mathematica.gr

Τώρα που τελείωσαν οι Πανελλήνιες και ολοκληρώθηκε στα Βαθμολογικά Κέντρα η βαθμολόγηση των γραπτών Μαθηματικών μπορώ να γράψω την γνώμη μου. Δημιουργήθηκε από την μέρα που λάβαμε τα θέματα και εδραιώθηκε όσο διαρκούσε η βαθμολόγηση.

Εν συντομία είναι η ακόλουθη: Τα φετινά θέματα ήσαν, μακράν, τα καλλίτερα από καταβολής θεσμού κατευθύνσεων δηλαδή από το 2000. Μιλώ για συγκρίσιμες χρονιές όπου χρησιμοποιείτο το ίδιο βιβλίο.

Οι λόγοι είναι πολλοί.

Α) Τα θέματα έλαβαν σοβαρά υπ΄ όψιν το ισχύον σχολικό βιβλίο. Στηρίχθηκαν σε αυτό και δεν το απαξίωσαν. Κινήθηκαν σε γνώριμες στους μαθητές ατραπούς, Έδωσαν την ευκαιρία να αξιοποιηθεί αυτό που διάβασαν τα παιδιά. Το δε επιπλέον που ζητούσαν σχετίζονταν άμεσα με την επιπλέον σοβαρή μελέτη και ενασχόληση που αρμόζει σε αυτές τιες εξετάσεις που μην ξεχνάμε ότι είναι διαγωνισμός.

Β) Χωρίς να είναι προσιτά σε όλους (όφειλαν να μην είναι) απέφυγαν τους γρίφους, τα κολπάκια, τις στιγμιαίες εμπνεύσεις και επιδέχονταν στην πλειονότητα τους πολλές προσεγγίσεις.

Γ) Ισορρόπησαν πολύ καλά στην (ανοήτως) περικεκομμένη ύλη ζητώντας τα ουσιώδη και αποφεύγοντας τα επουσιώδη. Δεν πειράζει που δεν ζητήθηκε εμβαδόν. Το σημαντικό είναι πως δεν εμφανίσθηκαν τα διαβόητα . Σημαντικό είναι ότι εξέλιπαν οι άνευ μαθηματικής σημασίας και αξίας "κατασκευές"-τερατογενέσεις που φορτώνουν μία άσκηση με πολλά ετερόκλητα στοιχεία απαιτώντας από τους μαθητές να ενδώσουν στο όποιο "συνδυαστικό" παραλήρημα.

Δ) Δεν ενέδωσαν στις απαιτήσεις της πιάτσας που ούτε λίγο ούτε πολύ ζητούσε αίμα. Κόπηκαν τα χριστουγεννιάτικα δέντρα με την συνάρτηση ολοκλήρωμα; Να βάλουμε περίτεχνες διαφορικές εξισώσεις, να μεταμφιέσουμε την συνάρτηση ολοκλήρωμα κατά τρόπο ώστε να μπορεί να μπαίνει από το παράθυρο και άλλα πολλά. Πάρα πολλά. Μην ξεχνάμε ότι κάθε χρόνο παράγονται χιλιάδες "δημιουργίες" και αυτή η υπερπαραγωγή ζητάει το κάτι τι της. Όσες είναι προϊόν δουλειάς ικανών ατόμων πλουτίζουν γόνιμα την θεματογραφία των εξετάσεων οι υπόλοιπες είναι απλώς σκουπίδια. Η φετινή επιτροπή με θάρρος αποφάσισε να μην κάνει ανακύκλωση απορριμάτων.

Ε) Έθεσαν (επί του παρόντος) στην άκρη την αντίληψη ότι για να κάνεις εξετάσεις πρέπει σώνει και καλά να επιδεικνύεις ένα αγοραίο θρασύδειλο μαθηματικό τσαμπουκά. Το "αγοραίος" με διττή σημασία: Χυδαίος αλλά και συνάμα έχων σχέση με τον μπεζαχτα. Άτομα, ενίοτε με ασήμαντο μαθηματικό εξοπλισμό, μπορούσαν πίσω από την ασφάλεια της (κατά το δοκούν) ανωνυμίας να εκτοξεύσουν άθλια και παρανοϊκά θέματα που αναπόφευκτα προκαλούσαν και την ανάλογη εμπορική υπερθέρμανση.

ΣΤ) Απέδειξαν ότι μπορεί με ανθρώπινα θέματα, που είναι κατανοητά από όλους, να εξασφαλιστεί η απαραίτητη διακριτική ικανότητα. Αυτή η επισήμανση αφορά βέβαια μόνο τα Μαθηματικά και όχι τα άλλα μαθήματα για τα οποία φυσικά δεν μπορώ να εκφράσω γνώμη.


Ξέρω ότι πίσω από την παραγωγή του τελικού εξεταστικού δοκιμίου βρίσκονται πάντα αρκετοί άνθρωποι. Που δίνουν μάχες, θέτουν θέματα, τα λύνουν, τα διορθώνουν. Νοερά τους σφίγγω το χέρι.

Μαυρογιάννης

Συμφωνώ και προσυπογράφω το παραπάνω κείμενο του Νίκου το οποίο με καλύπτει απόλυτα... Ήθελα να το πράξω κι εγώ μία από τις επόμενες ημέρες αλλά ο λόγος του Νίκου δεν αφήνει περιθώρια για να αναφέρω κι άλλα πράγματα.

Το μόνο ίσως που θα άλλαζα ήταν η μοριοδότηση κάποιων ερωτημάτων αλλά αυτό μικρή σημασία έχει την παρούσα στιγμή.

Μπράβο κι από μένα στην επιτροπή των θεμάτων! Νομίζω ότι έκανε πολύ τίμια τη δουλειά της, έλαβε υπόψη τον κόπο των συναδέλφων στα σχολεία, το υπάρχον σχολικό έγχειρίδιο που χρησιμοποιούν οι μαθητές και επέλεξε τα θέματα με τέτοιο τρόπο ώστε να φανεί ο κόπος του καλά διαβασμένου μαθητή.

Τα θέματα αυτά είναι η απόδειξη ότι δεν χρειάζονται τερατουργήματα για να ελέγξεις αν ο μαθητής έμαθε μαθηματικά. Ακόμα και απλές έννοιες μπορεί να γίνουν αρκετά δύσκολες αν εξεταστούν σε βάθος με προσιτές κατασκευές.

Τα θέματα πέτυχαν το στόχο τους και αυτό πρέπει να κρατήσουμε, αυτό πρέπει να έχουν στα υπόψιν και οι επόμενες επιτροπές εξετάσεων!

ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ ΚΑΙ ΠΑΛΙ ΓΙΑ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ!

Αλέξανδρος

Νίκο, το μήνυμά σου δένει με ένα μου σχόλιο που έβαλα στις 13 Μαίου στο Μαθηματικό Εργαστήρι του φίλου μας Δημήτρη Ιωάννου.

Το επισυνάπτω, έτσι για την ιστορία,μια και στο matehmatica θα ανατρέχει φαντάζομαι αρκετός κόσμος, όταν εμείς πια δεν θα μπορούμε να προσθέσουμε ούτε μια γραμμή.

Κατά τα άλλα, και μένα οι απόψεις μου για τα θέματα κινούνται πολύ κοντά στις δικές σου θέσεις που τόσο τεκμηριωμένα μας πατέθεσες .

Θα μπορούσαν να είναι λίγο καλύτερα σε κάποια σημεία ,χωρίς να είναι διαφορετικά , αλλά σε σχέση με την περίοδο 2012- 2015 είναι μακράν καλύτερα από κάθε άποψη

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 : ΤΙ ΖΗΤΑΜΕ -ΤΙ ΠΕΡΙΜΕΝΟΥΜΕ

Αγαπητοί φίλοι, οι εξετάσεις έφτασαν και ο απολογισμός μιας ολόκληρης και δύσκολης χρονιάς όλο και πλησιάζει. Στον χρόνο αυτό που πέρασε εμείς διδάξαμε όσο καλύτερα μπορούσαμε και οι μαθητές, ανάλογα με τους στόχους και τον τρόπο που αντιλαμβάνονται τις εξετάσεις , τις σπουδές και τη σημασία τους στη νέα Ελληνική πραγματικότητα, προσπάθησαν με τη σειρά τους να ανταποκριθούν σε αυτό το σκληρό Μαραθώνιο.Τα μαθηματικά,ως εξεταζόμενο μάθημα, έχουν πάντα μια ιδιαιτερότητα . Κάθε ερώτημα , εύκολο ή δύσκολο , είναι ένα νέο ερώτημα και η σωστή απάντησή του απαιτεί θάρρος, ψυχραιμία και μεθοδική σκέψη.Φοιτητής όμως γίνεται πάντα αυτός που γράφει σωστά αυτά που ξέρει, αυτός που δεν χάνει τα ερωτήματα που είναι μέσα στις απόλυτες δυνατότητές του.Όποιος στη διάρκεια της εξέτασης καταφέρνει και επινοεί ή δημιουργεί, αυτός παίρνει πρωτιές και μπορεί τελικά να επιλέξει πόλη ή σχολή μεγαλύτερης ζήτησης.
Τόσο αισιόδοξα είναι τα πράγματα και αυτό πρέπει να το λέμε σε κάθε ευκαιρία στους μαθητές μας !!!

Φέτος, στο μάθημά μας, έχουμε λιγότερη ύλη , τα μαθήματα είναι τέσσερα και δικαιολογημένα αναπτύσσεται ένας προβληματισμός, σχετικά με το ύφος, το πνεύμα και τη δυσκολία των θεμάτων.Θεωρώ όμως ότι με τις συνθήκες που επικρατούν στην Ελληνική οικογένεια, το Σχολείο και τον νέο τρόπο εισαγωγής στα ΑΕΙ δεν πρέπει να υπάρξουν εκπλήξεις. Τα θέματα πρέπει να κινηθούν σε λογικά επίπεδα, με την αναγκαία πάντα κλιμάκωση και να είναι κοντά στο πνεύμα και τη δυσκολία του σχολικού βιβλίου. Θεωρώ πως σε καμιά περίπτωση δεν πρέπει να επιλεχθούν θέματα του όγκου και της δυσκολίας των περυσινών θεμάτων, χωρίς όμως αυτό να σημαίνει ότι πρέπει να επιλεχθούν εύκολα, διότι τα ''εύκολα '' θέματα δημιουργούν άλλες παρενέργειες και ανισότητες. Δεν είναι δύσκολο να βρεθούν τρεις ασκήσεις που με τα υποερωτήματά τους να παρακινήσουν το μαθητή στη διάρκεια της εξέτασης να σκύψει με πίστη το κεφάλι, να ζεσταθεί, να ηρεμήσει, να νοιώσει ότι μπορεί να γράψει , να συγκεντρωθεί και τελικά να φύγει ικανοποιημένος από την εξέταση, ανεξάρτητα με τον αν έφτασε στο άριστα.

Στα φετινά θέματα πρέπει να έχουμε υπόψιν ότι :
- Λείπουν οι παραδοσιακά άριστοι μαθητές, αυτοί που παίρνουν ένα βιβλίο, ένα βοήθημα και το ξεκοκκαλίζουν. Οι περισσότεροι από αυτούς τους μαθητές έχουν επιλέξει λόγω των οικονομικών συγκυριών τις Επιστήμες Υγείας. Με θέματα στο περυσινό επίπεδο οι φετινοί μαθητές θα είναι κατά 85 % κάτω από τη βάση, ίσως και παραπάνω και οι βάσεις θα κατρακυλήσουν, χωρίς αυτό να είναι απαραίτητα κακό.Δεν βλέπω όμως να υπάρχει λόγος οι βάσεις να πέσουν κατά 30% ή και περισσότερο στο 2ο Επιστημονικό Πεδίο.

- Τα φετινά παιδιά είναι αυτά που έζησαν τον απόλυτο τρόμο της τράπεζας θεμάτων, αυτά που έσπευσαν να εγγραφούν σε όλα τα μαθήματα στο φροντιστηριακό τμήμα .Από τα ίδια τα παιδιά διαπίστωσα ότι στην Α' Λυκείου τα μαθηματικά τα άφησαν σε δεύτερη μοίρα, από την αγωνία τους μήπως μείνουν στην Ιστορία, τα Θρησκευτικά ή αλλού.

- Τα φετινά παιδιά είναι αυτά που πέρασαν για πρώτη φορά τα γυμνασιακά και λυκειακά τους χρόνια μέσα στην φθίνουσα οικονομική πορεία της πατρίδας,μέσα σε οικογένειες με ένεργους γονείς, πολλά από αυτά δεν είχαν δασκάλους από την πρώτη Γυμνασίου όπως παλιά, πάρα πολλά γνώρισαν το ομαδικό φροντιστήριο στην Β' Λυκείου και αρκετά μόνο στην φετινή τάξη. Αυτή η κατάσταση έχει αναμφίβολα πτώση στην γερή θεμελίωση της μαθηματικής γνώσης, κάτι που μου το επισημαίνουν δεκάδες συνάδελφοι σε σχολεία ή φροντιστήρια, το είδα όμως ξεκάθαρα και στο σχολείο μου(με 4 τμήματα θετικού και οικονομικού προσανατολισμού).

Τέλος πάντων, να μη μακρυγορώ άλλο και χωρίς να θέλω να στείλλω κάποιο μήνυμα σε ανώτερα κλιμάκια, τα θέματα πρέπει να προσεχθούν, να έχουν ανθρώπινο πρόσωπο,να επιτρέψουν στον καλά διαβασμένο μαθητή να κινηθεί στο διάστημα 14-18 και να μην απαξιώσουν για άλλη μια φορά το σχολείο και τους καθηγητές που το υπηρετούν.

Ξέρω ότι δίνουν και παιδιά πολλών φίλων από αυτό τον φιλόξενο χώρο του Εργαστηρίου και συμμερίζομαι την αγωνία τους. Εύχομαι να πάνε όλα καλά ! Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλους τους μαθητές , όπως επίσης καλή επιτυχία εύχομαι και στους συναδέλφους που θα πλαισιώσουν την επιτροπή της ΚΕΕ προτείνοντας θέματα. Καλή δύναμη και σε όλους εσάς που από οποιαδήποτε θέση θα συμματάσχετε σε αυτές τις εξετάσεις : Γονείς, Επιτηρητές, Εξεταστές Φ.Α. , Βαθμολογητές !

Και επειδή πάντα υπάρχουν οι εραστές των πολύ δύσκολων και κακών θεμάτων, αναγκάστηκα να δευτερολογήσω :

Τα ακραία θέματα, είτε πολύ εύκολα είτε πολύ δύσκολα είναι το ίδιο επικίνδυνα, πρωτίστως διότι δεν επιτυγχάνουν αυτό που επιδιώκει μια εξέταση.Τα πολύ δύσκολα θέματα(που δυστυχώς και σε μένα αρέσουν μέχρι έναν βαθμό , αλλά εννοώ αυτά που είναι για βαθμό πάνω από το 17, το οποίο όμως 17 δεν πρέπει να χάνει ο καλός μαθητής) αποτρέπουν το μαθητή από τη μελέτη των μαθηματικών αλλά έχουν ένα ακόμα σημαντικό αρνητικό στοιχείο :
Στρέφουν τους μαθητές και ειδικά τους καλούς σε άλλες κατευθύνσεις, κάτι που το βλέπουμε και φέτος.Ελάχιστοι μαθητές πήραν τα μαθηματικά για 5ο μάθημα. Με πιο λογικά θέματα στα τελευταία 5 χρόνια, τα πράγματα θα ήταν ίσως λίγο καλύτερα. Όπως και να το κάνουμε, την μαθηματική κοινότητα την ενδιαφέρει για πολλούς λόγους να στρέφεται ένα μεγάλο ποσοστό των μαθητών στις θετικές επιστήμες, μια και εκεί κινείται σήμερα η οικονομία και η επιστήμη.
Το ξαναλέω : υπερβολικά δύσκολα, πολλά , σκληρά και συχνά αντιαισθητικά θέματα(δείτε τα θέματα γενικής από το 2011 και μετά) κάνουν ζημιά στα μαθηματικά, στη μαθηματική παιδεία, την μαθηματική κοινότητα αλλά κυρίως στην κοινωνία ολόκληρη, διότι έμμεσα βάλεται ο ορθολογισμός και η θετική σκέψη.Για εύκολα, ισοπεδωτικά δηλαδή θέματα , δεν θέλω καν να το σκέφτομαι, ούτε ως εφιάλτη. Ας κινηθούμε σε λογικά επίπεδα και όλα θα βρούνε το δρόμο τους !

Δεν συμφωνώ με την άποψη του φίλου Νίκου και κατά συνέπεια διαφωνώ και με τους άλλους φίλους Αλέξανδρο και Μπάμπη.
Η θεώρηση ότι τα θέματα είναι τα καλύτερα από καταβολής του θεσμού,νομίζω ότι δεν είναι σωστή.
Θα μου επιτρέψετε να μη συμφωνήσω ούτε με τα συγχαρητήρια. Οι λόγοι είναι δύο.
Τα θέματα δεν είναι δυνατόν να είναι συγκρίσιμα με θέματα παλαιοτέρων ετών, αφού η απουσία της συνάρτησης ολοκλήρωμα παρέσυρε σωρεία ασκήσεων και μεθόδων.Τα θέματα δεν κατάφεραν να καλύψουν την "πετσοκομμένη" ύλη πράγμα απαραίτητο, κατά τη γνώμη μου, σε ένα διαγώνισμα.

Φιλικά Χρήστος

Φίλοι γεια σας. Θα ήθελα να μου επιτραπεί να καταθέσω κάποιες σκέψεις μου επί του θέματος: Πράγματι το πράγμα παίρνει τον δρόμο του με βάση το δεδομένο ότι η τεχνολογική εκπαίδευση που θα κατοχυρώνει και επαγγελματικά, ώστε ο απόφοιτος ενός τέτοιου σχολείου να ζει κοινωνικά ισότιμα και αξιοπρεπώς, στην Ελλάδα είναι υπό το μηδέν. Μάλιστα από ότι ακούω στην πιάτσα τα επαγγελματικά σχολειά είναι και πυρήνες βίας. Το βάρος λοιπόν της αξιοπρεπούς ή ... αξιοπρεπούς συνέχισης πέφτει στους ώμους των γενικών λυκείων. Μαθηματικά λοιπόν για σχεδόν όλους, Ελληνικά για σχεδόν όλους, Φυσική για σχεδόν όλους κτλ άρα και αντίστοιχες εξετάσεις για σχεδόν όλους. Και βέβαια ίσως να ανοίγει σιγά - σιγά και ο δρόμος της υλοποίησης της κατ' επανάληψη εκπεφρασμένης ιδέας των προοδευτικών Κυβερνώντων τελικά για μη εξετάσεις,..., γιατί άραγε όχι... Από αυτή την άποψη ΝΑΙ και εγώ θα έδινα συγχαρητήρια στην συγκεκριμένη επιτροπή, έστω και αν διαφωνούσα με το στυλ αυτό των θεμάτων, για το κοινωνικομαθηματικό της πρόσωπο με τα ανθρώπινα πράγματι Μαθηματικά θέματα που φέτος ήταν τέτοια που εκτός των άλλων σε τέτοια θέματα το λάθος μόνο αν το επιδιώξεις θα το επιτύχεις ως θεματολόγος. Αυτά βέβαια είναι προσωπικές μου ερμηνείες λαμβάνοντας υπόψη ότι την ορθότητα ή όχι των ερμηνειών ημών τε και υμών τις κρίνει εκ του ασφαλούς μόνο ο χρόνος, παρόλο που έχει τεράστια την αδυναμία να μην γυρίζει πίσω. Πάντως και σε κάποιες άλλες εποχές το επίπεδο των θεμάτων ήταν αξιοπρεπώς χαμηλό χωρίς να ήταν υποχρεωτικά φτηνό. Τώρα για την τράπεζα θεμάτων της ΕΜΕ, η ΕΜΕ ως επιστημονικός φορέας επί των Μαθηματικών είναι ΥΠΟΧΡΕΩΜΕΝΗ να μην διαβαίνει μόνο τον εξεταστικοκεντρικό δρόμο αλλά επιπλέον να ανεβάζει το επίπεδο και σε υψηλότερους έως και δύσκολους ορόφους, ακόμα και σε εξεζητημένους για τους λίγους. Αυτό δεν αφαιρεί και δεν θα πρέπει να αφαιρεί από την προσωπικότητα του θεματολόγου της ΚΕΕ ως προς τις επιλογές του. Εδώ θα ήθελα να τονίσω ότι δεν υπάρχει στην Ελλάδα φροντιστήριο ομαδικό ή μη ομαδικό, αλλά και καθηγητής του Δημοσίου που να μην έχει διδάξει ενδελεχώς και σε συνεχή βάση την περίπτωση της διατήρησης πρόσημου συνεχούς συνάρτησης ως μεθόδου προσδιορισμού βασικών ιδιοτήτων της, έως και προσδιορισμού της. Αυτό αν δεν κάνω λάθος ήταν βασικότατη ιδέα και στα δύο «δύσκολα» θέματα (3ο και 4ο ) εφέτος.

Και κάτι ακόμα που είναι βαθύ μου πιστεύω: Θεωρώ ότι υπάρχει και μία δεξαμενή από την οποία μπορεί κανείς να αντλήσει υψηλής απόδοσης επικεφαλής συντονιστές των θεματοδοτών της ΚΕΕ. Είναι η δεξαμενή των μάχιμων Μαθηματικών συμβούλων. Εκεί μπορεί να βρει κανείς αξιόλογους επιστημονικούς τίτλους, δείγματα γραφής και βέβαια Μαθηματικά οδοιπορικά πολλών χιλιομέτρων επί του αντικειμένου, κάτι που προσωπικά έχω υποστηρίξει πριν τις εξετάσεις και στο ευρύτερο διαδίκτυο.

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Δεν συμφωνώ με την άποψη του φίλου Νίκου και κατά συνέπεια διαφωνώ και με τους άλλους φίλους Αλέξανδρο και Μπάμπη.
Η θεώρηση ότι τα θέματα είναι τα καλύτερα από καταβολής του θεσμού,νομίζω ότι δεν είναι σωστή.
Θα μου επιτρέψετε να μη συμφωνήσω ούτε με τα συγχαρητήρια. Οι λόγοι είναι δύο.
Τα θέματα δεν είναι δυνατόν να είναι συγκρίσιμα με θέματα παλαιοτέρων ετών, αφού η απουσία της συνάρτησης ολοκλήρωμα παρέσυρε σωρεία ασκήσεων και μεθόδων.Τα θέματα δεν κατάφεραν να καλύψουν την "πετσοκομμένη" ύλη πράγμα απαραίτητο, κατά τη γνώμη μου, σε ένα διαγώνισμα.

Φιλικά Χρήστος

Χρήστο καλημέρα !

Σίγουρα, και στα προηγούμενα χρόνια , υπήρχαν μέσα στα θέματα ακήσεις ή ερωτήματα που ήταν πάλι μέσα στο πνεύμα του σχολείου ή του μαθητή, αλλά

αυτό ήταν η εξαίρεση. Και προς Θεού κανείς δεν θέλει να μειώσει το κύρος των άλλων επιτροπών ή των μελών τους ως προς το μαθηματικό σκέλος. Εδικά το

έτος 2011 (εσύ ξέρεις ποιοι ήταν στην επιτροπή), τα θέματα για τις τότε απαιτήσεις ήταν πάλι καθαρά μέσα σε λογικά σχολικά πλαίσια. Από εκεί και πέρα

όμως η υπόθεση χάθηκε και φυσικά δεν λέμε μόνο για την κατεύθυνση αλλά και για την γενική παιδεία και κυρίως για αυτή !

Το μήνυμά σου παραπέμπει και υπενθυμίζει τον προβληματισμό που διατύπωσα στο παράλληλο απόσπασμα και που είχε προηγηθεί των εξετάσεων :

Τέλος πάντων, για να μη μακρυγορώ άλλο και χωρίς να θέλω να στείλλω κάποιο μήνυμα σε ανώτερα κλιμάκια, τα θέματα πρέπει να προσεχθούν, να έχουν ανθρώπινο πρόσωπο,να επιτρέψουν στον καλά διαβασμένο μαθητή να κινηθεί στο διάστημα 14-18 και να μην απαξιώσουν για άλλη μια φορά το σχολείο και τους καθηγητές που το υπηρετούν.

Με δεδομένο ότι ο μαθητικός πληθυσμός που εξετάστηκε φέτος είναι διαφορετικός-άρα τα θέματα όφειλαν να είναι διαφορετικά σε κάποιο βαθμό -μένει να

δούμε και τις επιδόσεις.

Διότι, αν τα ποστοστά αποτυχίας κάτω από τη βάση είναι πολύ μεγάλα και γενικότερα αν η κατανομή της βαθμολογίας από το 14 και πάνω παρουσιάζει την

ίδια εικόνα με παλιότερα ,τότε πάλι τα θέματα κρίνονται δύσκολα και απαιτητικά.

Από την άλλη μεριά όμως κανείς δεν λέει ότι τα θέματα πρέπει να είναι εύκολα ή αρκετά εύκολα, διότι τότε οι βάσεις θα πάνε στα ύψη και ο μέτριος με τον

άριστο μαθητή δεν θα ξεχωρίζουν σε τίποτα ή θα ξεχωρίσουν όχι ως προς τη μελέτη, αλλά ως προς δευτερογενείς παράγοντες.

Επομένως, ένα από τα λίγα και καλά κριτήρια που έχουμε για να εκφράσουμε συγκριτικές εκτιμήσεις, είναι αν τα θέματα ήταν ή όχι κοντά στη σχολική

πραγματικότητα και όχι ως προς το επίπεδο δυσκολίας .Νομίζω - και κυρίως εκεί αναφέρερεται η δική μου άποψη- ότι τα φετινά θέματα, ως προς αυτό το

σημαντικό κριτήριο υπερτερούν. Άλλα , επιπλέον στοιχεία που καθιστούν τα θέματα πιο πετυχημένα, έχουν αναφερθεί από το Νίκο.

Το πιο σημαντικό για φέτος είναι ότι δεν μιλάμε πια για θέματα σκοπιμότητας, συναλλαγής κάθε είδους, βαθειά ταξικά, φροντιστηριακά ή θέματα

ετερόκλητα, αποκρουστικά, εκφοβιστικά κλπ.Είναι και αυτό μια πρόοδος και δεν πρέπει να την παραβλέπουμε.Το ζήτημα είναι αυτή η μικρή αλλαγή προς το

καλύτερο να έχει συνέχεια στο μέλλον και να μην είναι μια φωτοβολίδα στη σκοτάδι.

Μπ

Συγχαρητήρια εγκάρδια κι από εμένα στην επιτροπή.
Το ερώτημα για το διαγωνισμό των εξετάσεων κατά τη γνώμη μου είναι απλό και ένα:
Να διαχωρίζει τους μαθητές ως προς την ικανότητά τους σε αυτά τα Μαθηματικά που είναι στην τρέχουσα ύλη χωρίς να τους στέλνει απαραίτητα στο φροντιστήριο.
Στο σχολείο μου υπήρξαν μαθητές επιμελείς με καλή δουλειά ΟΛΑ τα χρόνια της μαθητικής τους πορείας, έχοντας προσωπική ζωή και μπόλικο χρόνο να μελετήσουν και να λύσουν μόνοι τους, οι οποίοι δεν έχουν περάσει ούτε απ έξω από φροντιστήριο κι όμως τα κατάφεραν άριστα σε θέματα που εξετάζουν βασικές γνώσεις, χωρίς να χρειάζεται να μαντεψουν τα άνευ ουσιαστικου μαθηματικού περιεχομένου διαστήματα του ξ ή τις διεστραμμενες κατασκευές ψευδοδιαφορικων και άλλων που και στους ίδιους τους θεματοδοτες να τις δώσεις μερικές φορές είναι αμφίβολο αν θα προλάβουν να κάνουν πλήρεις λύσεις στο τρίωρο.

Διότι κύριοι αν θέλουμε εξέταση σε μαθηματικές γνώσεις Η ύλη δεν μπορεί να είναι τόσο περιορισμένη όσο μετά τις δέσμες. Αλλά ευρεία με γεωμετρία και ουσιαστικό μαθηματικό περιεχόμενο που ράβει περιλαμβάνει και πραγματικά προβλήματα με ανοικτού τύπου λύσεις όπου θα φαίνεται και η πραγματική ικανότητα έμπνευσης και εφαρμογή ς αυτών των γνώσεων, κάτι που δεν το κάνουν τα ξ και η παπαγαλια των μεθοδολογιων!

Αυτά, απλά κι ασ' τους άλλους να κρωζουν!
Συγχαρητήρια και πάλι σε όλους όσοι συνέβαλλαν στα θέματα.

Συμφωνώ με τις επισημάνσεις του Νίκου. Να προσθέσω όμως, πως ο Νίκος, με τον μοναδικό ουσιώδη και συνεκτικό λόγο του, δεν κάνει τίποτε άλλο από να επισημαίνει ένα, από τα αυτονόητα, που έπρεπε να κατανοήσουμε και να εφαρμόσουμε τόσο στην εκπαιδευτική πράξη, όσο και στους υπόλοιπους τομείς της καθημερινότητάς μας. Πόσο καιρό άραγε θα μας πάρει η "κατάκτηση" του αυτονόητου;

Σχεδόν απελπισμένος σας καλημερίζω

Το προηγούμενο κείμενο μου ήταν άκρως συνοπτικό. Ανέφερα διαπιστώσεις αλλά όχι επιχειρήματα. Η δημοσιοποίηση του, όπως ήταν φυσικό, αντιμετώπισε αντιδράσεις. Πράγμα ευκταίο για την προαγωγή του διαλόγου. Η συζήτηση επεκτάθηκε στο facebook όπου σε κάποιες ομάδες ανήρτησα τον σχετικό σύνδεσμο αλλά και αλλού. Γράφω κάποια πράγματα σχετικά με τις κυριότερες αιτιάσεις.

1. Τα φετινά θέματα δεν ήσαν περισσότερο κοντά στο σχολικό βιβλίο από τα θέματα των προηγουμένων ετών.

Η πραγματικότητα είναι πολύ διαφορετική, Στα προηγούμενα χρόνια υπήρχαν πλείστες περιπτώσεις όπου τα θέματα απείχαν πολύ από τις γνώσεις που προσφέρει το σχολικό βιβλίο ή από τις γνώσεις που οριοθετούνται από την διδακτέα ύλη και τις οδηγίες διδασκαλίας. Η συχνότητα του φαινομένου ήταν τέτοια ώστε να μπορεί κανείς άνετα να συμπεράνει ότι πρόκειται για ένα συστηματικό φαινόμενο.

Παράδειγμα 1 2000, Σωστό λάθος
Αν η είναι παραγωγίσιμη στο , τότε η είναι πάντοτε συνεχής στο
Θεωρώ ότι δεν υπάρχει τρόπς να απαντηθεί αυτό το ερώτημα με τις γνώσεις του σχολικού βιβλίου. Η απάντηση είναι αρνητική και απ΄ότι ξέρω το απλούστερο αντιπαράδειγμα είναι η

Παράδειγμα 2 2001 ΘΕΜΑ Δ
Είναι η χρονιά που το Προεδρικό Διάταγμα που καθόριζε ότι το 4ο Θέμα πρέπει να είναι πρόβλημα τροποποιήθηκε. Πλέον μπορεί να είναι μία οποιαδήποτε άσκηση. Η αλλαγή τιμάται δεόντως. Δίνεται η και ζητείται ουσιαστικά να βρεθεί η . Πρόκειται για μία ολοκληρωτική εξίσωση που μπορεί να επιλυθεί με σχολικές γνώσεις αν θέσουμε . Ανάγεται στην διαφορική εξίσωση . Πρόκειται για μία αντιμετώπιση που προφανώς δεν "υποστηρίζεται" από το σχολικό. Εδώ βλέπουμε ότι επανέρχεται στο προσκήνιο όλο το στοκ ασκήσεων που είχε συγκεντρωθεί από την εποχή των δεσμών.

Παράδειγμα 3 2002 ΘΕΜΑ Δ
Τίθεται το θέμα:
Έστω δύο συναρτήσεις συνεχείς στο .
Να αποδείξετε ότι αν για κάθε , τότε και .
Πρόκειται ουσιαστικά για την άσκηση Γ 10 i) της σελίδας 353.
Θέμα από το βιβλίο. Μόνο που εκείνη την περίοδο υπήρχε οδηγία να μην διδάσκονται οι ασκήσεις Γ ομάδας.

Παράδειγμα 4 2010 ΘΕΜΑ Δ
Δόθηκε προς λύση η ολοκληρωτική εξίσωση που ανάγεται στην διαφορική εξίσωση . Όλα αυτά με τις διαφορικές εξισώσεις να είναι εκτός ύλης. Η λύση ήταν η . Στο ίδιο θέμα ζητείτο να αποδειχθεί ότι . Η φυσιολογική λύση με χρήση του θεωρήματος μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού δεν είναι εφικτή γιατί το θεώρημα είναι εκτός ύλης.

Παράδειγμα 5 2011 ΘΕΜΑ Γ
Δόθηκε προς λύση η διαφορική εξίσωση

Παράδειγμα 6 2011 ΘΕΜΑ Δ
Δόθηκε στην ουσία να λυθεί το σύστημα ολοκληρωτικών εξισώσεων


με , θετικές. Λύση το ζεύγος . Στη συνέχεια ουσιαστικά ζητήθηκε το ολοκλήρωμα στο της που απαιτεί το τέχνασμα . To τελευταίο πρόκειται για πολύ γνωστή άσκηση που υπάρχει σε βοηθήματα αλλά δύσκολα μπορεί να αντιμετωπιστεί με γνώσεις που είναι πολύ κοντά στο σχολικό βιβλίο.

Παράδειγμα 7 2012 ΘΕΜΑ Δ
Δόθηκε πάλι ολοκληρωτική εξίσωση αυτή την φορά ή
.

Παράδειγμα 8 2013 ΘΕΜΑ Γ
Δόθηκε η διαφορική εξίσωση

Παράδειγμα 9 2015 ΘΕΜΑ Δ
Δόθηκε η διαφορική εξίσωση .

2. Τα φετινά θέματα δεν ήσαν πρωτότυπα εν αντιθέσει με των προηγουμένων ετών.

Βέβαια ο όρος πρωτότυπος χρήζει κάποιων διευκρινήσεων. Τα φετινά θέματα δεν ήσαν πρωτότυπα αν απαιτούμε να στηρίζονται σε νέες ιδέες (αλήθεια πόσες τέτοιες υπάρχουν τριγύρω;). Πράγματι στηρίζονται σε κάποιες βασικές ιδέες που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο τις οποίες επεκτείνουν. Οι διάφορες "συνθέσεις" ή "δημιουργίες" που κυκλοφορούν εδώ και κει δεν είναι, κατά κανόνα, περισσότερο πρωτότυπες. Απλώς οι πιο πολλές στηρίζονται σε ιδέςς και τρυκ που δεν υπάρχει έγνοια να εκκινούν από το σχολικό. Το ίδιο ισχύει και με τα θέματα των προηγουμένων ετών. Πολλά ερωτήματα είναι παραλλαγές βασικών ιδεων

Παράδειγμα 1. 2000 ΘΕΜΑ Γ
Ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι τιμή μιας συνεχούς ορισμένης στο . Εφαρμογή του γενικού: Η μέση τιμή τιμών μιας συνεχούς είναι τιμή της.

Παράδειγμα 2. 2001 ΘΕΜΑ Γ
Ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι η παραγωγίσιμη στο με και δεν έχει ακρότατα. Παρόμοια με την Β4 σ. 269.

Παράδειγμα 3. 2002 ΘΕΜΑ Γ
Δεόθηκε ότι η είναι 1-1 και ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι η η είναι 1-1. Αν και στο ερώτημα αυτό χάθηκαν πολλές μονάδες δεν παύει να είναι μία πασίγνωστη άσκηση.

Παράδειγμα 4. 2002 ΘΕΜΑ Β,
Μετασχηματισμός Möbius.

Παράδειγμα 5. 2003 ΘΕΜΑ Β
Μετασχηματισμός Möbius+ελάχιστη απόσταση σημείου από ευθεία.

Παράδειγμα 6. 2003 ΘΕΜΑ Γ
Δράση μιας γνησίως αύξουσας στην γνωστή ανισότητα .


Παράδειγμα 7. 2006 ΘΕΜΑ Γ
Γνωστός χαρακτηρισμός ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου στο μοναδιαίο κύκλο.

Παράδειγμα 8. 2007 ΘΕΜΑ Β
Μετασχηματισμός Möbius.

Παράδειγμα 9. 2007 ΘΕΜΑ Γ γ)
Συμμετρίες κυβικού πολυωνύμου: Το σημείο καμπής της είναι κέντρο συμμετρίας της και τα σημεία που αντιστοιχούν στα ακρότατα είναι συμμετρικά ως προς αυτό.

Παράδειγμα 10. 2007 ΘΕΜΑ Δ γ)
Η βασική ιδέα της άσκησης στηρίζεται στον κανόνα μονοτονίας τύπου De l' Hospital (βλ. σχετικά.Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Παρατηρήσεις στα θέματα θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης του έτους 2007

Παράδειγμα 11. 2008 ΘΕΜΑ Δ
Ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι που ουσιαστικά είναι η άσκηση Β 8 ι) σελίδα 221 του σχολικού. Επίσης έπρεπε να χρησιμοποιηθεί το ότι για δύο φορές παραγωγίσιμη ισχύει . Το αποτέλεσμα αυτο υπήρχε σε πολλά βοηθήματα, στο τελευταίο βιβλίο ανάλυσης της πρώτης δέσμης και υπήρξε θέμα στα Mathematical Tripos του Cambridge το 1925. Τέλος το ίδιο θέμα ζητούσε να βρεθεί συνάρτηση από την ολοκληρωτική εξίσωση . Το κολπάκι ήταν να θέσει κάποιος και ν αβρεί το . Η ιδέα αυτή υπήρχε και σε ένα θέμα των εξετάσεων Δεσμών του 1996 όπου εκεί ζητείτο να βρεθεί με .

Παράδειγμα 12. 2009 ΘΕΜΑ Δ
Η καρδιά του ζητήματος ήταν να δειχθεί ότι για συνεχή στο με η συνάρτηση έχει ρίζα στο . Πρόκειται για άσκηση που τέθηκε σε Ρουμάνικο περιφερειακό διαγωνισμό την ίδια χρονιά.

Παράδειγμα 13. 2013 ΘΕΜΑ B
H "κατασκευή" εκείνης της χρονιάς στην οποία ασκήθηκε έντονη κριτική. Δόθηκε το πολυώνυμο του οποίου οι συντελεστές ανήκουν στον κύκλο και ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι κάθε ρίζα του ανήκει στον ανοικτό κυκλικό δίσκο . Πρόκειται για άμεσο συμπέρασμα ενός γνωστού και κλασικού αποτελέσματος της θεωρίας πολυωνύμων ( βλ. και εδώ ) σύμφωνα με το οποίο όλες οι ρίζες ενός πολυωνύμου στο βρίσκονται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο το και ακτίνα όπου το μέγιστο της απόλυτης τιμής των συντελεστών του.

Παράδειγμα 14. 2015 ΘΕΜΑ B
Απολλώνιος κύκλος

3. Η φετινή επιτροπή ήταν άπειρη, απέφυγε τα βαθειά νερά κ.α., κ.α.
Καταβλήθηκε από κάποιους η προσπάθεια να αποδώσουν την στροφή των θεμάτων σε μία δήθεν απειρία της φετινής επιτροπής. Ότι τάχα πήγαν κοντά στο σχολικό όχι γιατί είχαν κάτι (άποψη) αλλά γιατί δεν είχαν κάτι (πείρα). Και ότι τάχα δεν είχαν αρκετό τσαγανό να πλεύσουν στον ωκεανό (ή μήπως άραγε στον βάλτο;) των "δημιουργιών" και των "συνθέσεων". Ότι δεν ήσαν αρκετά μάγκες όπως παλαιότεροι μεγαλόσχημοι "θεματοδότες" και γιαυτό χαμήλωσαν τα στάνταρ. Κατ΄αρχάς αν οπωσδήποτε πρέπει να υπάρχει η ρετσινιά του σιγουρατζή μάλλον αυτή πρέπει να βαρύνει παλαιότερες επιτροπές: Όταν χτίζεις μία άσκηση σε κάποιο γνωστό σου θεώρημα μειώνεις τις πιθανότητες να κάνεις λάθος. Χωρίς αυτή η επιλογή να είναι εξ΄ορισμού κακή δεν προσδίδει και κάποιο μαθηματικό μεγαλείο που χάσαμε από τα φέτος. Στο κάτω κάτω αν αυτό υπήρχε (το μεγαλείο) θα έπρεπε να εκδηλωθεί στα δύσκολα (λ.χ. να προφυλάξεις τις εξετάσεις από το λάθος θέμα του 2003, το θέμα αισθητικής σκυλάδικου του 2008 και τους λεονταρισμούς του Β3-3013 κ.α, κ.α. ).

4. Το σχολικό βιβλίο είναι φτωχό και δε μπορεί να αποτελέσει βάση για επιλογή θεμάτων.
Υπάρχει μια δόση αλήθειας αλλά όχι όλη η αλήθεια. Και εξηγούμαι: Πράγματι το βιβλίο δε μπορεί να ανταποκριθεί αυτοτελώς στις ανάγκες των εξετάσεων. Προήλθε από ανακατασκευή άλλου βιβλίου για να εξυπηρετήσει ανάγκες ενός συστήματος με 14 εξεταζόμενα μαθήματα (και όχι 4) και μας έμεινε. Χρειάζεται υποστήριξη από τον δάσκαλο για να δουλέψει. Ωστόσο θεωρώ ότι η συλλογή των ασκήσεων του μπορεί να αποτελέσει αφετηρία για εμπλουτισμό αλλά και εξετάσεις. Προσωπικά το αξιοποιώ στο έπακρο στα ωριαία διαγωνίσματα που βάζω εδώ και 17 χρόνια. Και κάτι ακόμη. Όσοι διαρρηγνύουν τα ιμάτια τους ότι τάχα η αξιοποίηση του σχολικού βιβλίου ενθαρρύνει την παπαγαλία που ήσαν όταν είχε εξαπολυθεί κατά πάντων η διαβόητη τράπεζα θεμάτων; Θα χαρώ να μου υποδείξουν τις δημόσιες διαμαρτυρίες τους. Η δική μου βρίσκεται εδώ: viewtopic.php?f=107&t=47544.

5. Τα θέματα αγνόησαν παραδεδεγμένες μεθοδολογίες .
Δεν υπάρχουν μεθοδολογίες. Στο επάγγελμα μας ίσως ακούγεται πιο αφοριστικό ακόμα και από το "there is no such thing as society" της Θάτσερ. Μια παράθεση μεθοδολογικών κανόνων στην καλλίτερη περίπτωση είναι αναμνήσεις επί των ασκήσεων που έλυσε ο συντάκτης τους. Και φυσικά το τελευταίο που μπορούν να κάνουν είναι να λύνουν κάθε άσκηση. Κάθε "μεθοδολογία" μπορεί να ακυρωθεί από μία εντελώς γήινη άσκηση. Φυσικά μαζί με το ουσιαστικό πάει και το επίθετο (παραδεδεγμένες). Κλείνοντας καμία επιτροπή θεμάτων δεν οφείλει σεβασμό στις άπειρες ανθρωποώρες που δαπανήθηκαν στις "μεθόδους" στα κολπάκια και στις "δημιουργίες" που φτιάχνονται για να δικαιώνουν τις "μεθόδους".

6. Τα θέματα φτιάχτηκαν για να γράψουν όλοι.
Εδώ δεν υπάρχει ίχνος μαθηματικού επιχειρήματος. Πρόκειται για μία σύνθεση εξ απλών υλικών (χώμα και νερό) προκειμένου να παραχθεί και να χρησιμοποιηθεί πολτός γνωστός ως λάσπη. Αν θέλουμε να σεβόμαστε την τέχνη μας ας αφήσουμε τις δίκες προθέσεων και ας δούμε τα αποτελέσματα. Η στατιστική κατανομή της βαθμολογίας ακριβώς το ενάντιο δείχνει. Αν είναι κάτι που πρέπει να μας στενοχωρεί δεν είναι ότι τα φετινά θέματα Μαθηματικών ήταν παιδότοπος (που δεν ήταν) αλλά ότι ένα μεγάλο ποσοστό μαθητών ακόμη και με αυτά τα θέματα είχε πολύ φτωχή απόδοση. Ως εάν να μην έκαναν καθόλου Μαθηματικά. Αλλά αυτό είναι ένα θέμα για άλλη κουβέντα.

Πράγματι τα φετινά θέματα δεν είχαν ακρότητες . Συγχαρητήρια κι από μένα στην επιτροπή .

Νίκος Φραγκάκης

Γεια σας. Στον απόηχο των εξετάσεων .... μέχρι του χρόνου την ίδια εποχή ....αφού μάλλον τότε θα το ξανασυζητήσουμε...
Τα θέματα ήταν προφανώς καλά, από την άποψη ότι ήταν στο πνεύμα του βιβλίου, δεν είχαν μαθηματικά λάθη κτλ, και βέβαια από τα πολλαπλά συγχαρητήρια προς την επιτροπή διαγωνισμών, μάλλον έφτασαν στα όρια τις τελειότητας. Πράγματι η οπτική γωνιά του φίλου Άριστου και έγκριτου Νίκου Μαυρογιάννη (Προσωπικά τον θεωρώ έτσι) ότι τα θέματα ήταν τίμια θέματα, ναι με βρίσκει απόλυτα σύμφωνο, αλλά αρκεί μόνο αυτό το αυτονόητο σε μία Εθνική Παιδεία; Να πανηγυρίζουμε επειδή έγινε κάτι από το καταρχάς απόλυτα αυτονόητο; Επιτρέψτε μου δηλαδή σε μία εποχή όπου ακόμα και Ντοκτορά πιθανόν να δουλεύουν σε μεταφορές πίτσας αφού δεν είναι συνυφασμένα με την επαγγελματική κατοχύρωση να αισθάνομαι ότι πρέπει να απαντήσουμε σε δύο βασικά ερωτήματα θύραθεν των άκρατων ενθουσιασμών με ουρανομήκεις ιαχές από τη μία ή την άλλη αντίληψη.
Το πρώτο: Θέλουμε ή Όχι η Δημόσια Εκπαίδευση να είναι συνυφασμένη σε επίπεδο προδιαγραφών με την επαγγελματική διασπορά των πτυχιούχων κάθε βαθμίδας με σύγχρονη αντίληψη απόδοσης; Το δεύτερο: Τι είδους Μαθηματικά θέλουμε, σε τι επίπεδο και με τι στόχευση και σε κάποιο βαθμό ως προς ανάδειξη του ταλέντου και της αριστείας στα Μαθηματικά, έστω και σε επίπεδο ας πούμε των 2/3 του ενός από τα εξεταζόμενα θέματα; Θα είχε νομίζω ενδιαφέρον να ανοιγόταν ένας διάλογος προς αυτή τη κατεύθυνση. Επιτρέπεται να ακούγεται για την Δημόσια εκπαίδευση η φράση: Όσοι είναι ταλέντα στα Μαθηματικά ή ασχολούνται παραπάνω με τα Μαθηματικά να παν να βρουν διαγωνισμούς του είδους αν θέλουν να δείξουν την αξία τους; Όχι δεν θεωρώ ότι επιτρέπεται να ακούγεται αυτό.

(*) Με την κατακρεούργηση του Αλγεβρικού Λογισμού στο Λύκειο (καλά η Γεωμετρία είναι πλέον είδος πλέον προς διήγηση), όχι με ευθύνη των διδασκόντων ή των συμβούλων που δίνουν τιτάνιο αγώνα για αξιοπρεπή λήψη γνώσης, αν τολμήσει κάποιος να βάλει θέμα που θα χρειαστεί μία αντικατάσταση του τύπου λόγω της ύπαρξης πηλίκου ομογενών πολυωνύμων ίδιου βαθμού (αντικατάσταση που μπορεί να γίνει και χωρίς την γνώση του ομογενούς πολυωνύμου) για να έχουμε απλοποίηση και άρα εύκολη επίλυση, θα θεωρηθεί θέμα καρμανιόλα.

(**) Προσωπικά με προβληματίζει στο περιβάλλον των προθέσεων και η τάση για απόλυτη ταύτιση με τα επίσημα Μαθηματικά βιβλία. Καταρχάς, ένα Μαθηματικό βιβλίο της Δημόσιας Εκπαίδευσης δεν θα πρέπει έστω και κατ΄ελάχιστο να εμπνέει; Τι κάνουμε ως διδάσκοντες αν για κάποιο βιβλίο μαθηματικών ή άλλων ειδικοτήτων (Ιστορίας, Λογοτεχνίας, Θρησκευτικών, Ελληνικών, ...) διαπιστώσουμε ότι οι στιγμές έμπνευσης είναι ελάχιστες; Έστω ότι ετίθετο ένα θέμα που στηριζόταν στο απλό ακόμα και διαισθητικά εκ μέρους του μέσου Μαθητή: Αν κοντά στο ισχύει και τότε και . Το πνεύμα του βιβλίου το έχει «πολύ παράξενα» αντιμετωπίσιμο ως προς την επίλυση αντίστοιχων προβλημάτων ..... με "τούμπες" για να πάμε σε πραγματικό όριο κτλ. Τι προσφέρει ένα τέτοιο τρύκ; Επίσης είναι από τα σπάνια βιβλία σε αντίστοιχο διεθνές περιβάλλον που δεν έχει σε παράδειγμα της θεωρίας την ισχύ της κτλ. Θέλω να πω τι κάνουμε σε τέτοιες πιθανές βασικές στιγμές των επίσημων βιβλίων της Δημόσιας εκπαίδευσης;
Καταθέτω λοιπόν αυτούς τους προβληματισμούς μου επειδή με απασχολούν και θέλω να τους μοιραστώ μαζί σας χωρίς να μου αρέσει με τίποτα το περιβάλλον των προσωπικών αιχμών και κοντρών (δεν είναι σόι πράγματα αυτά) και μάλιστα μέσω μεμονωμένων φράσεων και όχι επί του συνόλου της κάθε τοποθέτησης .

(***) Αν ένας Μαθητής δυσκολεύεται να κατανοήσει την δομική λειτουργία Μαθηματικών εννοιών που έχει διδαχθεί, ότι θέμα προς επίλυση και αν του βάλεις την στιγμή που θα πρέπει να μετουσιώσει την γνώση ώστε να δημιουργήσει την μέθοδο επίλυσης ενός μαθηματικού προβλήματος θα "κωλώσει" και αυτό είναι που πρέπει να δούμε και να επιλύσουμε. Δεν σημαίνει δηλαδή ότι όταν κάποιος δεν λύνει μία άσκηση αυτό είναι αποτέλεσμα ΜΟΝΟ του ότι η άσκηση είναι δύσκολη. Αυτό δεν μπορεί να είναι μαθηματικό επιχείρημα. Άλλο τι θεωρώ ότι κατέχω και άλλο τι πραγματικά κατέχω.

(****) Καλό θα είναι να μη συγχέουμε οι ασχολούμενοι με τα Μαθηματικά και τη Διδασκαλία τους, την Μαθηματική Μέθοδο Επίλυσης ή γενικά αντιμετώπισης ενός Μαθηματικού θέματος ... με τον "τυφλοσούρτη". Μία τέτοια σύγχυση δυστυχώς δείχνει ... μη καλά και μη αγαθά πράματα ........

Η έντονη συζήτηση για τα θέματα που τέθηκαν στις φετινές, κοινές εξετάσεις Μαθηματικών Προσανατολισμού και Κατεύθυνσης φαίνεται ότι δεν λαμβάνει υπόψη έναν καθοριστικό παράγοντα: την καταλυτική επίδραση των θεμάτων που επιλέγει η εκάστοτε Κεντρική Επιτροπή Εξετάσεων σε αυτό που κατ’ επίφαση ονομάζεται «διδασκαλία των Μαθηματικών στο Λύκειο».
Ο Νίκος κατέγραψε παραπάνω μια πολυπληθή ομάδα θεμάτων της τελευταίας 15ετίας (θα μπορούσα να αναφέρω άλλα τόσα από τις επαναληπτικές εξετάσεις), τα οποία παραβιάζουν συστηματικά το «γράμμα» και το «πνεύμα» του αναλυτικού προγράμματος, του σχολικού βιβλίου, αλλά και των επίσημων οδηγιών διδασκαλίας και διαχείρισης της ύλης, για τα οποία είναι υπεύθυνο το Ινστιτούτο Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πρώην Παιδαγωγικό Ινστιτούτο). Θα μπορούσε να ισχυριστεί κανείς, χωρίς δόση υπερβολής, ότι το Ι.Ε.Π./Π.Ι. και η Κ.Ε.Ε. ήταν και παραμένουν «δύο ξένοι στην ίδια πόλη» ή για να το θέσω πιο προκλητικά: λειτουργούν με όρους της ανιστόρητης και υποκριτικής αντιπαράθεσης «δημόσιας παιδείας – παραπαιδείας».
Αυτή η κατάσταση έχει οδηγήσει σε μία ραγδαία απαξίωση του σχολικού βιβλίου (πλείστοι διδάσκοντες χρησιμοποιούν στην τάξη και συστήνουν στους μαθητές διάφορα βοηθήματα, τα οποία δεν είναι τίποτε άλλο από συλλογές ασκήσεων «μετά συνοπτικής θεωρίας»), αλλά και σε υποβάθμιση της διδασκαλίας (πλείστοι διδάσκοντες «καλπάζουν» για να ολοκληρώσουν τάχιστα την «ύλη», ώστε να αφιερώσουν τον υπόλοιπο χρόνο στη διδασκαλία «συνδυαστικών» ασκήσεων που ακολουθούν πιστά τη δομή αντίστοιχων θεμάτων). Προς άρση πιθανών παρερμηνειών, ο όρος «διδάσκοντες» εδώ αναφέρεται σε όλους, «δημόσιους» και μη.
Η διδασκαλία των Μαθηματικών εκφυλίζεται με τον τρόπο αυτό σε ασυνάρτητη ασκησιολογία, με αποτέλεσμα οι περισσότεροι μαθητές να γνωρίζουν «μεθοδολογικούς» κανόνες και να επιλύουν μέσω αυτών κάποιες ασκήσεις, επιδεικνύοντας όμως ταυτόχρονα σε άλλες, παραπλήσιες ασκήσεις, κραυγαλέα άγνοια βασικών εννοιών της Άλγεβρας και της Ανάλυσης. Η διαπίστωση αυτή αποτελεί ρουτίνα σε όσους έχουν διορθώσει γραπτά στα βαθμολογικά κέντρα ή έχουν διδάξει Μαθηματικά σε πρωτοετείς φοιτητές.
Δεν είναι επίσης άσχετο με τα παραπάνω ότι διαχρονικά και σταθερά υπάρχει ένα ποσοστό περίπου 50% καθολικής αποτυχίας στο θέμα Α της θεωρίας, στο οποίο η Κ.Ε.Ε. ουδέποτε τόλμησε να κάνει την υπέρβαση και να ζητήσει κάτι πιο αξιοπρεπές από την απομνημόνευση/αναπαραγωγή αποδείξεων και ορισμών του σχολικού βιβλίου. Το γεγονός αυτό επιβεβαιώνει απλά ότι η εξίσωση «διδασκαλία = ασκησιολογία + μεθοδολογία» αφαιρεί από πάρα πολλούς μαθητές ακόμη και την ικανότητα αυτόνομης μελέτης του σχολικού βιβλίου.
Αυτό το είδος «διδασκαλίας» έχει και άλλες χειρότερες παρενέργειες, όπως για παράδειγμα την ουσιαστική ακύρωση βασικών γνώσεων που έχουν διδαχθεί οι μαθητές σε προηγούμενες τάξεις. Αδιάψευστο μάρτυρα αποτελεί το φετινό θέμα Β, που ζητούσε την εφαρμογή βασικών γνώσεων του Διαφορικού Λογισμού για τη μελέτη και γραφική παράσταση της ρητής συνάρτησης .
Το θέμα αυτό, δήλωσαν διάφοροι «ψευδο-ευφυείς ασκησιολόγοι» (ο όρος είναι του αείμνηστου Γεωργίου Τσάμη), αποδεικνύει ότι τα μέλη της φετινής επιτροπής ήταν άπειρα και είχαν έλλειψη φαντασίας. Η αποτυχία στη συγκεκριμένη άσκηση ρουτίνας (η διασταύρωση στοιχείων από διάφορα βαθμολογικά κέντρα δείχνει ότι το 60% περίπου των μαθητών έλαβε σε αυτήν λιγότερα από 12 μόρια, δηλαδή κάτω από τη βάση) δεν οφείλεται σε άγνοια του Διαφορικού Λογισμού, αλλά στην ανικανότητα να χρησιμοποιηθούν βασικές γνώσεις της Άλγεβρας. Για παράδειγμα, προσπαθώντας να υπολογίσουν τη δεύτερη παράγωγο , οι περισσότεροι μαθητές επιδεικνύουν απίστευτη άγνοια της έννοιας «απλοποίηση ρητής αλγεβρικής παράστασης» και καταλήγουν στην .
Και τι έγινε λοιπόν, θα αναρωτηθεί ένας καλόπιστος παρατηρητής. Οι μαθητές αυτοί δεν είχαν διδαχθεί διτετράγωνες και πολυωνυμικές εξισώσεις στην Α΄ και Β΄ Λυκείου;
Βεβαίως, αλλά οι ίδιοι μαθητές είχαν διδαχθεί στην Γ΄ Λυκείου κατά κόρον «μεθοδολογία» που την ακολούθησαν με θρησκευτική ευλάβεια: έθεσαν μαζικά τον αριθμητή και άρχισαν να μελετούν με παραγώγους τη νέα βοηθητική συνάρτηση! Μάλιστα ορισμένοι «ταλαντούχοι» ολοκλήρωσαν επιτυχώς αυτή τη «μέθοδο», αν παραβλέψουμε το γεγονός ότι δεν βρήκαν τις ρίζες της δεύτερης παραγώγου (που είναι θέσεις σημείων καμπής) αλλά απέδειξαν την ύπαρξή τους με χρήση του θεωρήματος Bolzano! (οπότε αντιλαμβάνεται ο καθένας τι επακολούθησε όταν επιχείρησαν να σχεδιάσουν τη γραφική παράσταση).
Τα φετινά θέματα είχαν επίσης και ένα άλλο προβλέψιμο αποτέλεσμα, το οποίο επιβεβαιώθηκε πλήρως από τα επίσημα στατιστικά στοιχεία της βαθμολογικής επίδοσης των μαθητών που ανακοίνωσε το ΥΠ.Π.Ε.Θ. Συγκρίνοντας τα ποσοστά κατανομής στις βαθμολογικές κλάσεις [0 – 10) και [18 – 20] των φετινών μαθητών του Θετικού Προσανατολισμού με τους περσινούς μαθητές της Θετικής Κατεύθυνσης (που έγραψαν φέτος Μαθηματικά για δεύτερη φορά και στα ίδια ακριβώς θέματα με τους προηγουμένους), αλλά και με τα αντίστοιχα ποσοστά των εξετάσεων του 2015, διαπιστώνουμε μικρές και απόλυτα ερμηνεύσιμες διαφορές που οδηγούν στο ακόλουθο συμπέρασμα:
Είναι απολύτως εφικτή η δημιουργία ενός εξεταστικού δοκιμίου υψηλής διακριτικής ικανότητας, με θέματα που έχουν σημείο αναφοράς ασκήσεις του σχολικού βιβλίου και λαμβάνουν υπόψη τα ουσιαστικά προβλήματα διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών.
Οι βαθιές «συνδυαστικές δημιουργίες» του 2015, με τη συνάρτηση-ολοκλήρωμα σε ρόλο περιφερόμενου θιάσου, δεν πέτυχαν τελικά καμιά ουσιαστική διαφοροποίηση ως προς την κατάταξη των μαθητών στις διάφορες βαθμολογικές κλάσεις.
Αυτό το συμπέρασμα είναι ίσως το μοναδικό και σημαντικότερο κίνητρο, αν θέλουμε να απονείμουμε κάποια εύσημα στα μέλη της φετινής Κ.Ε.Ε.!
Για όσους, τέλος, εξακολουθούν να αναμασούν το ιδεολόγημα ότι με τα «συνδυαστικά» θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων ανιχνεύονται ταλέντα και εξυψώνεται το επίπεδο της μαθηματικής παιδείας, δεν βλέπω παρά έναν μόνο τρόπο προσγείωσης στην πραγματικότητα: τον εγκλεισμό τους σε ένα βαθμολογικό κέντρο με την υποχρέωση να βαθμολογήσουν κατ’ αποκλειστικότητα γραπτά του Προσανατολισμού Οικονομίας και Πληροφορικής, όπου το ποσοστό αποτυχίας στα ίδια ακριβώς θέματα Μαθηματικών άγγιξε το 80%!
Η διδασκαλία των Μαθηματικών χρειάζεται επειγόντως να επιστρέψει στη μελέτη και εμβάθυνση της ύλης των σχολικών βιβλίων, να δώσει κίνητρα στους μαθητές για αυτόνομο και ουσιαστικό διάβασμα, να αναθεωρήσει ριζικά την έννοια του «βοηθήματος». Στο τελευταίο αυτό ζήτημα νομίζω ότι μπορεί να συμβάλει η συνημμένη βιβλιοπαρουσίαση, που γράφτηκε σε ανύποπτο χρόνο και αποτελεί μια μικρή ένδειξη εκτίμησης προς το έργο του Νίκου Μαυρογιάννη που είχε το σθένος να ανοίξει αυτή την άκρως ενδιαφέρουσα δημόσια συζήτηση.

Γιάννης Θωμαΐδης

Προφανώς σέβομαι και ασπάζομαι όλες τις απόψεις και ιδιαίτερα Μαθηματικών αλλά και Ανθρώπων όπως ο Νίκος και ο Γιάννης. Και βέβαια αυτό φαίνεται από την τοποθέτηση μου ως συνολική άποψη. Δηλαδή αν ο Μαθητής έχει εντρυφήσει στις απαιτούμενες Μαθηματικές έννοιες που παράγουν προϋπόθεση δημιουργίας μαθηματικής μεθόδου επίλυσης και έχει "προπονηθεί" για να γίνουν αυτά κτήμα του, τότε δεν μιλάμε άκοπα. Όμως ο Αλγεβρικός Λογισμός που λαμβάνεται στο Λύκειο είναι επιεικώς ανεπαρκής. Η γεωμετρία που υποτίθεται ότι προπονεί το οπτικολογικό περιβάλλον του νου ανύπαρκτη κτλ. Ταυτόχρονα αφήνεται να φανεί από διάφορες τοποθετήσεις ορισμένων ότι οι διδάσκοντες και οι θεματολόγοι στα σχολεία ανά την επικράτεια, δεν έχουν την απαιτούμενη αντίσταση και επιστημονική προσωπικότητα και είναι έρμαια των κακών βοηθημάτων. Διαφωνώ με την τοποθέτηση αυτή κατά 90 και πάνω επί τοις εκατό. Κάποτε βέβαια και ας μη το ξεχνάμε αυτό, τα σχολικά βιβλία του Σακελλαρίδη και του Νικολάου αλλά και του Σταϊκου είχαν «απέναντί τους» τα βοηθήματα των Σταυρόπουλου, Κανέλλου, Μάγειρα, Καζαντζή, Ντάνη, Κυριακόπουλου, Μαντά, Σκιαδά, ΣαβαΪδη κτλ με ασκησιολόγιο ασύλληπτα πιο Ισχυρό και πολυπληθές (με μεθόδους και θέματα δυσκολίας πάνω από τους σημερινούς διαγωνισμούς για ΒΜΟ και ΙΜΟ), από εκείνο των Σακελλαρίδη και του Νικολάου που φάνταζαν πλέον ποντικάκια. Σίγουρα δεν μπορούμε να κάνουμε την δίκη των προθέσεων των επαϊόντων αλλά και ημών είτε και υμών, ενώ όμως ήμαστε έτοιμοι να κατακεραυνώσουμε κυκλικά τους εαυτούς μας. Όμως και επειδή στο τι πραγματικά έχουμε στο μυαλό μας δεν μπορεί να καταγραφεί on air μάλλον τελικά στις πραγματικές προθέσεις θα πρέπει να ανατρέξουμε μήπως και βρούμε κάτι. Πάντως όσο το διδακτικό επίπεδο φθίνει και έχουμε μία αλυσίδα Μαθηματικών γνώσεων χωρίς κρίκους, όποια άγια επιτροπή και να βάλει θέματα και ότι και αν είναι τα θέματα αυτά τελικά για την μεγάλη μάζα θα είναι δύσκολα. Ας προσέξουμε γιατί ήμαστε έτοιμοι να πέσουμε θύματα του κακώς εννοούμενου κοινωνικού αυτοματισμού. Δυστυχώς το Μαθηματικό περιβάλλον από την Τρίτη Γυμνασίου και μετά θα πρέπει ανθρωπίνως άμεσα να ξυλωθεί και να σχεδιαστεί από την αρχή ένα καινούργιο, σύγχρονο με τις κατάλληλες τομές μεταξύ των τάξεων, με Μαθηματική Μεθοδολογία και όχι τυφλοσούρτη, με επιστημονικό στίγμα και πλουραλισμό. Και ας μη φοβόμαστε το ανέβασμα του επιπέδου αφού αν γίνει σωστά η κατάκτηση όσο πιο ψηλά βρίσκεται τόσο πιο μεγάλη ικανοποίηση για τα αποτελέσματα δίνει. Αντίθετα θα πρέπει το ανέβασμα του επιπέδου να το επιδιώξουμε σωστά και με μέθοδο και όχι να προσπαθούμε να χρυσώνουμε το χάπι μέσω των προς εξέταση κάθε φορά θεμάτων. Ο ρόλος ενός καλού συμβούλου (έχουμε αποδεδειγμένα πολύ καλούς και πολλούς) είναι αυτός και όχι να κάνει διαχείριση της κάθε φορά υπάρχουσας κατάστασης. Πράγματι όποιος διδάσκει ΓΝΩΣΤΙΚΌ σε φοιτητές αλλά και σε σεμινάρια επιμόρφωσης νέων συναδέλφων βλέπει την καθόλου ευχάριστη για τις επίσημες γνώσεις αλήθεια. Ευτυχώς που οι συνάδελφοι του Δημοσίου είναι πραγματικοί πατριώτες. Ευτυχώς που σε αυτό το περιβάλλον υπάρχει και η παράλληλη παιδεία σε αρμονική τελικά (και κόντρα στις απόψεις των καιρών περί του αντιθέτου) συνύπαρξη με την Επίσημη Δημόσια Παιδεία. Προσωπικά και σήμερα πιστεύω ότι υπάρχουν άριστα βοηθήματα που προσφέρουν. Εγώ ναι αν με ρωτούν προτείνω συγκεκριμένα βοηθήματα γνωστού φίλου μας εδώ στο mathematica συγγραφέα από τη Δημόσια εκπαίδευση που τα θεωρώ υψηλού κύρους.

Λίγο μετά τις εξετάσεις του 2016, με αναρτήσεις μου στο YouTube, ισχυρίστηκα και απέδειξα (έτσι τουλάχιστον νομίζω) κάποια πράγματα για τα θέματα μαθηματικών προσανατολισμού. Περίμενα αντιδράσεις θετικές ή αρνητικές οι οποίες όμως δεν εμφανίστηκαν. Έτσι επειδή πλησιάζουν και οι νέες εξετάσεις αποφάσισα να γράψω και εδώ ελπίζοντας να έχω κάποια απάντηση που θα συντελέσει να συγχαρώ και εγώ (έστω και καθυστερημένα) την επιτροπή θεμάτων.

Συγκεκριμένα, εκτός των άλλων, λέω ότι στο τέταρτο θέμα η συνάρτηση f αποκαλύπτεται από τα δεδομένα και είναι η ταυτοτική συνάρτηση παντού ή είναι η ταυτοτική μέχρις ενός σημείου δεξιά του π και πέραν τούτου ισχύει
f.

Αν έχω δίκαιο το θέμα κατά το μέγιστο μέρος καθίσταται προφανές ενώ το ολοκλήρωμα του τετάρτου ερωτήματος υπολογίζεται εύκολα σε και όχι απλώς μικρότερο του . Επίσης επειδή κάτι τέτοιο φαίνεται πως δεν έγινε αντιληπτό δεν προβλέφθηκε και ανάλογος τρόπος βαθμολόγησης. Ακολουθεί μια περιληπτική απόδειξη των ισχυρισμών μου.

Από προκύπτει εύκολα ότι f και .

Από τη σχέση δια παραγωγίσεως δεδομένου και του η παράγωγος της f βγαίνει μη μηδενική άρα θετική οπότε η f γνησίως αύξουσα παντού.

Διάστημα
Από


θέτοντας θα είναι . Όμως αριστερά του μηδενός
είναι ένα προς ένα.

Όμως οπότε δίνει

Διάστημα από μηδέν έως π:
Για να μην είναι η f η ταυτοτική θα πρέπει εσωτερικά του διαστήματος να υπάρχει κάποιο σημείο με πχ (η περίπτωση αντιμετωπίζεται αναλόγως). Τότε λόγω συνεχείας υπάρχει μια περιοχή του όπου είναι μάλλιστα επειδή και υπάρχει ένα διάστημα με και εσωτερικά του . Τώρα αν για κάθε εσωτερικό σημείο του η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα και φραγμένη οπότε συγκλίνει. Μάλιστα είναι .

Πράγματι



Επίσης


Τέλος αν



Όμως
. Άρα



και γενικά


οπότε


Η G είναι σταθερά οπότε


Η συνάρτηση εκατέρωθεν του ln2 είναι 1-1 διότι εκεί έχει παράγωγο διάφορο του μηδενός.
Έτσι αν από άτοπο

Αν τότε ή
Και τα δύο αντιμετωπίζονται αναλόγως.

Έστω λοιπόν
Τότε Αλλά

Όμως Άτοπο οπότε

Απομένει η περίπτωση δεξιά του π.
Σύμφωνα με τα προηγούμενα αν δεξιά του υπάρχει κάποιο αναλλοίωτο σημείο y θα είναι
Αν το σύνολο των αναλλοιώτων σημείων δεν είναι άνω φραγμένο τότε η f είναι παντού η ταυτοτική.
Αν όμως είναι φραγμένο λόγω συνεχείας θα υπάρχει ένα τελευταίο σημείο z με
Λόγω συνεχείας η διατηρεί πρόσημο. Θα αποκλείσουμε την περίπτωση του πλήν.

Πράγματι αν υποθέσουμε ότι όπως προηγούμενα η είναι φθίνουσα φραγμένη προς τα κάτω από z και είναι
Επίσης
Από αριστερά όμως άτοπο. Άρα

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Συγκεκριμένα, εκτός των άλλων, λέω ότι στο τέταρτο θέμα η συνάρτηση f αποκαλύπτεται από τα δεδομένα και είναι η ταυτοτική συνάρτηση παντού ή είναι η ταυτοτική μέχρις ενός σημείου δεξιά του π και πέραν τούτου ισχύει
f.

κ. Παπαστεργίου καλωσήρθατε στο mathematica.gr,

Όσον αφορά απόδειξη ότι η είναι ταυτοτική στο διάστημα , δόθηκε και εδώ στο mathematica στο σύνδεσμο εδώ (από το Βασίλη Καλαμάτα) και εδώ (από το Λάμπρο Μπαλό) και απ' όσο είδα η λύση σας είναι παρόμοια. Το υπόλοιπο κομμάτι για το διάστημα από το μέχρι μέχρις ενός σημείου δεξιά του δεν το έχω δει όπως επίσης και την απόδειξη για το ότι για όλα τα υπόλοιπα . Θα το κοιτάξω όμως γιατί είναι ενδιαφέρον ότι με τα δεδομένα της άσκησης ισχυρίζεστε ότι ΔΕΝ μπορεί να αποδειχθεί ότι η μόνη συνάρτηση που επαληθεύει είναι η ταυτοτική.

Όσον αφορά αυτό που σημειώνετε ότι

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:επειδή κάτι τέτοιο φαίνεται πως δεν έγινε αντιληπτό δεν προβλέφθηκε και ανάλογος τρόπος βαθμολόγησης.

και επειδή αρκετές φορές μαθητές δίνουν διαφορετική λύση από εκείνη των επίσημων απαντήσεων της Επιτροπής Εξετάσεων υπάρχει στο τέλος των θεμάτων η οδηγία "Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή." ώστε να καλύπτονται και τέτοιες περιπτώσεις (και φυσικά να δίνονται ΟΛΑ τα μόρια στην περίπτωση που η απάντηση είναι σωστή και τεκμηριωμένη). Φυσικά τα βαθμολογικά κέντρα φροντίζουν να δίνουν στους βαθμολογητές οδηγίες και υλικό που περιέχει βαθμολόγηση και άλλων λύσεων πέραν της επίσημης αλλά φυσικά δεν θα μπορούσαν να καλύπτουν πάντα όλες τις πιθανές απαντήσεις. Όπως βλέπω όμως από τη λύση σας χρησιμοποιείτε αρκετά εργαλεία που είναι έξω από την ύλη της Γ Λυκείου (ακολουθίες, σύγκλιση ακολουθιών, άνω φραγμένο σύνολο κλπ) άρα παρά το ότι θα μπορούσε η λύση αυτή να χρησιμοποιηθεί για την απάντηση στο ερώτημα του ολοκληρώματος, δε θα μπορούσε να προβλεφθεί ανάλογος τρόπος βαθμολόγησης του εν λόγω τρόπου και ούτε φυσικά να ληφθεί ως σωστή αν ο μαθητής δεν έκανε όλες τις αποδείξεις των προτάσεων που χρησιμοποιεί (πράγμα δύσκολο - όχι όμως αδύνατο).

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Αγαπητέ κ Συγκελάκη ευχαριστώ για την απάντησή σου (ίσως λίγο βιαστική) όπου υπαινίσσεσαι πως ισχυρίζομαι ότι η ταυτοτική συνάρτηση ΔΕΝ μπορεί να είναι η μοναδική που πληροί τις προϋποθέσεις του 4ου θέματος. Φυσικά και ΔΕΝ ισχυρίζομαι κάτι τέτοιο. Αυτό που λέω είναι ότι ΑΝ υπάρχει κάποια άλλη (αν το σύνολο των αναλλοίωτων σημείων είναι φραγμένο) τελικά θα πληροί ή τη σχέση που απορρίψαμε ή τη σχέση .
Εν πάση περιπτώση την παρατήρηση εξέλαβα ως πρόκληση και μπορώ τώρα να πω ΝΑΙ η μόνη συνάρτηση που προκύπτει από τα δεδομένα του θέματος είναι η ταυτοτική. Αυτό θα αποδειχθεί σε λίγο με μια συμπληρωματική απόδειξη. Πριν από αυτό να πω ότι σ' όλη την αποδεικτική διαδικασία δεν χρειάζεται η προϋπόθεση

Πραγματικά θα αποκλείσουμε και την περίπτωση

Θεωρούμε προς τούτο την ακολουθία των μη εκφυλισμένων διαστημάτων
τα οποία προφανώς είναι δεξιά του z και στα άκρα τους ισχύει


Η G έχει δυο επιλογές: ή είναι σταθερή οπότε η παράγωγός της είναι παντού μηδέν ή εσωτερικά του διαστήματος έχει ένα ακρότατο όπου πάλι η παράγωγος μηδενίζεται. Όπως λοιπόν και να έχει εσωτερικά του κάθε διαστήματος
υπάρχει κάποιο σημείο με (1)

Ορίζεται λοιπόν η ακολουθία με
οπότε
(1) άτοπο επειδή
Άρα το μόνο που απομένει είναι το

Συνοψίζοντας
Η συνάρτηση f είναι η ταυτοτική. Η σχέση είναι περιττή, τα ερωτήματα Δ2α και Δ3 καθίστανται προφανή και το Δ4 άστο να πάει και προφανές και λάθος. Δεν αξίζει να αναφερθώ και στ' άλλα θέματα αφού η ναυαρχίδα τους μπάζει από παντού.

Είμαι απ ότι φαίνεται μόνος. Είστε πολλοί. Αν έχω λάθος θα πρέπει να το βρήτε και τότε εγώ πραγματικά κρεμάω τα παπούτσια. Αν όμως έχω δίκαιο εσείς θα αποσύρετε τα συχαρίκια;

Ευχαριστώ πάρα πολύ
Π Κ

κ.Παπαστεργίου δεν καταλαβαίνω ποιο είναι το πρόβλημα σας.
Αν υποθέσουμε ότι έχετε δίκιο (δεν έχω κανένα λόγο να μην θεωρώ σωστά τα παραπάνω αν και δεν τα έχω ελέγξει)
πως ένας μαθητής θα τα έκανε;
Προφανώς αν τα έκανε θα του τα θεωρούσαν σωστά.

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: (...) και το Δ4 άστο να πάει και προφανές και λάθος. Δεν αξίζει να αναφερθώ και στ' άλλα θέματα αφού η ναυαρχίδα τους μπάζει από παντού.
Π Κ

Ζητώ συγνώμη, αλλά δεν κατανοώ πώς μπορεί κάτι να είναι "και προφανές και λάθος".

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε:Αγαπητέ κ Συγκελάκη ευχαριστώ για την απάντησή σου (ίσως λίγο βιαστική) όπου υπαινίσσεσαι πως ισχυρίζομαι ότι η ταυτοτική συνάρτηση ΔΕΝ μπορεί να είναι η μοναδική που πληροί τις προϋποθέσεις του 4ου θέματος. Φυσικά και ΔΕΝ ισχυρίζομαι κάτι τέτοιο.

Δεκτό!

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Συνοψίζοντας
Η συνάρτηση f είναι η ταυτοτική.

Δεν το έλεγξα κι εγώ!

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Η σχέση είναι περιττή, τα ερωτήματα Δ2α και Δ3 καθίστανται προφανή

Σωστό αλλά με την προϋπόθεση ότι κάποιος μαθητής αντιμετωπίζει την άσκηση με το δικό σας τρόπο ο οποίος όμως είναι τελείως εκτός ύλης της Γ Λυκείου. Οι κανόνες του "παιχνιδιού" είσαι συγκεκριμένοι: Ο μαθητής π.χ. δεν ξέρει ότι κυρτή συνάρτηση ορίζεται ακόμη και στην περίπτωση που η f' δεν υπάρχει, ο μαθητής δε γνωρίζει το θεώρημα Darboux, το θεώρημα μέσης τιμής του Flett και τόσα άλλα όμορφα αποτελέσματα της ανάλυσης ανάμεσά τους και τις ακολουθίες που χρησιμοποιείτε στην απόδειξη σας. Με τα μέσα που γνωρίζει ο μαθητής η άσκηση δεν καθίσταται προφανής (εκτός αν κάποιος αποδείκνυε το αντίθετο που φυσικά θα έπαιρνε όλα θα μόρια). Συνεπώς, κατά την άποψή μου, καλώς δόθηκε στους μαθητές...

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: και το Δ4 άστο να πάει και προφανές και λάθος.

Προφανής αν κάποιος κάνει την αντιμετώπισή σας ναι! Λάθος γιατί;
Είναι η συνεπαγωγή
ψευδής;

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Δεν αξίζει να αναφερθώ και στ' άλλα θέματα αφού η ναυαρχίδα τους μπάζει από παντού.

Επειδή μας παρακολουθούν μαθητές και είναι καλό είναι για κάτι που αφορά τα μαθηματικά να επιχειρηματολογούμε χωρίς απλά να εκτοξεύουμε κατηγορίες, θα σας παρακαλούσα να κάνετε πιο συγκεκριμένο το παραπάνω με παραδείγματα ώστε να γίνει διάλογος για να κατατεθούν κι άλλες απόψεις και επιχειρήματα.

Παπαστεργίου Κώστας έγραψε: Αν όμως έχω δίκαιο εσείς θα αποσύρετε τα συχαρίκια;

Όσον αφορά εμένα, ακόμη και να είναι σωστά τα όσα γράφετε (δεν έχω κανένα λόγο να τα αμφισβητήσω), σε καμιά περίπτωση δε θα αποσύρω τα συγχαρητήριά μου προς την περυσινή επιτροπή! Τα θέματα ήταν άψογα από πολλές απόψεις... Δεν κατάλαβα γιατί αν υπάρχει μια λύση (τελείως εκτός πνεύματος σχολικού βιβλίου) που να διευκολύνει στην επίλυση έστω και όλων των ερωτημάτων πρέπει να θεωρηθεί αποτυχία του θέματος;

Φιλικά,
Αλέξανδρος

Η αστοχία είναι αστοχία και το λάθος λάθος είτε αποδεικνύονται εύκολα είτε αποδεικνύονται δύσκολα. Εγώ φυσικά δεν έχω πρόβλημα κ Παπαδόπουλε. Όμως φαίνεται ότι εσείς ζορίζεστε και δεν ξέρω γιατί. Δεν σας γνωρίζω άλλως τε. Εξεταζόμενος θα μπορούσε να είναι και ένας μαθηματικός. Και να είστε σίγουρος ότι αν κάποιος τα έγραφε έτσι θα τα θεωρούσαν λάθος. Θα ρωτούσαν δηλαδή την επιτροπή του βαθμολογικού και αυτή αμέσως θα αποφαινόταν; Ξέρω πολύ καλά από βαθμολογικά κέντρα κύριε.

Το επιχείρημά σας για το ολοκλήρωμα κ Συγκελάκη (μη με παρεξηγήσετε) μου θυμίζει Αίσωπο '' ίχνη μόνο ζητώ ουχί αυτόν τον λέοντα ''. Αλλά απαντήστε μου σας παρακαλώ σ' ένα ερώτημα. Η επιτροπή των θεμάτων τα γνώριζε αυτά και παρά ταύτα έδωσε το θέμα; Είναι τόσο δύσκολο να δεχθούμε μια αλήθεια; Και κάτι ακόμη. Γιατί κανένας δεν έλεγξε αυτά που έγραψα; Μπορεί να είναι λάθος, να μου το δείξετε, να ζητήσω συγνώμη και το πράγμα να τελειώσει εδώ.

Καλοπροαίρετα
Π Κ