ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2013 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Πρόβλημα 1
Θεωρούμε στο επίπεδο τέσσερα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία O, A, B

και

, έτσι ώστε τα σημεία O, A

και

να μην είναι συνευθειακά και έστω $\overrightarrow{OρA}= \overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Αν ισχύει ή ισότητα $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}^2=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$ , να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{c}$ είναι κάθετο στη διαγώνιο

του παραλληλογράμμου OADB

.

Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού

για τις οποίες η εξίσωση x^3-2x^2=4ax^2-11ax+6a

έχει όλες τις ρίζες της στους ακέραιους.

Πρόβλημα 3
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών (x,y,z)

που είναι λύσεις του συστήματος
$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6a^2 \\ x+y=3a \\ y+z\geq 3a \end{cases}$
όπου

θετικός πραγματικός αριθμός.

Πρόβλημα 4
Θεωρούμε τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο (O, R)

και έστω

το έκκεντρο του τριγώνου. Θεωρούμε το μέσον

του τόξου

που δεν περιέχει το

και το μέσον

του τόξου

που περιέχει το

. Η ευθεία

τέμνει τον κύκλο (O, R)

στο σημείο

και τον κύκλο (N, NI)

για δεύτερη φορά στο σημείο

. Να αποδείξετε ότι: $\angle{EBD}=\angle{IBC}$ .

#2

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 1
Θεωρούμε στο επίπεδο τέσσερα διαφορετικά μεταξύ τους σημεία και , έτσι ώστε τα σημεία και να μην είναι συνευθειακά και έστω $\overrightarrow{OρA}= \overrightarrow{a}, \ \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ . Αν ισχύει ή ισότητα $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}^2=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}$ , να αποδείξετε ότι το διάνυσμα $\overrightarrow{c}$ είναι κάθετο στη διαγώνιο του παραλληλογράμμου .

εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε τις τιμές του πραγματικού αριθμού για τις οποίες η εξίσωση έχει όλες τις ρίζες της στους ακέραιους.

εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 3
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος
$\begin{cases}x^2+y^2+z^2=6a^2 \\ x+y=3a \\ y+z\geq 3a \end{cases}$
όπου θετικός πραγματικός αριθμός.

εδώ, εδώ, εδώ, εδώ, εδώ και εδώ

cretanman έγραψε:Πρόβλημα 4
Θεωρούμε τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω το έκκεντρο του τριγώνου. Θεωρούμε το μέσον του τόξου που δεν περιέχει το και το μέσον του τόξου που περιέχει το . Η ευθεία τέμνει τον κύκλο στο σημείο και τον κύκλο για δεύτερη φορά στο σημείο . Να αποδείξετε ότι: $\angle{EBD}=\angle{IBC}$ .

εδώ και εδώ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2013 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2013 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2013 - Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση