mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 26, 2013 4:02 pm**

Οι πραγματικοί αριθμοί x, y, a

είναι τέτοιοι ώστε
x + y = a

Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Ιαν 26, 2013 6:42 pm**

$\begin{array}{l} x + y = a\,\,\,\,\,\,\,:\left( 1 \right)\\ {x^3} + {y^3} = a\,\,\,:\left( 2 \right)\\ {x^5} + {y^5} = a\,\,\,\,:\left( 3 \right) \end{array}$
Μια απο τις δυνατές τιμες του α είναι το ${a_1} = 0$ ( π.χ. ${a_1} = 0$ , x = y = 0

)
Εστω $a \ne 0$ ,τότε έχουμε
$a = {x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)}$ $a = {a^3} - 3xya \Rightarrow xy = \frac{{{a^3} - a}}{{3a}}:\left( 4 \right)$ .

Ακόμη έχουμε ${\left( {x + y} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5} \Rightarrow$

$\Rightarrow {x^5} + {y^5} = {\left( {x + y} \right)^5} - 5xy\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 10{\left( {xy} \right)^2}\left( {x + y} \right) \Rightarrow$

$\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right),\left( 4 \right),} a = {a^5} - 5\frac{{{a^3} - a}}{{3a}}a - 10{\left( {\frac{{{a^3} - a}}{{3a}}} \right)^2}.a \Rightarrow$

$...\mathop \Rightarrow \limits^{a \ne 0} \left( {a = 1 \vee a = - 1 \vee a = 2 \vee a = - 2} \right)$

Εύκολα μπορεί να διαπιστωθέι ότι για κάθε μία απο τις παραπάνω τιμές του

υπάρχουν τιμές των x,y

ώστε να ισχύουν οι $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ Ετσι οι δυνατές τιμές του

είναι ${a_1} = 0,{a_2} = - 2,{a_3} = - 1,{a_4} = 1,{a_5} = 2$ .
Ν.Ζ.

mathematica.gr

Δυνατές τιμές του α

Δυνατές τιμές του α

Re: Δυνατές τιμές του α