mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 7:11 pm**

Ισχύουν ίδιοι κανόνες με εδώ.
Καλό θα ήταν να τις λύσουν μαθητές (σας) και να γράψετε τις λύσεις τους εδώ.

Ξεκινάω με μερικές κατηγορίες ασκήσεων, πριν πάμε σε αυτές με τα πολλά ερωτήματα

ΑΣΚΗΣΗ 21

Να υπολογιστεί ο πραγματικός αριθμός $\displaystyle{\alpha }$ στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) $\displaystyle{f\left( x \right) = 2x - 3\alpha }$ όταν $\displaystyle{f(0)-f(1)= f(-1) }$

ii) $\displaystyle{g\left( x \right) = \frac{{2x + \alpha }}{{ - 4x + 8}}, x\neq 2}$ όταν $\displaystyle{2\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) - 3\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right) = 5}$

iii) $\displaystyle{h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3x + \alpha - 1\,,\,\,\,x \le 0}\\ {\,\,\,3 - 2\ln x\,\,\,,\,\,\,x > 0} \end{array}} \right}$ όταν $\displaystyle{3h(-2)-2h(e) = 4\alpha -5 }$

edit: αλλαγή αρίθμησης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 7:36 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 22

Να υπολογίσετε τα όρια:

$\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,1} \frac{{{x^3} - 3x + 2}}{{{x^3} - {x^2} - x + 1}}}$

$\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - 2} \frac{{\sqrt { - x + 2} + x}}{{3 - \sqrt {{x^2} + 5} }}}$

edit: αλλαγή αρίθμησης

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 7:58 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 23

Να υπολογίσετε τα όρια:

$\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,2} \frac{{3\sqrt {x + 2} - 2\sqrt {5x - 1} }}{{4{x^3} - 15x - 2}}}$

$\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{x \to \,1} \frac{{{2x^2}{e^x} - 3x{e^x}+e^x}}{{x^2f\left( x \right) - x f\left( x \right)}}}$ όπου $\displaystyle{f}$ συνάρτηση συνεχής

της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M(1,2012)}$

edit: Αλλαγή προσήμου στον αριθμητή του δεύτερου ορίου, ευχαριστώ πάλι Ορέστη

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 8:25 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 24

Δίνονται οι συνάρτήσεις $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x + 1} - 1}$ και $\displaystyle{g(x) = \sqrt {x - 1} + 3}$

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{g}$

β. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\frac{{f(x) - 1}}{{x^2 - 5x + 6}}} \right)}$

γ. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{2g(x) - 4x}}{{8 - x^3 }}} \right)}$

δ. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = f(3) - 2g(5) + f(0)}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 10, 2012 10:22 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 25

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{x^2 + \alpha x - 3\alpha }}{{x^3 - 2x^2 + 4x - 8}},\;\;\;x < 2 \\ \\ \displaystyle \ x - \gamma ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 2 \\ \\ \displaystyle \frac{{\beta (\sqrt {x^2 + 12} - 4)}}{{x - 2}},\;\;\;\;x > 2 \\ \end{array} \right. }$

α. Αν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f}$ διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{{\rm M}( - 1,1)}$ , να δείξετε οτι $\displaystyle{\alpha = 4}$

Για $\displaystyle{\alpha = 4}$

β. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ - } f(x)}$

γ. Να βρεθεί το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2^ + } f(x)}$

δ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\beta ,\gamma \in R}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0 = 2}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 6:52 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 26

Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια

α. $\bullet$ \displaystyle{\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {\frac{{x^2 - 9}}{{2x^2 - 9x + 9}}} \right)} β.

<strong class="text-strong"><span style="color:#FF0000">β.</span></strong>

\bullet} $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^3 - 3x^2 + 4}}{{x^2 - 4x + 4}}} \right)}$

γ. $\bullet$ \displaystyle{\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x^2 - 1}}} \right)} δ.

<strong class="text-strong"><span style="color:#FF0000">δ.</span></strong>

\bullet} $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{x + 2}}{{x - 1}} - \frac{3}{{x^2 - x}}} \right)}$

ε. $\bullet$ \displaystyle{\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{\sqrt {x - 1} - \sqrt {3 - x} }}{{\sqrt {x + 2} - 2}}} \right)} στ.

<strong class="text-strong"><span style="color:#FF0000">στ.</span></strong>

\bullet} $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{{x^3 - 8}}{{\sqrt {x^2 + 5} - 3}}} \right)}$

ζ. $\bullet$ $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {\frac{{x^4 + 5x^3 + 3x^2 + 1}}{{x^2 + x}}} \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 10:53 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 27

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{{x^2 + 5x + 6}}{{x^2 + x}}}$

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της

β. Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left[ {\left( {\sqrt {x + 5} - 2} \right)f(x)} \right]}$

γ. Να βρείτε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {\frac{{f(x)}}{{x^2 - 4}}} \right)}$

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{\displaystyle\ f(x) - f(1)}}{{\displaystyle\ x - 1}},x \in (1, + \infty ) \\ \alpha ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x = 1 \\ \end{array} \right. }$

δ. Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\alpha \in R}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0 = 1}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 12, 2012 11:19 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 28

Να υπολογιστούν οι πραγματικοί αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta }$ στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) $\displaystyle{f\left( x \right) = \alpha \ln x + 2\beta}$ με $\displaystyle{x>0}$ όταν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{f(x)}$ διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{(1,6)}$ και $\displaystyle{(e,-3)}$

ii) $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha x - 2} & ,x \ne 3\\ {{\beta ^2} {\color{red}+} 2a-1} & ,x = 3 \end{array}} \right}$ όταν $\displaystyle{g(3) =2g(-1)=4}$

iii) $\displaystyle{h\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {x + 2} - 3\alpha \,\,\,\,\,,\, - 2 \le x < 8}\\ {\beta \sqrt x + 2\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,x \ge 9} \end{array}} \right}$ όταν η γραφική παράσταση της $\displaystyle{h(x)}$ διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{(2,\alpha^2+2)}$ και $\displaystyle{(9,11\alpha)}$

edit Αλλαγή προσήμου
Άντε να κρυφτείς από τον Ορέστη ...

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 2:31 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 29

Δινεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{\sqrt {2x^2 + 2x + 1} - 1}}{x},x < 0 \\ \alpha + \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x = 0 \\ x^2 + \alpha x - \beta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ,x > 0 \\ \end{array} \right.}$

α. Να βρεθεί το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } f(x)}$

β. Να βρεθεί το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x)}$

γ. Να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ για τις οποιες η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0 = 0}$

δ. Για τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = 2f(0) - f(1) + f( - 1)}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 9:58 pm**

Άσκηση 30

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο: $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}} & {,x < - 1} \\ {\kappa x + 2\mu } & {, - 1 \le x \le 1} \\ {\frac{{{x^3} + 6{x^2} - 7x}}{{{x^2} - x}}} & {,x > 1} \\ \end{array}} \right.$

όπου $\kappa ,\mu$ πραγματικοί αριθμοί. Υπολογίστε:
α) Τα όρια $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)$

β) Τα όρια $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$

γ) Τα $\kappa ,\mu$ αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο

Σημείωση: Για να βοηθήσω τον φάκελο και να ανταποκριθώ στην πρόσκληση του Δημήτρη!

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 13, 2012 10:05 pm**

Άσκηση 31

Α) Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά:

α) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} f(x) =$ …

β) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) =$ …

γ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) =$ …

δ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =$ …

ε) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) =$ …

στ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) =$ …

ζ) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) =$ …

η) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^{^ - }}} f(x) =$ ……

Β) Βρείτε τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

είναι ασυνεχής

Γ) Βρείτε τα διαστήματα που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

είναι συνεχής

Δ) Βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της συνάρτησης

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 14, 2012 10:33 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 32

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha {x^2} - \beta x + 3}\\ {3\alpha - 6}\\ \displaystyle{\frac{{{x^2} + \beta }}{{2 + x}}} \end{array}\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} {,\,\,x < - 1}\\ {,\,\,x = - 1}\\ {,\,\,x > - 1} \end{array}} \right}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$

i. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right)}$

ii. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ +}} f\left( x \right)}$

iii. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha}$ ώστε να υπάρχει το $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)$

iv. Για $\displaystyle{\alpha=-2}$ , να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\beta }$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_o} = - 1}$

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Φεβ 17, 2012 6:00 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 33

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \displaystyle{\frac{{\alpha \left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{2x - 2}}\,\,\,, - 3 \le x < 1}\\ \\ \displaystyle{\frac{{5\alpha }}{8} + 2\beta \,\,\,\,\,,\,\,\,x = 1}\\ \\ \displaystyle{\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - x}}\,\,\,,x > 1\,\,\,} \end{array}} \right.}$ με $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ .

i. Να υπολογίσετε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)$ .

ii. Να υπολογίσετε το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ .

iii. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\alpha$ ώστε να υπάρχει το όριο $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1}} f\left( x \right)$ .

iv. Για $\alpha=8$ , να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\beta$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0=1}$ .

v. Για $\alpha=8$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{K=f(-2)-f^2(2)}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 20, 2012 9:38 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 34

Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x - 3\,\,\,\,,x \le k}\\ {4x - 1\,\,\,,x > k} \end{array}} \right}$ και $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( x \right)-k^2\,\,\,\,,x \neq2}\\ {-4k^3 -3 k\,\,\,,x = 2} \end{array}} \right}$ με $\displaystyle{k \in\mathbb{R}}$ .
i. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {k^ - }} f\left( x \right)}$
ii. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {k^ + }} f\left( x \right)}$
iii. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{k}$ ώστε η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ να είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_1=k}$ .
Για $\displaystyle{k=-1}$ :
iv. να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2 }} g\left( x \right)}$
v. να εξετάσετε εαν η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_2=2}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 20, 2012 9:54 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 35

Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3a{e^{x - 5}} - 2x\,\,\,\,\,\,,x \le 5\,\,\,\,}\\ {2\ln \left( {x - 4} \right) + 3\beta + 2\alpha \,\,,x > 5\,} \end{array}} \right.}$ και $\displaystyle{g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\,\,\,\alpha \,\ln \left( {{x^2} + e} \right) + {{2011}^x}\,,x \ne 0\,\,\,\,}\\ {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3 - \beta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,x = 0\,} \end{array}} \right.}$ με .
i. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right)}$ .
ii. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right)}$ .
iii. Να υπολογίσετε το όριο $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} g\left( x \right)}$ .
iv. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha }$ και $\displaystyle{\beta}$ ώστε να είναι συνεχείς η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ στο $\displaystyle{x_1=5 }$ και η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ στο $\displaystyle{x_2=0 }$ .
v. Για $\displaystyle{\alpha=4}$ και $\displaystyle{\beta=-2}$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{K = 2f\left( 0 \right) - 3f\left( {e + 4} \right) - {g^2}\left( 0 \right)-2012}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 20, 2012 11:07 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 36

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}{{{x^2} - 3x}},\;\;x > 3\\ \ \\ \displaystyle{\lambda ^2}x - 11\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;,x \le 3 \end{array} \right.}$

α. Να βρεθούν τα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x)}$

β. Να προσδιορίσετε τις τιμές του $\displaystyle{\lambda \in R}$ για τις οπόιες η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 3}$

γ. Για τις τιμές του $\displaystyle{\lambda }$ που βρήκατε στο β. Ερώτημα να υπόλογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - ({\lambda ^2} + 2)x + 5}}{{x - 5}}}$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 20, 2012 11:25 pm**

ΑΣΚΗΣΗ 37

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{{5x - 10}}{{x + 1 - \sqrt {x + 7} }}\;\;\;\;,x > 2\\ \ \\ \displaystyle\alpha {x^2} - 5x + 4\alpha \;\;\;\;\;,x \le 2 \end{array} \right.}$

α. Να βρεθούν τα $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)}$

β. Να προσδιορίσετε την τιμή του $\displaystyle{\alpha \in R}$ για την οποία η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$

γ. Για $\displaystyle{\alpha = 2}$ να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}}} \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 12:19 am**

ΑΣΚΗΣΗ 38

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle{f(x) = \sqrt {9 - {x^2}} }$ και $\displaystyle{g(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 3}}}$

α. Να προσδιορίσετε τα πεδία ορισμού των $\displaystyle{f}$ και $\displaystyle{g}$

β. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και τον τύπο για την συνάρτηση $\displaystyle{h(x) = {f^2}(x) \cdot g(x)}$

γ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} h(x)}$

δ. Να υπολογίσετε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 5 } \left( {\frac{{f(x) - 2}}{{ x - \sqrt 5 }}} \right)}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 1:57 am**

ΑΣΚΗΣΗ 39

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle3 - \alpha {x^2},\;\;\alpha \nu \;\left| x \right| < 1\\ \ \\ \displaystyle{5{x^2},\;\;\alpha \nu \;x = 1\;\;\;\dot \eta \;\;x = - 1} \\ \ \\ \displaystyle\frac{\beta }{{\left| x \right|}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha \nu \;\left| x \right| > 1 \end{array} \right.}$

α.Να βρεθούν τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)}$

β.Να βρεθούν τα όρια $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)}$ και $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)}$

γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές των $\displaystyle{\alpha ,\beta \in R}$ για τις οποίες η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{R}$

δ. Για $\displaystyle{\alpha = -2}$ και $\displaystyle{\beta = 5}$ , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης $\displaystyle{A = f(0) + f(2) - 4f(\frac{1}{2})}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Φεβ 21, 2012 7:45 am**

ΑΣΚΗΣΗ 40 (τελευταία)

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f\left( x \right) = \sqrt {5x + 10},x\geq -2 }$ και $\displaystyle{g\left( x \right) = {x^2} + 3}$
i. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f\left(3+h\right) = \sqrt {5h + 25},h\geq -5 }$ και $\displaystyle{g\left(3+h\right) ={h^2} +6h+12 }$
ii. Να υπολογίσετε τα όρια
$\displaystyle{A=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 3 \right)}}{h}}$
$\displaystyle{B=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{g\left( {3 + h} \right) - g\left( 3 \right)}}{h}}$
$\displaystyle{C=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,0} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 3 \right)}}{{g\left( {3 + h} \right) - g\left( 3 \right)}}}$
$\displaystyle{D=\mathop {\lim }\limits_{h \to \,-1} \frac{{f\left( {3 + h} \right) - f\left( 2 \right)}}{3h+g(0)}}$

Η αρίθμηση συνεχίζεται στην συλλογή παραγώγων εδώ

mathematica.gr

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ

Re: ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΑ.Λ