\displaystyle{ \overset{\frown }{AB}}$ . Να δειχτεί ότι ο λόγος $\displaystyle{\frac{MA+MB}{M\Gamma +M\Delta}}$ είναι σταθερός.

: Eykleidhs 1999 1o gl.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 1069 φορές

Grigoris K. έγραψε:Αν $\displaystyle{ x }$ είναι η πλευρά του τετραγώνου το Θ. Πτολεμαίου δίνει $\displaystyle{ MA \cdot BD + MB \cdot x = MD \cdot x }$ και $\displaystyle{ MA \cdot x + MB \cdot AC = MC \cdot x }$ .

Με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει $\displaystyle{ MA(BD + x) + MB(AC + x) = (MC+MD)x\Rightarrow \frac{MA + MB}{MC + MD} = \frac{x}{\sqrt{2} x + x} = \sqrt{2} -1 }$

parmenides51 έγραψε:2. Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Στα ύψη $\displaystyle{A\Delta, BE}$ παίρνουμε σημεία $\displaystyle{M,N}$ , αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\displaystyle{\widehat{BM\Gamma} =\widehat{AN\Gamma} =90^o}$ .
α) Να δειχτεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{\Gamma MN}$ είναι ισοσκελές.
β) Επιπλέον ισχύουν: $\displaystyle{MN =4+2\sqrt3}$ και $\displaystyle{\widehat{M{\color{red}\Gamma }N} =30^o}$ . Να υπολογιστεί το εμβαδόν $\displaystyle{(M\Gamma N)}$ .

: Eykleidhs 1999 2o gl.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Grigoris K. έγραψε:Λίγο περιληπτικά γιατί βιάζομαι:

Ισχύει $\displaystyle{ CN^2 = CE \cdot CA }$ και $\displaystyle{ CM^2 = CD \cdot CB }$ . Όμως από το εγγράψιμο $\displaystyle{ AEDB }$ ισχύει $\displaystyle{ CE \cdot CA = CD \cdot CB \Rightarrow CN = CM }$ .

Ο Ν. Συνημιτόνων δίνει $\displaystyle{ MN^2 = 2MC^2 - 2MC^2\cos 30^o \Rightarrow (4+2\sqrt{3})^2 = 2MC^2 - \sqrt{3} MC^2 \Rightarrow MC^2 = 4(2+\sqrt{3})^3}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{ (MCN) = \frac{\sin 30^o}{2} MC^2 = (2+\sqrt{3})^3 }$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1999 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση