Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Soteris · #1

Παραθέτω τα θέματα της Α' τάξης. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και της Γ' τάξης.

Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A\left(x\right)=\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}}$ και $\displaystyle{B\leftx\right)=\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+4\eta\mu^2x}-\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{A\left(x\right)=1-\sigma\upsilon\nu^2 x}$

(β) $\displaystyle{0\leq\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}\leq 1}$

(γ) $\displaystyle{B\left(x\right)=1}$

Πρόβλημα 2

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $\displaystyle{N}$ έτσι, ώστε ο $\displaystyle{N^2}$ να είναι πενταψήφιος αριθμός και το $\displaystyle{54}$ να διαιρεί τον $\displaystyle{N^2}$ .

Πρόβλημα 3

Σε κύκλο $\displaystyle{\left(O, R\right)}$ η $\displaystyle{B\Gamma}$ είναι διάμετρος και το $\displaystyle{A}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Με πλευρά $\displaystyle{AB}$ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AMB}$ εκτός του κύκλου και φέρουμε την $\displaystyle{\Gamma H\perp MB}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{OM=\Gamma H}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\Delta, E, \Theta}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{O\Gamma, \Gamma M, MH}$ και $\displaystyle{OH}$ , αντίστοιχα, να δείξετε ότι το $\displaystyle{\Delta E\Theta Z}$ είναι ρόμβος.

Πρόβλημα 4

Οι μαθητές μιας τάξης Λυκείου ρώτησαν τον καθηγητή τους των Μαθηματικών να τους πει τις ηλικίες των τριών παιδιών του. Εκείνος τους απάντησε ως εξής:

«Το γινόμενο του πενταπλάσιου της ηλικίας του μικρότερου παιδιού μου επί το τετράγωνο του τριπλάσιου της ηλικίας του μεσαίου παιδιού μου ισούται με τον κύβο του διπλάσιου της ηλικίας του μεγαλύτερου παιδιού μου. Ακόμα, το γινόμενο των ηλικιών και των τριών παιδιών μου είναι μικρότερο του $\displaystyle{1000}$ ».

Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του καθηγητή.

papamixalis · #2

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 1

Δίνονται οι παραστάσεις $\displaystyle{A\left(x\right)=\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}}$ και $\displaystyle{B\leftx\right)=\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+4\eta\mu^2x}-\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}}$ . Να αποδείξετε ότι:

(α) $\displaystyle{A\left(x\right)=1-\sigma\upsilon\nu^2 x}$

(β) $\displaystyle{0\leq\sqrt{\sigma\upsilon\nu^4x+2\eta\mu^2x-1}\leq 1}$

(γ) $\displaystyle{B\left(x\right)=1}$

Καλησπέρα

a) $A(x)=\sqrt{cos^4x+2(1-cos^2x)-1}=\sqrt{cos^4x-2cos^2+1}=\sqrt{(cos^2x-1)^2}=|cos^2x-1|=1-cos^2x$

b) $1-cos^2x \geq 0 \Leftrightarrow cos^2x \leq 1 \Leftrightarrow -1 \leq cosx \leq 1$ ισχύει

$1-cos^2x \leq 1 \Leftrightarrow cos^2x \geq 0$ που ισχύει.
άρα
$0 \leq A(x) \leq 1$

c) $B=\sqrt{cos^4x +4(1-cos^2x)}-\sqrt{cos^4x +2(1-cos^2x) -1}=\sqrt{(cos^2x-2)^2}-\sqrt{(cos^2x-1)^2}=2-cos^2x-1+cos^2x=1$

Φιλικά
Μιχάλης

Al.Koutsouridis · #3

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 3

Σε κύκλο $\displaystyle{\left(O, R\right)}$ η $\displaystyle{B\Gamma}$ είναι διάμετρος και το $\displaystyle{A}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Με πλευρά $\displaystyle{AB}$ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AMB}$ εκτός του κύκλου και φέρουμε την $\displaystyle{\Gamma H\perp MB}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{OM=\Gamma H}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\Delta, E, \Theta}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{O\Gamma, \Gamma M, MH}$ και $\displaystyle{OH}$ , αντίστοιχα, να δείξετε ότι το $\displaystyle{\Delta E\Theta Z}$ είναι ρόμβος.

: pankuprios_2015_a_3.png (33.71 KiB) Προβλήθηκε 1955 φορές

(α) Έστω

το σημείο τομής των AC, MB

και

το μέσο του τμήματος

. Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ABK

έχει γωνίες 90^0, 60^0, 30^0

οπότε το

θα είναι το μέσο της

και

μέσο της

. Άρα $MO = \dfrac{1}{2}CK$ .

Το ορθογώνιο τρίγωνο HCK

έχει κι αυτό γωνίες 90^0, 60^0, 30^0

οπότε $CH = \dfrac{1}{2}CK$ . Άρα MO = CH

.

(β) $JZ ||= \dfrac{1}{2}MO ||= ED$ και $ZD ||= \dfrac{1}{2}CH ||= JE$ και επειδή MO = CH

το παραλληλόγραμμο DEJZ

είναι ρόμβος.

Ανδρέας Πούλος · #4

Για το πρόβλημα 2.

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς έτσι, ώστε ο να είναι πενταψήφιος αριθμός και το 54 να διαιρεί τον .

Επειδή ο

πρέπει να είναι πενταψήφιος ο N πρέπει να είναι μεταξύ 100 και 316.
Τα πολλαπλάσια του 54 μεταξύ 100 και 316 είναι τα 54, 54*1, 54*2, 54*3, 54*4, 54*5.
Δηλαδή ο αριθμός θα είναι 108 ή 162, 216, 270.

Ανδρέας Πούλος

Ανδρέας Πούλος · #5

Για το πρόβλημα 4.

Οι μαθητές μιας τάξης Λυκείου ρώτησαν τον καθηγητή τους των Μαθηματικών να τους πει τις ηλικίες των τριών παιδιών του. Εκείνος τους απάντησε ως εξής:

«Το γινόμενο του πενταπλάσιου της ηλικίας του μικρότερου παιδιού μου επί το τετράγωνο του τριπλάσιου της ηλικίας του μεσαίου παιδιού μου ισούται με τον κύβο του διπλάσιου της ηλικίας του μεγαλύτερου παιδιού μου. Ακόμα, το γινόμενο των ηλικιών και των τριών παιδιών μου είναι μικρότερο του \displaystyle{1000}».

Να βρείτε τις ηλικίες των παιδιών του καθηγητή.

.
Έστω

οι ηλικίες των παιδιών του καθηγητή με x< y< z

.
Ισχύει

ή

.
Αυτό σημαίνει ότι z=5*3=15

.
Τότε

, άρα

,
άρα

και

.
Επαληθεύει και την απαίτηση x*y*z = 900 < 1000

.

Ανδρέας Πούλος

ealexiou · #6

Soteris έγραψε:Παραθέτω τα θέματα της Α' τάξης. Θα ακολουθήσουν τα θέματα της Β' και της Γ' τάξης.

Πρόβλημα 3

Σε κύκλο $\displaystyle{\left(O, R\right)}$ η $\displaystyle{B\Gamma}$ είναι διάμετρος και το $\displaystyle{A}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Με πλευρά $\displaystyle{AB}$ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AMB}$ εκτός του κύκλου και φέρουμε την $\displaystyle{\Gamma H\perp MB}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{OM=\Gamma H}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\Delta, E, \Theta}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{O\Gamma, \Gamma M, MH}$ και $\displaystyle{OH}$ , αντίστοιχα, να δείξετε ότι το $\displaystyle{\Delta E\Theta Z}$ είναι ρόμβος.

Για το α)

: Παγκύπριος διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Πρ. 3).png (40.56 KiB) Προβλήθηκε 1879 φορές

Η αιτιολόγηση το μεσημέρι...

Επεξεργασία: Προσθέτω την αιτιολόγηση
Ας είναι $MP//BC\Rightarrow$ τετράπλευρο PAOM

ισοσκελές τραπέζιο και άρα εγγράψιμο σε κύκλο.

Είναι $\angle AMO=\angle AHO=30°\Rightarrow$ το

είναι σημείο και του γαλάζιου κύκλου, οπότε $\angle APH =\angle AMH \equiv \angle AMB =60° \Rightarrow$ $\triangle CHP$ ισόπλευρο και το ζητούμενο έπεται.

papamixalis · #7

Soteris έγραψε:
Πρόβλημα 3

Σε κύκλο $\displaystyle{\left(O, R\right)}$ η $\displaystyle{B\Gamma}$ είναι διάμετρος και το $\displaystyle{A}$ τυχαίο σημείο του κύκλου. Με πλευρά $\displaystyle{AB}$ κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle{AMB}$ εκτός του κύκλου και φέρουμε την $\displaystyle{\Gamma H\perp MB}$ .

(α) Να δείξετε ότι $\displaystyle{OM=\Gamma H}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\Delta, E, \Theta}$ και $\displaystyle{Z}$ τα μέσα των $\displaystyle{O\Gamma, \Gamma M, MH}$ και $\displaystyle{OH}$ , αντίστοιχα, να δείξετε ότι το $\displaystyle{\Delta E\Theta Z}$ είναι ρόμβος.

Καλησπέρα
Κάνω μια προσπάθεια για το α) λίγο διαφορετική από του κύριου Αλέξανδρου

Εικόνα

Στο ορθογώνιο τρίγωνο CHB

φέρνω

κάθετη στην

και αφού το

είναι μέσο της

θα ισχύει $ON=\dfrac{CH}{2}$
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ONM

θα είναι $ON=\dfrac{OM}{2}$

Άρα CH=OM

Φιλικά
Μιχάλης

#8

Για το πρόβλημα 2.

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς έτσι, ώστε ο να είναι πενταψήφιος αριθμός και το 54 να διαιρεί τον .

Επειδή ο

πρέπει να είναι πενταψήφιος ο

πρέπει να είναι μεταξύ 100 και 316.
Αφού όμως δίνεται ότι ο N^2

είναι πολλαπλάσιο του 54, θα πρέπει ο

να είναι πολλαπλάσιο του 18. (γιατί;)
Οπότε οι πιθανές τιμές για το

είναι τα πολλαπλάσια του 18 ανάμεσα στο 100 και το 316.

Soteris · #9

Β' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{\left|1-x\right|}{1-\left|x\right|}}$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\underset{x\rightarrow 1}{lim}\;f\left(x\right)}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\left|x\right|<\sqrt{2}-1}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left(x\right)<\sqrt{2}+1}$ .

Πρόβλημα 2

Κοινό με το πρόβλημα 2 της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 3

Κοινό με το πρόβλημα 4 της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 4

Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ με κέντρα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{O}$ , αντίστοιχα, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ ξανά στο σημείο $\displaystyle{E}$ . Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{P}$ του $\displaystyle{AE}$ και ακτίνα $\displaystyle{PA}$ φέρουμε κύκλο $\displaystyle{\left(C\right)}$ , που τέμνει τους κύκλους $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ στα σημεία $\displaystyle{T}$ και $\displaystyle{Z}$ , αντίστοιχα. Αν η ευθεία $\displaystyle{TZ}$ τέμνει τον $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ και τον $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{AZB\Theta}$ είναι παραλληλόγραμμο.

(β) $\displaystyle{\Theta N=TZ}$

(γ) Τα σημεία $\displaystyle{P, E, Z, O}$ είναι ομοκυκλικά.

Ιστοσελίδα · #10

Soteris έγραψε:Β' Λυκείου

Πρόβλημα 4

Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ με κέντρα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{O}$ , αντίστοιχα, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ . Από το σημείο $\displaystyle{A}$ φέρουμε κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{AB}$ , η οποία τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ ξανά στο σημείο $\displaystyle{E}$ . Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο $\displaystyle{P}$ του $\displaystyle{AE}$ και ακτίνα $\displaystyle{PA}$ φέρουμε κύκλο $\displaystyle{\left(C\right)}$ , που τέμνει τους κύκλους $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ και $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ στα σημεία $\displaystyle{T}$ και $\displaystyle{Z}$ , αντίστοιχα. Αν η ευθεία $\displaystyle{TZ}$ τέμνει τον $\displaystyle{\left(C_2\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ και τον $\displaystyle{\left(C_1\right)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Theta}$ , να αποδείξετε ότι:

(α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{AZB\Theta}$ είναι παραλληλόγραμμο.

(β) $\displaystyle{\Theta N=TZ}$

(γ) Τα σημεία $\displaystyle{P, E, Z, O}$ είναι ομοκυκλικά.

Καλημέρα.

: Πρόβλημα-4.png (32.64 KiB) Προβλήθηκε 1663 φορές

α) Η

είναι εφαπτομένη στο

στον κύκλο (C)

, οπότε $A\widehat ZT = T\widehat AB$ και $T\widehat AB = B\widehat \Theta T$ απ’ το εγγεγραμμένο $ATB\Theta$ , συνεπώς $AZ\parallel \Theta B\,\,(1)$

Είναι $A\widehat ZB = A\widehat \Theta B$ γιατί σε κοινή χορδή ίσων κύκλων αντιστοιχούν ίσες εγγεγραμμένες γωνίες και $\Theta \widehat ZB = A\widehat {\Theta Z}$ σαν διαφορά ίσων γωνιών, συνεπώς $ZB\parallel A\Theta \,\,(2)$

Από $(1),(2) \Rightarrow AZB\Theta$ παραλληλόγραμμο.

β) Θέτω

το σημείο τομής του παραλληλογράμμου $AZB\Theta$ , οπότε MA = MB

και $M\Theta = MZ\,(3)$ . Από $\triangleleft AMT\mathop = \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \triangleleft BMN \Rightarrow MN = MT\,(4)$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη των $(3),(4):\,\Theta N = TZ$ .

γ) $P\widehat ZO\mathop = \limits^{ \triangleleft PZO = \triangleleft PAO} P\widehat AO\mathop = \limits^{ \triangleleft OAE\,\iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \dot \varepsilon \varsigma } P\widehat EO \Rightarrow ZEOP$ εγγράψιμο.

papamixalis · #11

Soteris έγραψε:Β' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με τύπο $\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{\left|1-x\right|}{1-\left|x\right|}}$ .

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle{\underset{x\rightarrow 1}{lim}\;f\left(x\right)}$ .

(β) Αν $\displaystyle{\left|x\right|<\sqrt{2}-1}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left(x\right)<\sqrt{2}+1}$ .

Καλησπέρα
Μια αντιμετώπιση για το πρόβλημα 1

a) Πρέπει $1-|x| \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ και $x \ne -1$

Άρα $D_{f}=R-$ { -1,1

}

$lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=lim_{x\rightarrow 1^+}\dfrac{x-1}{-(x-1)}=-1$

$lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=lim_{x\rightarrow 1^-}\dfrac{1-x}{1-x}=1$

Άρα το όριο στο

δεν υπάρχει.

b)

$-\sqrt{2}+1<x<\sqrt{2}-1$

Για $0 \leq x < \sqrt{2}-1$

Η σχέση γράφεται

$1-x<(1-x)(\sqrt{2}+1) \Leftrightarrow \sqrt{2}+1>0$ ισχύει.

Για $-\sqrt{2}+1<x<0$

$1-x<(1+x)(\sqrt{2}+1} \Leftrightarrow 1-x<\sqrt{2}+1+\sqrt{2}x+x \Leftrightarrow x(\sqrt{2}+2)+\sqrt{2}>0$ το οποίο ισχύει αν το "χτίσουμε" στην σχέση $|x|<\sqrt{2}-1$

Άρα θα είναι $f(x) < \sqrt{2}+1$ όταν $|x| < \sqrt{2}-1$

Φιλικά
Μιχάλης

Soteris · #12

Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 1

Κοινό με το πρόβλημα 2 της Β' Λυκείου

Πρόβλημα 2

Αν $\displaystyle{\eta\mu^4x+\sigma\upsilon\nu^4x=\dfrac{1}{2}}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{\eta\mu^{2\nu+2}x+\sigma\upsilon\nu^{2\nu+2}x=\dfrac{1}{2^{\nu}},\;\forall\nu\in\mathbb{N}}$ .

Πρόβλημα 3

Κοινό με το πρόβλημα 4 της Β' Λυκείου.

Πρόβλημα 4

Να βρείτε τον επόμενο, καθώς και τον μεγαλύτερο όρο της ακολουθίας $\displaystyle{\dfrac{1}{503}, \dfrac{4}{524}, \dfrac{9}{581}, \dfrac{16}{692}, \ldots}$ δικαιολογώντας την απάντησή σας.

ealexiou · #13

Soteris έγραψε:Γ' Λυκείου

Πρόβλημα 2

Αν $\displaystyle{\eta\mu^4x+\sigma\upsilon\nu^4x=\dfrac{1}{2}}$ , να δείξετε ότι: $\displaystyle{\eta\mu^{2\nu+2}x+\sigma\upsilon\nu^{2\nu+2}x=\dfrac{1}{2^{\nu}},\;\forall\nu\in\mathbb{N}}$ .

Η πρώτη μου τριγωνομετρική επίλυση μετά από

χρόνια (ας κριθώ με επιείκεια για όποια αβλεψία ή λάθος διατύπωση...)

Δίδεται ότι $sin^4x+cos^4x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ $(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ $1-2sin^2x\cdot cos^2x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow$ $2\cdot sin^2x \cdot cos^2x=\dfrac{1}{2} \Rightarrow$ $sin^2x \cdot cos^2x =\dfrac{1}{4}\Rightarrow$ $sinx \cdot cosx = \pm \dfrac{1}{2}\Rightarrow 2\cdot sinx \cdot cosx = \pm 1 \Rightarrow$ $sin2x=\pm 1\Rightarrow$ $2x=90°+n\cdot 180°\Rightarrow$ $\boxed{sinx\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}} \wedge cosx \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}}$

Οπότε $sin^{2n+2}x +cos^{2n+2}x=$ $\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n+2}+\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n+2}=$ $2\cdot \left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2n+2}=$ $2\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}^{2(n+1)}} =\dfrac{1}{2^n}}}\Rightarrow$

$\boxed{\boxed{sin^{2n+2}x +cos^{2n+2}x=\dfrac{1}{2^n}}}$

#14

Soteris έγραψε: Πρόβλημα 4

Να βρείτε τον επόμενο, καθώς και τον μεγαλύτερο όρο της ακολουθίας $\displaystyle{\dfrac{1}{503}, \dfrac{4}{524}, \dfrac{9}{581}, \dfrac{16}{692}, \ldots}$ δικαιολογώντας την απάντησή σας.

Με επιφύλαξη γιατί ποτέ δεν ξέρεις. Παρατηρώ ότι
$\displaystyle\frac{1}{503}=\frac{1^2}{500+1^2\cdot 3}$
$\displaystyle\frac{1}{524}=\frac{2^2}{500+2^2\cdot (3\cdot 2)}$
$\displaystyle\frac{1}{503}=\frac{3^2}{500+3^2\cdot (3\cdot 3)}$
$\displaystyle\frac{1}{503}=\frac{4^2}{500+4^2\cdot (3\cdot 4)}$

οπότε εικάζω ότι ο γενικός όρος είναι
$\displaystyle a_n=\frac{n^2}{500+n^2\cdot 3n}=\frac{n^2}{500+3n^3}$

Τώρα με την παράγωγο βρίσκουμε ότι η συνάρτηση $f(x)=\frac{x^2}{500+3x^3}$ είναι γνήσια αύξουσα μέχρι $x=\frac{10}{\sqrt[3]{3}}$ που είναι μεγαλύτερο από

και μικρότερο από

οπότε τα δύο πιθανά για το μέγιστο είναι το 6 και το 7. Συγκρίνοντας βρίσκουμε ότι το a_7

είναι το μέγιστο.

Ανδρέας Πούλος · #15

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Για το πρόβλημα 2.
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς έτσι, ώστε ο να είναι πενταψήφιος αριθμός και το 54 να διαιρεί τον .
Επειδή ο πρέπει να είναι πενταψήφιος ο N πρέπει να είναι μεταξύ 100 και 316.
Τα πολλαπλάσια του 54 μεταξύ 100 και 316 είναι τα 54, 54*1, 54*2, 54*3, 54*4, 54*5.
Δηλαδή ο αριθμός θα είναι 108 ή 162, 216, 270.
Διόρθωση: Έχει δίκιο ο Σιλουανός. Τα πολλαπλάσια του 18 από το 18*6 έως και το 18*17 υψωμένα στο τετράγωνο περιέχουν ως διαιρέτη και το 54.
Άρα, έχουμε συνολικά 12 τέτοιους αριθμούς και όχι 4.
Ευχαριστώ, το φίλο μου Μιχάλη Λάμπρου που μου επεσήμανε ότι ο 54 πρέπει να διαιρεί τον και όχι τον .

Ανδρέας Πούλος

Soteris · #16

Αναρτώ και τις προτεινόμενες λύσεις για το διαγωνισμό.

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2015 (Λύκειο)

Μέλη σε σύνδεση