mathematica.gr

Έστω ένας πίνακας τέτοιος ώστε κάθε μη μηδενικό διάνυσμα να είναι ιδιοδιάνυσμα του .Να αποδείξετε οτι ο έχει μία μόνο ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα .

Δείχνοντας ότι για κάθε διάνυσμα συνεπάγεται ότι ο είναι ο μηδενικός πίνακας ,προκύπτει αρκετά εύκολα ότι ο ζητούμενος πίνακας πρέπει να είναι της μορφής .

slash έγραψε:Δείχνοντας ότι για κάθε διάνυσμα συνεπάγεται ότι ο είναι ο μηδενικός πίνακας ,προκύπτει αρκετά εύκολα ότι ο ζητούμενος πίνακας πρέπει να είναι της μορφής .

Κάτι δεν μου πάει καλά με την απόδειξη. Πρώτα από όλα το κοκκινισμένο είναι ορισμός, οπότε τι πάμε να δείξουμε;
Δεύτερον, η ουσία της απόδειξης λείπει.

Δίνω απόδειξη στο αρχικό ερώτημα.

akis15 έγραψε:Έστω ένας πίνακας τέτοιος ώστε κάθε μη μηδενικό διάνυσμα να είναι ιδιοδιάνυσμα του .Να αποδείξετε οτι ο έχει μία μόνο ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα .

Για γραμμικά ανεξάρτητα υπάρχουν εξ υποθέσεως τέτοια ώστε . Από την γραμμικότητα του έπεται . Από γραμμική ανεξαρτησία είναι (ίσον και τα δύο με ). Αλλάζοντας το έπεται εύκολα για κάθε (ακόμη και για τα εξαρτημένα από το (δηλαδή τα πολλαπλάσια του ). Τελικά και λοιπά.

Ορισμός ; Από που και ως που ; Εν πάση περιπτώσει γράφω ολόκληρη την λύση αναλυτικά μιας και έκανα ένα σημαντικό λάθος στην διατύπωση λόγω απροσεξίας.

Θα δείξω ότι αν για κάθε υπάρχει ώστε τότε αναγκαία για κάποιο . Θέτοντας παίρνουμε ότι ο είναι διαγώνιος ( προφανώς για κάθε k). Τέλος θέτοντας παίρνουμε ότι ο είναι της μορφής .

Με αυτό που έγραψα αρχικά εννοούσα ότι χρησιμοποιώντας το ότι για κάθε παίρνουμε ότι . Όμως το k είναι σαφώς μεταβλητή που εξαρτάται από το διάνυσμα άρα η αντιμετώπιση είναι κάπως διαφορετική.

Εδώ μιλάμε για πίνακες και το γεγονός ότι αν για κάθε τότε ο είναι ο μηδενικός πίνακας δεν είναι ορισμός. (Αποδεικνύεται όμως εύκολα). Η ένσταση του Μιχάλη μάλλον έγκειται στο γεγονός πως όταν μιλάμε για γραμμικούς τελεστές τότε πράγματι λέμε ότι ο τελεστής είναι ο μηδενικός όταν για κάθε .

Δεν βλέπω όμως πως δουλεύει η λύση του Κώστα. Για κάθε έχουμε ώστε . Από εδώ δεν βλέπω πως βγαίνει ότι τα είναι όλα τα ίδια. (Το έχει δείξει ο Μιχάλης πιο πάνω.)

Demetres έγραψε:Από εδώ δεν βλέπω πως βγαίνει ότι τα είναι όλα τα ίδια.

Για ευκολία χρησιμοποίησα το ίδιο σύμβολο για όλες τις διαφορετικές ιδιοτιμές. Δεν πίστευα να δημιουργηθεί σύγχυση. Στο σημείο :

slash έγραψε:Θέτοντας παίρνουμε ότι ο είναι διαγώνιος ( προφανώς για κάθε k).

παίρνω 3 ιδιοτιμές ( εν τέλει ίδιες) αλλά αυτές δεν επηρεάζουν τα στοιχεία εκτός της διαγωνίου. Δηλαδή για το προκύπτει ότι τα στοιχεία είναι (προκύπτει ανεξάρτητα της ιδιοτιμής). Αφού κάνω το ίδιο και με τα μηδενίζω τα μη διαγώνια στοιχεία. Έπειτα υπάρχει ιδιοτιμή για το . Εύκολα βγαίνει ότι όλα τα στοιχεία της διαγωνίου θα πρέπει να είναι ίδια με αυτήν την ιδιοτιμή άρα ο πίνακας είναι της μορφής ...