'Ενα όριο

#1

Ως απάντηση στην ερώτηση

Βρείτε το όριο
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}}$

ένας μαθητής γράφει:
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}}{e^{x}}=_{\left( \frac{+\infty }{+\infty }\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{4x^{3}}{e^{x}}=_{\left( \frac{+\infty }{+\infty }\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{12x^{2}}{e^{x}}=_{\left( \frac{+\infty }{+\infty }\right) }\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{24x}{e^{x}}=_{\left( \frac{+\infty }{+\infty }\right) }\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{24}{e^{x}}=0$
Τα σχόλια σας.

Μαυρογιάννης

kwstas12345 · #2

Πρέπει να υπάρχει λάθος στην αρχή αφού η εφαρμογή που κάνει ισχύει στο όριο ρητής παραστατης:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{P\left(x \right)}{Q\left(x \right)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{k}x^{k}+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_{1}x+b_{0}}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_{k}x^{k}}$

με P(x),Q(x)

πολυώνυμα.Το $e^{x}$ δεν είναι πολυώνυμο.Προφανώς πρέπει από την αρχή να ξεκινήσει με κανονα D'Hospital

μιας και ειναι μορφης $\displaystyle {\frac{+\infty}{+\infty}}$ .

#3

nsmavrogiannis έγραψε:Ως απάντηση στην ερώτηση

Βρείτε το όριο
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}}$

ένας μαθητής γράφει:
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}}{e^{x}}$

H ένστασή μου είναι μόνο σε αυτή την ισότητα. Ενώ είναι σωστή, θα επιθυμούσα και σωστή δικαιολόγηση. Π.χ. θα ήθελα να έβλεπα γραμμένο κάτι της μορφής

$\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}} = \dfrac {x^{4}-3x^{2}+2}{x^4}\cdot \dfrac {x^{4}}{e^x}$

(ή τις παραλλαγές του) και μετά υπολογισμό των ορίων των δύο κλασμάτων χωριστά. Να μας πει δηλαδή ότι το πρώτο τείνει στο 1 διότι ... και το δεύτερο στο ... διότι...

Με πόσες μονάδες θα αξιολογούσαμε το κάθε βήμα; Θα έλεγα, από τις 10 μονάδες, θα έκανα την κατανομή 3+7. Και αυτό γιατί το δεύτερο τμήμα του συλλογισμού έχει μεν περισσότερη δουλειά, αλλά είναι ρουτίνα. Το τέχνασμα του πολλαπλασιασμού και διαίρεσης με το χ^4 δείχνει μιά μικρή δεξιοτεχνία.

Φιλικά,

Μιχάλης

#4

Θα μπορούσε επίσης να βγάλει κοινό παράγοντα το x^4

από τον αριθμητή και αφού το όριο της παρένθεσης είναι ίσο με 1,να δουλέψει χωριστά το υπόλοιπο με τυροπιτάλ.

Για το ερώτημά σου Νίκο, νομίζω ότι λείπει μια δικαιολόγηση για την πρώτη ισότητα, η οποία μπορεί να βγάλει λαυράκι. Κατά τη γνώμη μου σε επίπεδο εξετάσεων θα έχει και βαθμολογικές απώλειες. Το 1/3, το 1/4 της άσκησης;

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #5

Καλησπέρα

Γράφοντας ο μαθητής μια λύση όπως μας περιέγραψες Νίκο, προσωπικά αντιλαμβάνομαι ότι έχει καταλάβει ότι στις αοριστίες $\displaystyle{\frac{{ \pm \infty }}{{ \pm \infty }}}$ το όριο το καθορίζουν:

- στον αριθμητή ο (γρηγορότερος όρος) εκείνος δηλαδή που απειρίζεται "πρώτος" και όλοι οι άλλοι δεν παίζουν ρόλο.
- το ίδιο στον παρονομαστή.

οπότε θα τον βαθμολογούσα με άριστα το 10 με 7 διότι ο ισχυρισμός του είναι μεν σωστός αλλά ελαφρώς ελλειπής.

Θωμάς

Ιστοσελίδα · #6

Συμφωνώ με τον Μιχάλη ότι Λείπει το βήμα (ή παραλλαγή στη διατύπωση):
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^4} - 3{x^2} + 2}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^4}\left( {1 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)}}{{{e^x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^4}}}{{{e^x}}}\left( {1 - \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)} \right)}$ και στη συνέχεια χωριστός υπολογισμός για τα επιμέρους όρια.
Εδώ είναι ένα ζήτημα πόση βαρύτητα δίνει κάποιος σε αυτή την έλλειψη.
Κατά τη γνώμη μου το βήμα αυτό είναι πολύ ουσιαστικό, συνεπώς η λύση όπως την παρουσίασε ο Νίκος βαθμολογείται με το μισό των συνολικών μορίων.
Μίλτος

#7

Και εγώ βλέπω την λύση μισοάδεια και όχι μισογεμάτη. Ο συγκεκριμένος μαθητής σε ερώτηση μου πως σκέφτηκε μου απάντησε:

"Ξέρω ότι $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}-3x^{2}+2\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{4}$ και επομένως μπορώ να αντικαταστήσω στο όριο $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\dfrac{x^{4}-3x^{2}+2}{e^{x}}$ την συνάρτηση $x^{4}-3x^{2}+2$ με μια άλλη που έχει το ίδιο όριο".

Δηλαδή σιωπηρά χρησιμοποίησε την "ιδιότητα":
Αν $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f_{1}\left( x\right)$ και $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g_{1}\left( x\right)$ τότε $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f_{1}\left( x\right) }{g_{1}\left( x\right) }$ .

Είναι μια από τις χαρακτηριστικές περιπτώσεις που συναντάμε όταν βαθμολογούμε γραπτά με ελλείψεις. Προσπαθούμε να μαντέψουμε πως σκέφθηκε ο μαθητής για να βρούμε ποια είναι η εσωτερική λογική μιας απάντησης και ανάλογα να βαθμολογήσουμε. Αυτό δεν είναι πάντα εύκολο γιατί υπάρχουν πολλλες εκδοχές. Πρόκειται για καταστάσειςπου δεν χωράνε απλοικότητες του τύπου: "Εξήγησε πως σκέφτηκε ο μαθητής".
Μαυρογιάννης

#8

nsmavrogiannis έγραψε:.....................
Δηλαδή σιωπηρά χρησιμοποίησε την "ιδιότητα":
Αν $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f_{1}\left( x\right)$ και $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g_{1}\left( x\right)$ , τότε $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f_{1}\left( x\right) }{g_{1}\left( x\right) }$ .

...................

Αυτό είναι διδακτικά ένα ωραίο σημείο για διερεύνηση μέσα στην τάξη !Κάτω από ποιες προϋποθέσεις μπορεί κάποιος να εφαρμόσει αυτή την επικίνδυνη ''ιδιότητα '' ;

Μπάμπης

#9

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε: Δηλαδή σιωπηρά χρησιμοποίησε την "ιδιότητα":
Αν $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }f_{1}\left( x\right)$ και $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }g_{1}\left( x\right)$ , τότε $\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=\lim\limits_{x\rightarrow \sigma }\frac{f_{1}\left( x\right) }{g_{1}\left( x\right) }$ .
Αυτό είναι διδακτικά ένα ωραίο σημείο για διερεύνηση μέσα στην τάξη !Κάτω από ποιες προϋποθέσεις μπορεί κάποιος να εφαρμόσει αυτή την επικίνδυνη ''ιδιότητα '' ;

Πολύ ενδιαφέρον το θέμα που ανήγειρε ο Νίκος και θα συμφωνήσω με τον Μπάμπη ότι προσφέρεται για ωραία συζήτηση. Ας δώσω το παράδειγμά μου:

Πες ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac {x+e^x}{x}$ . Η απάντηση είναι βέβαια $+\infty$ . Αν όμως κάποιος ακολουθούσε άκριτα την παραπάνω τεχνική, θα μπορούσε να συμπεράνει ότι
αφού $\lim_{x\rightarrow \infty} (x+e^x) = \lim_{x\rightarrow \infty} x = +\infty$ , τότε

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac {x+e^x}{x} =\lim_{x\rightarrow \infty} \frac {x}{x} = 1$ . όπερ μη έδει δείξε.

Φιλικά,

Μιχάλης

#10

nsmavrogiannis έγραψε: "Ξέρω ότι $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }\left( x^{4}-3x^{2}+2\right) =\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{4}$

Που ξέρουμε μπορεί ο μαθητής να ξέρει τη θεωρία περί big-O and small-O

(αστιεύομαι φυσικά, αλλά κάτι τέτοιο θα ήταν δεκτό)

#11

smar έγραψε:Που ξέρουμε μπορεί ο μαθητής να ξέρει τη θεωρία περί big-O and small-O (αστιεύομαι φυσικά, αλλά κάτι τέτοιο θα ήταν δεκτό)

Σιλουανέ δεν έχεις άδικο. Μάλιστα η συγκεκριμένη αντιμετώπιση του μαθητή με έβαλε σε σκέψεις.
Ο μαθητής, όχι βέβαια με σαφή τρόπο όπως προανέφερα "χρειάσθηκε" μια σχέση ισοδυναμίας ώστε να μπορεί να αντικαθιστά όρια ισοδυνάμων συναρτήσεων "μετακινούμενος" μέσα σε μία κλάση ισοδυναμίας.
Δηλαδή χρειάσθηκε μία σχέση ισοδυναμίας $\sim$ ώστε
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} f \sim {f_1} \\ g \sim {g_1} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } \frac{{{f_1}\left( x \right)}}{{{g_1}\left( x \right)}}}$
H σχέση ισοδυναμίας
$\displaystyle{f \sim f \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } {f_1}\left( x \right)}$
είναι ακατάλληλη για τον σκοπό αυτό ενώ η γνωστή σχέση που έλκει την καταγωγή της από τους συναντάμε Landau, du Bois-Reymond (Ενδεικτικά: Hardy, Orders of Infinity, Cambridge, 1954)
$\displaystyle{f \sim f \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \sigma } \frac{{f\left( x \right)}}{{{f_1}\left( x \right)}}=1}$
είναι όπως έδειξε ο Μιχάλης στην απάντηση του ότι πρέπει.
Παλαιότερα σε ένα τμήμα της 1ης Δέσμης είχα εισάγει αυτόν τον συμβολισμό για να μπορούν να έχουν μία ιδέα του ποια όρια είναι "ανταλλάξιμα" στα πηλίκα. 'Ισως στο μέλλον το ξανακάνω.
Μαυρογιάννης

'Ενα όριο

'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Re: 'Ενα όριο

Μέλη σε σύνδεση