mathematica.gr

Να βρείτε τα πρώτα 2016 ψηφία, μετά την υποδιαστολή, της δεκαδικής αναπαράσταση του αριθμού

.

Al.Koutsouridis έγραψε:Να βρείτε τα πρώτα 2016 ψηφία, μετά την υποδιαστολή, της δεκαδικής αναπαράσταση του αριθμού

.

Απάντηση στο ενδιαφέρον αυτό ερώτημα: Και τα ψηφία είναι εννιάρια.

Από το ανάπτυγμα του διωνύμου εύκολα βλέπουμε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος. Πράγματι α) οι συντελεστές στο ανάπτυγμα είναι ακέραιοι και β) οι μεν άρτιες δυνάμεις του είναι ακέραιες οι δε περιττές απλοποιούνται ανά ζεύγη ως αντίθετοι αριθμοί. Στον ισολογισμό μένει μόνο ένα άθροισμα ακεραίων.

Συμπεραίνουμε ότι ο ισούται με "ακέραιο πλην .

Όμως

οπότε , από όπου το ζητούμενο.

Ας βρεθεί και από πάσα εννιάρια ξεκινάει αυτός ο αριθμός. [Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής.]

Το αποσύρω προσωρινά γιατί έχω λογιστικό σφάλμα στις πράξεις (η μέθοδος σωστή) . Θα επανέλθω, αλλά υπομονή γιατί σήμερα έχω βαρύ πρόγραμμα.

Ζητώ συγνώμη για την ταλαιπωρία.

Επανέρχομαι αλλά με πιο προσεκτικό έλεγχο των πράξεων.

Demetres έγραψε:Ας βρεθεί και από πάσα εννιάρια ξεκινάει αυτός ο αριθμός. [Επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής.]

Καλό.

Θα δείξουμε ότι τα εννιάρια είναι (το ψηφίο στην θέση δεν είναι εννιάρι αλλά δεν ξέρω ποιο ακριβώς από τα ψηφία έως είναι τούτο).

Εύκολα βλέπουμε ότι . Για παράδειγμα το κομπιουτεράκι δείχνει αλλά μπορούμε και χωρίς κομπιουτεράκι να διαπιστώσουμε την ανισότητα με ύψωση στο τετράγωνο αφού πάμε το στο άλλο μέλος.

Άρα



Θα δείξουμε ότι



οπότε σε συνδυασμό την εκτίμηση στο προηγούμενο ποστ έχουμε, για κάποιον φυσικό ,



από όπου το ζητούμενο.

Μένει να δείξουμε τις οι οποίες ισοδυναμούν με



Κατά το κομπιουτεράκι μου η παραπάνω αληθεύει αφού γράφεται

(αληθής).

Ελπίζω αυτή την φορά να μην έκανα κάπου λάθος πράξεις. Όπως και να είναι, η διαδικασία φαίνεται σωστή και εύκολα προσαρμόζεται σε πιο προσεκτικές πράξεις, αν οι παραπάνω είναι λανθασμένες.

Ας προσθέσω ότι το κομπιουτεράκι δεν είναι απαραίτητο. Για παράδειγμα για τον λογάριθμο του που εμφανίζεται, μας χρειάζονται μόνον τα . Αυτά μπορούν να γίνουν με το χέρι, με πολύ μεγάλη ακρίβεια. Σύντομα θα αναρτήσω ένα άρθρο μου του (... σωστά διαβάσατε...) που είχα δημοσιεύσει στον Ευκλείδη Γ' , όπου περιέχει ιστορία ωραιότατων μεθόδων υπολογισμού λογαρίθμων μικρών ακεραίων.

Φιλικά,

Μιχάλης

Σωστά.

Αν θέλουμε να βρούμε και επόμενα ψηφία πάλι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε λογαρίθμους. Π.χ. η υπολογιστική μου, μου λέει ότι



Μπορώ λοιπόν να χρησιμοποιήσω ότι για να πάρω



Οπότε μετά τα εννιάρια το επόμενο ψηφίο είναι και το μεθεπόμενο . Το επόμενο είναι μεταξύ του με του και μπορεί να υπολογιστεί με τον ίδιο τρόπο.

Ευχαριστώ τους κ.Λάμπρου και Δημήτρη για την λύση και τις γενικεύσεις. Για την ιστορία να αναφέρω ότι το πρόβλημα είναι από την Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης(1963). Στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι περιττός μπορούμε να εραγστούμε με παρόμοιο τρόπο και να δείξουμε οτι τα πρώτα ψηφία μετα την υποδιαστολή είναι μηδενικά.