Γινόμενο ημιτόνων

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \sin x \cdot \sin (2x)\sin (4x)...\sin (2^n x) }$ . Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{ \left| {f(x)} \right| \le \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left| {f(\frac{\pi }{3})} \right| }$ .

#2

Εύκολα μπορεί να δειχθεί (επαγωγικά) ότι $|\sin{2^n \pi/3}| = \sqrt{3}/2$ . Άρα αρκεί να δείξουμε ότι

$\displaystyle{ \sin^2{(x)} \sin^2{(2x)} \sin^2{(4x)} \cdots \sin^2{(2^n x)} \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{n} }$

Η πρώτη σκέψη είναι να το αποδείξουμε επαγωγικά αλλά δεν φαίνεται να δουλεύει. Ένα κόλπο που πολλές φορές δουλεύει σε τέτοιες περιπτώσεις είναι να αποδείξουμε κάτι πιο ισχυρό. (Η δυσκολία αυτού του κόλπου είναι να βρεθεί τι ακριβώς να αποδείξουμε.)

Θα δείξω λοιπόν ότι αν $\sin^2{2^n x} \leqslant 3/4$ , τότε
$\displaystyle{ \sin^2{(x)} \sin^2{(2x)} \sin^2{(4x)} \cdots \sin^2{(2^n x)} \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} }$

Για την απόδειξη θα χρειαστούμε δύο λήμματα

1) Αν $\sin^2{2x} \geqslant 3/4$ τότε $\sin^2{x} \leqslant 3/4$ (Απόδειξη: Αν $\sin^2x > 3/4$ , τότε $\sin^2{2x} = 4\sin^2 x (1-\sin^2 x) < 3/4$ αφού η y = 4z(1-z)

είναι γνησίως φθίνουσα στο [3/4,1])

2) Αν $\sin^2{2x} \leqslant 3/4$ τότε $\sin^2{x} \sin^2{2x} \leqslant (3/4)^2$ (Απόδειξη: Αν όχι τότε πρέπει να έχουμε $\sin^2(x) > 3/4$ . Αλλά τότε $\sin^2{x}\sin^2{2x} = 4\sin^4 (x) (1 - \sin^2(x)) < 9/16$ επειδή η y = 4z^2(1-z)

είναι γνησίως φθίνουσα στο [3/4,1])

Η περίπτωση ν=0 της γενίκευσης είναι προφανής και έχουμε ήδη αποδείξει (στο (2)) την περίπτωση ν=1. Επαγωγικά τώρα, αν $\sin^2{2^{n-1}x} \leqslant 3/4$ τότε είμαστε εντάξει από την περίπτωση n-1. Αν $\sin^2{2^{n-1}x} \geqslant 3/4$ τότε από το λήμμα (1) $\sin^2{2^{n-2}x} \leqslant 3/4$ και πάλι είμαστε εντάξει από την περίπτωση n-2 και το λήμμα (2).

Τέλος η αρχική άσκηση αποδεικνύεται εύκολα χρησιμοποιώντας την γενίκευση και το λήμμα 1. (Η χρησιμοποιώντας την γενίκευση και επαγωγή.)

Διόρθωσα τις αποδείξεις των λημμάτων (1) και (2) που ήταν λανθασμένες. (Τα λήμματα ήταν σωστά αλλά χρησιμοποίησα λανθασμένα τον τύπο της διπλής γωνίας.) Ευχαριστώ τον Μ. Λάμπρου που μου υπέδειξε το λάθος.

Μετά από συζήτηση με τον Αχιλλέα κατάλαβα ότι κάποια από τα ν μου έπρεπε να είναι ν+1. (Το γινόμενο έχει ν+1 όρους και όχι ν.) Νομίζω ότι τώρα είναι εντάξει.

#3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε:Ασκηση

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \sin x \cdot \sin (2x)\sin (4x)...\sin (2^n x) }$ . Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{ \left| {f(x)} \right| \le \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left| {f(\frac{\pi }{3})} \right| }$ .

ΑΠΟΣΥΡΩ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΓΙΑΤΙ ΕΧΕΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΦΑΛΜΑ , ΠΟΥ ΜΟΥ ΕΠΙΣΗΜΑΝΕ Ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ. Θα δω αν διορθώνεται, αλλά μάλλον όχι αυτές τις μέρες γιατί αύριο φεύγω στο εξωτερικό, και έχω τρεχάματα.

Κάποτε είχα γράψει κάτι σημειώσεις σε "Μαθηματική Επαγωγή" για επίπεδο ολυμπιάδων. Έκει έχω συλλέξει όλων των ειδών τις παραλλαγές της επαγωγής.
Θα ψάξω το αρχείο μου και θα τις αναρτήσω στο φόρουμ.

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Αν και λογική αυτή η μέθοδος της επαγωγής, αλλά πρώτη φορά την βλέπω!

Σημείωση: mathematica το μεγαλύτερο σχολείο, αφού είμαστε μαθητές και ενίοτε καθηγητές!

#5

mac190604 έγραψε:Αν και λογική αυτή η μέθοδος της επαγωγής, αλλά πρώτη φορά την βλέπω!

Σημείωση: mathematica το μεγαλύτερο σχολείο, αφού είμαστε μαθητές και ενίοτε καθηγητές!

Μάκη,

δυστυχώς η λύση είχε ένα σφάλμα και την απέσυρα. Έκανα την απροσεξία ότι ενώ $\sqrt{3}/2 <1$ , δεν το έλαβα υπόψη σε ένα βήμα, και χάλαγε μία ανισότητα που ισχυριζόμουν.
Όποιος βιάζεται σκοντάφτει....

Κατά τα άλλα, η μέθοδος της περίεργης επαγωγής, στέκει.
Θα βρώ τις σημειώσεις που υποσχέθηκα, και θα τις αναρτήσω εδώ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #6

Καλημέρα στο φόρουμ,

δυο μέρες προσπαθούσα την επαγωγή...βλέποντας τις δημοσσιευσεις σας Δημητρη και Μιχάλη εμεινα αφωνος απαράμιλλη σκέψη που απειριζεται ...μου φωτίζετε σκοτεινους δρομους της μαθηματικης μου σκεψης...το ευχαριστώ φανταζει φτωχή λέξη

Υ.Γ.Μιχάλη καλό ταξίδι να περάσεις καλά!! θα περιμένω με λαχταρα την αναρτηση του αρθρου σου περί Μαθηματικής Επαγωγής!

Στράτος

#7

Τις σημειώσεις για τη Μαθηματική Επαγωγή που έχει γράψει ο κος Λάμπρου τις είχα ανεβάσει στη σελίδα μου για να πω στα παιδιά που παρακολούθησαν το 3ο Καλοκαιρινό Μαθηματικό Σχολείο στην Πιερία φέτος, να τις κατεβάσουν! Πρόκειται για ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ σημειώσεις και πολύ καλογραμμένες οι οποίες περιέχουν τις περισσότερες από τις μορφές της επαγωγής.

Θα τις βρείτε εδώ. Κοιτάξτε τη μέθοδο της Ισχυροποίησης στη σελίδα 15 και το παράδειγμα που ακολουθεί! Έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον

Αλέξανδρος

#8

Στο βιβλίο του Π.Τσαούσογλου, Ανισότητες, σελ. 252-253, αποδεικνύεται αρχικά ότι

$\Big|\sin^2 (\theta) \sin (2 \theta)\Big|\leq \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$

η οποία χρησιμοποείται για να δειχθεί ότι

$\Big|\sin^2 (\theta) \Big \{\sin^3(2\theta)\cdot \sin^3(4\theta)\cdots \sin^3 (2^{n-1}\theta)\Big \}\sin (2^n \theta)\Big|\leq \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3n}{2}}$

για $0\leq \theta \leq 2\pi$ . Αυτή με τη σειρά της χρησιμοποείται (αρχικά υψώνοντας στο 2/3

) για να αποδειχθεί η

$\Big|\sin^2 (\theta) \cdot \sin^2(2\theta)\cdot \sin^2(4\theta)\cdots \sin^2 (2^{n-1}\theta)\sin^2 (2^n \theta)\Big|\leq \left(\frac{3}{4}\right)^{n}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#9

Ωραία. Τώρα έχουμε και μια πιο απλή λύση.

#10

Ας συγκριθεί με το Πρόβλημα Β-6 του 34ου Διαγωνισμού Putnam, 1η Δεκεμβρίου, 1973.

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... l7312.html

Παρέλειψα να επισημάνω ότι το πρόβλημα στο προαναφερθέν βιβλίο είναι το παραπάνω πρόβλημα του Putnam.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Γινόμενο ημιτόνων

Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Re: Γινόμενο ημιτόνων

Μέλη σε σύνδεση