mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 03, 2011 8:35 pm**

Να υπολογιστεί το άθροισμα 1^2+2^2+...+n^2.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 03, 2011 8:49 pm**

Ισχύει $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k + 1} \right)}^3}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 1}$

Επίσης $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {k + 1} \right)}^3}} - \sum\limits_{k = 1}^n {{k^3}} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^3} - {k^3}} \right)} = 3\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} + 3\sum\limits_{k = 1}^n k + \sum\limits_{k = 1}^n 1 }$

Τότε $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \frac{1}{3}\left( {{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 1 - 3\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - n} \right) = \frac{{2{n^3} + 3{n^2} + n}}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}}$

Είναι μια γενικότερη μέθοδος υπολογισμου αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{{1^k} + {2^k} + {3^k} + .. + {n^k}}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιαν 20, 2012 4:16 pm**

Σεραφείμ έγραψε:Είναι μια γενικότερη μέθοδος υπολογισμου αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{{1^k} + {2^k} + {3^k} + .. + {n^k}}$ .

Αυτά μπορεί κανείς να τα υπολογίσει και με την Euler Maclaurin Summation formula αφού από ένα σημείο και μετά οι προσθετέοι στα δεξιά θα είναι μηδέν. (η συνάρτηση που θα ολοκληρώνεται θα είναι πολυώνυμο.)

mathematica.gr

Άθροισμα

Άθροισμα

Re: Άθροισμα

Re: Άθροισμα