mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 3:08 pm**

Αν $a,b,c\in \mathbb N^*$ και $\displaystyle{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=abc}$ .Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{A=\sqrt{(a^2b^2+1)(b^2c^2+1)(c^2a^2+1)}}$ είναι ρητός

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Ιούλ 12, 2010 4:01 pm**

Είναι $\displaystyle {\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}=abc}\Leftrightarrow a^2b^2+1=\frac{c^2+ab+ac+bc}{c^{2}}$

Δουλεύοντας κυκλικά έχουμε: $\displaystyle a^2c^2+1=\frac{b^2+ab+ac+bc}{b^{2}}$ και $\displaystyle b^2c^2+1=\frac{a^2+ab+ac+bc}{a^{2}}$

Λόγω των παραπάνω σχέσεων και μετά απο πράξεις έχουμε:

$\displaystyle A=\sqrt{\frac{(a^2+ab+ac+bc)(b^2+ac+ab+cb)(c^2+ab+ac+bc)}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\frac{(a+b)^2(a+c)^2(b+c)^2}{a^2b^2c^2}}=\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{abc}\epsilon Q$

ΥΓ: Η Σταυρούλα πρόβαλε σθεναρή αντίσταση και με εμπόδιζε να βάλω λύση γιατί ήθελε να βάλει αυτή.Τελικά με άφησε

και της ζητώ συγγνώμη που έβαλα εγώ

mathematica.gr

A=ρητός

A=ρητός

Re: A=ρητός