Putnam 2014 B3

#1

Έστω $\displaystyle{A = \left( {{a_{ij}}} \right)}$ ένας $m \times n$ πίνακας με στοιχεία ρητούς αριθμούς. Υποθέτουμε ότι το σύνολο

$\displaystyle{\left\{ {\left| {{a_{ij}}} \right|:i \in \left\{ {1,2, \ldots ,m} \right\},j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}} \right\}}$

περιέχει τουλάχιστον m+n

διαφορετικούς πρώτους αριθμούς. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{\rm{rank}}\left( A \right) \ge 2.}$

#2

Έστω ένα σύνολο

από

ζεύγη

ώστε το $\{a_{ij}:(i,j) \in S\}$ να είναι ένα σύνολο m+n

πρώτων.

Σχηματίζω ένα διμερές γράφημα στα σύνολα $X = \{x_1,\ldots,x_m\}$ και $Y = \{y_1,\ldots,y_n\}$ τοποθετώντας την ακμή x_iy_j

αν και μόνο αν $(i,j) \in S$ .

Εφόσον το γράφημα έχει ακριβώς m+n

ακμές και

κορυφές θα έχει ένα κύκλο. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας τον κύκλο $x_1y_1x_2y_2 \cdots x_ky_kx_1$ . Δηλαδή τα $a_{11},a_{21},a_{22},\ldots,a_{kk},a_{1k}$ είναι διακεκριμένοι πρώτοι.

Ας υποθέσουμε ότι $\mathrm{rank}(A) \leqslant 1$ και ας γράψουμε $c_1,\ldots,c_n$ και $r_1,\ldots,r_m$ για τις στήλες και σειρές του πίνακα αντίστοιχα. Τότε υπάρχουν $\lambda_1 = 1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \in \mathbb{Q}$ και $\mu_1 = 1, \mu_2, \cdots, \mu_m \in \mathbb{Q}$ ώστε $\lambda_i c_1 = c_i$ και mu_j r_1 = r_j

για κάθε

.

Τότε έχουμε

$\displaystyle{ \frac{a_{1,k}}{a_{1,1}} = \lambda_k = \frac{\lambda_{k}}{\lambda_{k-1}} \frac{\lambda_{k-1}}{\lambda_{k-2}} \cdots \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{a_{k,k}}{a_{k,k-1}} \frac{a_{k-1,k-1}}{a_{k-1,k-2}} \cdots \frac{a_{2,2}}{a_{2,1}}}$

Αυτό όμως είναι άτοπο αφού παίρνουμε

διακεκριμένους πρώτους χωρισμένους σε δύο ομάδες των

πρώτων, με το γινόμενο των πρώτων στην μία ομάδα να ισούται με το γινόμενο των πρώτων στην άλλη.

Putnam 2014 B3

Putnam 2014 B3

Re: Putnam 2014 B3

Μέλη σε σύνδεση