Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Soteris · #1

Πρόβλημα 1

(α) Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{n}$ , για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{n\cdot\left(n+9\right)}$ είναι τέλειο τετράγωνο.

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}$

Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ένα μεγάλο τετράγωνο και τέσσερα μικρότερα τετράγωνα που βρίσκονται στις κορυφές του και τα οποία έχουν πλευρές $\displaystyle{2 \:cm, 4 \:cm, 6 \:cm}$ και $\displaystyle{8 \:cm}$ αντίστοιχα (ακολουθώντας την αντίθετη φορά από αυτή των δεικτών του ρολογιού και ξεκινώντας από το μικρό τετραγωνάκι, το οποίο βρίσκεται στην κάτω και αριστερή κορυφή του μεγάλου τετραγώνου). Αν το σκιασμένο τετράπλευρο έχει εμβαδόν $\displaystyle{140 \:cm^2}$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς του μεγάλου τετραγώνου.

: Tetragono.png (9.41 KiB) Προβλήθηκε 1290 φορές

Πρόβλημα 3

Αν $\displaystyle{x, y, z, w}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι : $\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\cdot\left(y^2+y+1\right)\cdot\left(z^2+z+1\right)\cdot\left(w^2+w+1\right)}{xyzw}\geq81}$

Πρόβλημα 4

Τέσσερα αδέρφια θα μοιραστούν μεταξύ τους $\dispalystyle{137}$ χρυσά νομίσματα έτσι, ώστε ανά δύο να μην πάρουν ίδιο αριθμό νομισμάτων. Κάθε ένα από τα αδέρφια θα πάρει αριθμό νομισμάτων ακέραιο πολλαπλάσιο από τον αριθμό που θα πάρει ο επόμενος μικρότερος αδερφός. Πόσα χρυσά νομίσματα θα πάρει ο κάθε αδερφός; Να βρείτε όλες τις λύσεις.

Πρόβλημα 5

Δίνονται δύο μη τεμνόμενοι κύκλοι $\displaystyle{K_1}$ και $\displaystyle{K_2}$ με κέντρα $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{P}$ αντίστοιχα. Οι δύο εφαπτομένες από το κέντρο $\displaystyle{O}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{K_2}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{K_1}$ στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Οι δύο εφαπτομένες από το κέντρο $\displaystyle{P}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{K_1}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{K_2}$ στα σημεία $\displaystyle{\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ είναι κορυφές ορθογωνίου.

#2

Soteris έγραψε:Πρόβλημα 1

(α) Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους $\displaystyle{n}$ , για τους οποίους ο αριθμός $\displaystyle{n\cdot\left(n+9\right)}$ είναι τέλειο τετράγωνο.

(β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : $\displaystyle{\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}}$

Ωραίες ασκήσεις αλλά νομίζω πολύ εύκολες για την τρίτη φάση επιλογής στον IMC. Κάνω την αρχή βιαστικά γιατί έχω μάθημα σε λίγο.

α) Από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{4n^2 + 36n = 4m^2}$ , άρα $\displaystyle{(2n+ 9)^2-(2m)^2=9^2}$ , οπότε $\displaystyle{(2n+2m+9)(2n-2m+9) = 9^2}$ . Τώρα είναι ρουτίνα, με χρήση των διαιρετών του 9^2

.

β) Αφού δείξουμε (δεν το ζητά η άσκηση αλλά είναι σωστό να γίνει) ότι η ακολουθία των φωλιασμένων ριζικών συγκλίνει (ως αύξουσα και φραγμένη, και πασίγνωστο) απλά λύνουμε την $a=\sqrt {3+a}$ .

ealexiou · #3

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 2

Στο πιο κάτω σχήμα, δίνεται ένα μεγάλο τετράγωνο και τέσσερα μικρότερα τετράγωνα που βρίσκονται στις κορυφές του και τα οποία έχουν πλευρές $\displaystyle{2 \:cm, 4 \:cm, 6 \:cm}$ και $\displaystyle{8 \:cm}$ αντίστοιχα (ακολουθώντας την αντίθετη φορά από αυτή των δεικτών του ρολογιού και ξεκινώντας από το μικρό τετραγωνάκι, το οποίο βρίσκεται στην κάτω και αριστερή κορυφή του μεγάλου τετραγώνου). Αν το σκιασμένο τετράπλευρο έχει εμβαδόν $\displaystyle{140 \:cm^2}$ , να βρείτε το μήκος της πλευράς του μεγάλου τετραγώνου.

Tetragono.png

Καλημέρα Σωτήρη

Αν

η πλευρά του τετραγώνου, τότε το εμβαδόν του είναι a^2

και το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τετραπλεύρου είναι :
$a^2-8^2-6^2-4^2-2^2-\dfrac{(a-8-6)(8+6)}{2}-\dfrac{(a-6-4)(6+4)}{2}-\dfrac{(a-2-4)(2+4)}{2}-\dfrac{(a-8-2)(8+2)}{2}=144 \Rightarrow...\Rightarrow$

$a=2\left(5+\sqrt{37}\right)$

#4

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Αν $\displaystyle{x, y, z, w}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να δείξετε ότι : $\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)\cdot\left(y^2+y+1\right)\cdot\left(z^2+z+1\right)\cdot\left(w^2+w+1\right)}{xyzw}\geq81}$

Παραείναι εύκολες για εκεί που απευθύνονται. Μάλλον πιο κατάλληλες για διαγωνισμό α' φάσης σε επίπεδο Γυμνασίου.

Η παραπάνω είναι άμεση από πολλαπλασιασμό κατά μέλη των $\displaystyle{\dfrac{x^2+x+1}{x} = \left (x+\frac {1}{x} \right ) + 1 \geq 2+ 1 = 3}$ και λοιπά.

#5

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

Τέσσερα αδέρφια θα μοιραστούν μεταξύ τους $\dispalystyle{137}$ χρυσά νομίσματα έτσι, ώστε ανά δύο να μην πάρουν ίδιο αριθμό νομισμάτων. Κάθε ένα από τα αδέρφια θα πάρει αριθμό νομισμάτων ακέραιο πολλαπλάσιο από τον αριθμό που θα πάρει ο επόμενος μικρότερος αδερφός. Πόσα χρυσά νομίσματα θα πάρει ο κάθε αδερφός; Να βρείτε όλες τις λύσεις.

Βιαστικά λόγω μαθήματος:

Θέλουμε θετικούς φυσικούς με a+ma+mna+mnka=137

ή αλλιώς

. Αφού

πρώτος έχουμε a=1

και άρα

, οπότε $m(1+n+nk)=136=2^3\cdot 17$ . Άρα

ένας από τους

διαιρέτες του $2^3\cdot 17$ . Κάνοντας την απόλυτης ρουτίνας περιπτωσιολογία, εύκολα βρίσκουμε τον

και όμοια τους n, k

.

ealexiou · #6

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 4

Τέσσερα αδέρφια θα μοιραστούν μεταξύ τους $\dispalystyle{137}$ χρυσά νομίσματα έτσι, ώστε ανά δύο να μην πάρουν ίδιο αριθμό νομισμάτων. Κάθε ένα από τα αδέρφια θα πάρει αριθμό νομισμάτων ακέραιο πολλαπλάσιο από τον αριθμό που θα πάρει ο επόμενος μικρότερος αδερφός. Πόσα χρυσά νομίσματα θα πάρει ο κάθε αδερφός; Να βρείτε όλες τις λύσεις.

Αν

τα ποσά των παιδιών,από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο, τότε:
$x+ax+abx+abcx=137 \Rightarrow x(1+a+ab+abc)=137$ και επειδή ο 137

είναι πρώτος αριθμός, άρα $x=1\Rightarrow$ , ( x=137

απορρίπτεται φανερά και εύκολα) $1+a+ab+abc=137\Rightarrow$ $a+ab+abc=136=2^3\cdot17 \Rightarrow$
$a(1+b+bc)=2^3\cdot17$ έστω $a=17\Rightarrow 1+b+bc=8 \Rightarrow b+bc=7$ άτοπο.

Θα εξετάσω για a=2, a=4,a=8

$a=2\Rightarrow 1+b+bc=68 \Rightarrow b+bc=67\Rightarrow b(1+c)=67$ , άτοπο ο

είναι πρώτος αριθμός

$a=4\Rightarrow 4(1+b+bc)=136 \Rightarrow 1+b+bc=34 \Rightarrow b(1+c)=33=3\cdot11\Rightarrow$
$b=3 \wedge 1+c=11\Rightarrow c=10$
ή $b=11\wedge1+c=3\Rightarrow c=2$

$a=8 \Rightarrow 8(1+b+bc)=136 \Rightarrow 1+b+bc=17\Rightarrow b(1+c)=16=2^4 \Rightarrow$
$b=2 \wedge 1+c=8 \Rightarrow c=7$
$b=4 \wedge 1+c=4 \Rightarrow c=3$
$b=8 \wedge 1+c=2 \Rightarrow c=1$ άτοπο

Άρα οι λύσεις είναι:
a=4, b=3, c=10

και αντίστοιχα βρίσκουμε τα ποσά που μπορούν να πάρουν τα παιδιά:
1,4,12,120

#7

ealexiou έγραψε: και αντίστοιχα βρίσκουμε τα ποσά ...

Σωστά αλλά για να είμαστε απόλυτα πλήρεις, πρέπει να εξετάσουμε και τις περιπτώσεις $a=34, \, a=68, \, a=136$ .
Δεν οδηγούν σε λύσεις (άμεσο), απλά δείχνει πόσο ρουτίνα είναι η άσκηση, ιδίως για IMC.

ealexiou · #8

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 5

Δίνονται δύο μη τεμνόμενοι κύκλοι $\displaystyle{K_1}$ και $\displaystyle{K_2}$ με κέντρα $\displaystyle{O}$ και $\displaystyle{P}$ αντίστοιχα. Οι δύο εφαπτομένες από το κέντρο $\displaystyle{O}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{K_2}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{K_1}$ στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντίστοιχα. Οι δύο εφαπτομένες από το κέντρο $\displaystyle{P}$ προς τον κύκλο $\displaystyle{K_1}$ τέμνουν τον κύκλο $\displaystyle{K_2}$ στα σημεία $\displaystyle{\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\displaystyle{A, B, \Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ είναι κορυφές ορθογωνίου.

: Παγκύπριος διαγωνισμός πρ5.png (19.86 KiB) Προβλήθηκε 1177 φορές

Προσθέτω την ...αιτιολόγηση

Είναι $AB \bot OP \wedge CD\bot OP \ \ (1)$

Επίσης $\triangle AEO \sim \triangle PMO \wedge$ $\triangle CZP \sim \triangle OKP \Rightarrow$

$\dfrac{AE}{r}=\dfrac{R}{OP} \wedge \dfrac{CZ}{R}=\dfrac{r}{OP} \Rightarrow AE=$ $\dfrac{rR}{OP}\wedge CZ=\dfrac{rR}{OP}\Rightarrow$

$AE=CZ \Rightarrow AB=CD \ \ (2)$

$(1)\wedge (2)\Rightarrow ABDC$ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ealexiou · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ealexiou έγραψε: και αντίστοιχα βρίσκουμε τα ποσά ...
Σωστά αλλά για να είμαστε απόλυτα πλήρεις, πρέπει να εξετάσουμε και τις περιπτώσεις $a=34, \, a=68, \, a=136$ .
Δεν οδηγούν σε λύσεις (άμεσο), απλά δείχνει πόσο ρουτίνα είναι η άσκηση, ιδίως για IMC.

Σωστά, για να είμαστε και τυπικά εντάξει έπρεπε να το γράψω, αλλά το απέκλεισα με το "μάτι"

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παραείναι εύκολες για εκεί που απευθύνονται. Μάλλον πιο κατάλληλες για διαγωνισμό α' φάσης σε επίπεδο Γυμνασίου.

Ουπς, την πάτησα.

Υπάρχουν δύο διαγωνισμοί με το ίδιο όνομα, IMC.

Ο ένας είναι αυτός, που απευθύνεται σε μαθητές Γυμνασίου, τον οποίο δεν γνώριζα,
και ο άλλος είναι ετούτος, που απευθύνεται σε φοιτητές.

Νόμιζα ότι τα παραπάνω θέματα αφορούσαν τον δεύτερο

, γι' αυτό είπα ότι είναι πολύ απλός.

Μου φάνηκαν σχεδόν τετριμμένα θέματα (και όντως είναι, αν ξεχάσεις σε ποιους απευθύνεται) οπότε ... όλα ερμηνεύονται.

Λέω και 'γω!

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Re: Β' Παγκύπριος Διαγωνισμός Επιλογής IMC/Stage III, 2015

Μέλη σε σύνδεση