Κύκλοι και μήκη !---------------->Bulletin

#1

Μερικά χρήσιμα θεωρήματα για κάθε διαγωνιζόμενο σε ολυμπιάδες θα χρειστούν και στην παρακάτω άσκηση. Την θέτω λοιπόν για αυτόν ακριβώς το λόγο.

ΑΣΚΗΣΗ

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C.Ένας κύκλος Ω εφάπτεται συγχρόνως με τη ΒΓ και με τον C στο μέσο Δ του τόξου ΒΓ, που δεν περιέχει το Α . Αν ΑΤ είναι εφαπτόμενο τμήμα προς τον Ω, να αποδειχθεί ότι :
α) ΑΤ = (1/2)(ΑΒ + ΑΓ)
β) Αν Ε είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, τότε ΑΕ = ΑΤ.

#2

(a) 'Εστω

το σημείο τομής της διχοτόμου

με την πλευρά

. Τότε από την ομοιότητα των τριγώνων ABK

και

έχουμε $\displaystyle{\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BK}}$ . Αφού $BK=\frac{ac}{b+c}$ , είναι

$\boxed{\displaystyle{AD=DC\cdot \frac{AB}{BK}=DC\cdot \frac{b+c}{a}}}\quad (1)$

Έστω D '

το σημείο τομής της

με τον κύκλο Ω, κέντρου

κι έστω

το σημείο επαφής της

με τον Ω, που είναι και μέσο της. Τότε $MC^2=DC\cdot D'C$ , οπότε

$\boxed{\displaystyle{\frac{MC^2}{DC^2}=\frac{D'C}{DC}=\frac{OP}{OD}}},\quad (2)$

όπου η τελευταία σχέση έπεται από την ομοιότητα των ισοκελών τριγώνων D'PD

και

(

είναι το περίκεντρο του τριγώνου ABC

).

Παρομοιώς, αν A '

είναι το σημείο τομής της

με τον Ω, τότε

$\boxed{\displaystyle{\frac{AT^2}{AD^2}=\frac{AA'}{AD}=\frac{OP}{OD}}},\quad(3)$

αφού $AT^2=AA' \cdot AD$ και τα ισοσκελή τρίγωνα AOD

και

είναι όμοια.

Άρα , από (1), (2)

και

, έχουμε

$AT^2=\frac{MC^2}{DC^2}\cdot AD^2=\frac{(a/2)^2}{DC^2}\cdot \left(DC\cdot \frac{b+c}{a}\right)^2=\left(\frac{b+c}{2}\right)^2$ , απ'όπου έπεται ότι $\boxed{AT=\frac{b+c}{2}}$ .

(b) Έστω

και

οι προβολές του σημείου

στις

και

αντίστοιχα. Έστω $AB\leq AC$ , οπότε πάιρνουμε το επισυναπτόμενο σχήμα, με το

στην προέκταση της

προς το

και το

στο εσωτερικό του

.

Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα BED

και

είναι ίσα, αφού DE=DF

(διότι η

είναι διχοτόμος), BD=DC

και στο εγγράψιμο ABDC

, $\angle EBD=\angle ACD$ . Άρα BE=CF

και

.'Ετσι, τα τρίγωνα AED

και

είναι ίσα, οπότε AE=AF

.

Έτσι,

2AT=AB+AC= (AB+BE)+(AC-CF)=AE+AF=2AE

, κι άρα $\boxed{AT=AE}$ .

Αχιλλέας Συνεφακόπουλος

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Μερικά χρήσιμα θεωρήματα για κάθε διαγωνιζόμενο σε ολυμπιάδες θα χρειστούν και στην παρακάτω άσκηση. Την θέτω λοιπόν για αυτόν ακριβώς το λόγο.

ΑΣΚΗΣΗ

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο C.Ένας κύκλος Ω εφάπτεται συγχρόνως με τη ΒΓ και με τον C στο μέσο Δ του τόξου ΒΓ, που δεν περιέχει το Α . Αν ΑΤ είναι εφαπτόμενο τμήμα προς τον Ω, να αποδειχθεί ότι :
α) ΑΤ = (1/2)(ΑΒ + ΑΓ)
β) Αν Ε είναι η προβολή του Δ στην ΑΒ, τότε ΑΕ = ΑΤ.

ΣΧΟΛΙΑ

"Ενα πολύ χρήσιμο θεώρημα σε θέματα με εφαπτόμενους κύκλους και κύκλους που εφάπτονται σε χορδές άλλου κύκλου είναι το θεώρημα Casey.
Αυτό είναι στην ουσία μια επέκταση - γενίκευση του θεωρήματος πτολεμαίου .
Στην συγκεκριμένη άσκηση, για το τετράπλευρο ΑΒΔΓ το θεώρημα Πτολεμαίου θα έδινε :
ΒΓ.ΑΔ = ΑΒ.ΓΔ +ΑΓ.ΒΔ (1)

Το θεώρημα του Casey μας επιτρέπει -περιληπτικά -να αντικαταστήσουμε τα τμήματα της σχέσης (1) με το μήκος του εφαπτόμενου τμήματος που ξεκινάει από το ένα άκρο του τμήματος αυτού και καταλήγει σε κύκλο που περνάει από το άλλο άκρο του τμήματος και εφάπτεται στο σημείο εκείνο με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τετραπλεύρου. Τα σημεία μπορεί να θεωρηθούν κύκλοι με μηδενική ακτίνα, γιαυτό κάποια τμήματα της (1) ή κάποια άκρα ίσως να μην αλλάξουν καθόλου !

Έτσι , στο σχήμα μας, θα πάρουμε με βάση την (1) :

ΒΓ.ΑΤ = ΑΒ.ΓΜ +ΑΓ.ΒΜ (2)

όπου Μ είναι το μέσο του ΒΓ (Ας προσεχθεί ποια τμήματα της (1) αντικαταατάθηκαν και από ποια : το ΑΔ από το ΑΤ , το ΓΔ από το ΓΜ και το ΒΔ από το ΒΜ, εξαιτίας του μικρού κύκλου και των εφαπτόμενων τμημάτων).

Η σχέση (2) δίνει το μήκος του ΑΤ.
Ελπίζω να βρούμε μια άλλη ευκαιρία και να δώσουμε την ακριβή διατύπωση του θεωρήματος Casey και ορισμένες πολύ βασικές εφαρμογές του.

Μπάμπης

#4

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
"Ενα πολύ χρήσιμο θεώρημα <...> είναι το θεώρημα Casey

Μπάμπη, με την ευκαιρία, να ρωτήσω: έχεις το ΑΠΙΘΑΝΟ βιβλιαράκι του Casey, A sequel to Euclid, έκδοση 1910;

Μέσα σε 168 σελίδες μικρού μεγέθους (το μισό και λιγότερο από συνηθισμένο βιβλίο) έχει τα πάντα, περιεκτικά και γλαφυρά. ΠΡΕΠΕΙ να το διαβάσει ο καθένας!

Υποθέτω ότι κάπου θα υπάρχει στο ιντερνέτ. Αν ναί, είναι νόμιμο καθώς πέρασε το copyright του.

Φιλικά,

Μιχάλης

dement · #5

Αν δεν κανω λαθος βρισκεται εδω :

http://www.archive.org/stream/asequelto ... g_djvu.txt

αλλα ειναι πολυ δυσαναγνωστο... Ισως φταιει ο browser μου.

Δημητρης Σκουτερης

#6

dement έγραψε:Αν δεν κανω λαθος βρισκεται εδω :

http://www.archive.org/stream/asequelto ... g_djvu.txt

αλλα ειναι πολυ δυσαναγνωστο... Ισως φταιει ο browser μου.

Ευχαριστούμε, Δημήτρη.

Και 'γω το βλέπω δυσανάγνωστα. Ελπίζω κάπου στο ιντερνέτ να υπάρχει σκαναρισμένη εκδοχή.

Φιλικά,
Μιχάλης

#7

Ακολουθώντας την παραπάνω διεύθυνση, έφτασα εδώ:
http://ia351430.us.archive.org/1/items/ ... segoog.pdf

Νομίζω ότι είναι πιο ευανάγνωστο και ΔΙΧΩΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ Copyright.

Βλέπω ότι είναι παλαιότερη έκδοση.
Μήπως έχει πολλές διαφορές από την έκδοση του 1910;

Γιώργος Ρίζος

Κύκλοι και μήκη !---------------->Bulletin

Κύκλοι και μήκη !---------------->Bulletin

Re: Κύκλοι και μήκη !

Re: Κύκλοι και μήκη !

Re: Κύκλοι και μήκη !

Re: Κύκλοι και μήκη !

Re: Κύκλοι και μήκη !

Re: Κύκλοι και μήκη !

Μέλη σε σύνδεση