mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 10:48 am**

Προτείνω ένα θέμα που δόθηκε τη δεύτερη μέρα του διαγωνισμού για την επιλογή της ομάδας που εκπροσώπησε τη Γαλλία στην ΙΜΟ 2004.
Όχι μόνο θα το λύσουν σύντομα κάποιοι , αλλά θα το γενικεύσουν επίσης.

Δεδομένου ενός θετικού ακεραίου

, έστω $a_{1},...,a_{n},b_{1},...,b_{n }$

θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $a_{1}+...+a_{n}=b_{1}+...+b_{n}=1$ .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της
$\frac{a_{1}^{2}}{a_{1}+b_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{a_{2}+b_{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{a_{n}+b_{n}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 11:14 am**

Πολύ απλό για τέτοιο επίπεδο.Είναι απλή C.S.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 11:26 am**

Πράγματι, από βασική μορφή της C.S (Andreescu) προκύπτει

$LHS\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)+(b_1+b_2+...+b_n)}$

άρα $LHS\geq \frac{1}{2}$
με την ισότητα για $a_1=a_2=...a_n=b_1=b_2=...b_n= \frac {1}{n}$

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 25, 2012 2:07 pm**

Τόσο εύκολο το θέμα?Σε εμάς τα παιδιά θα παρακαλάγανε για να μπεί κάτι τέτοιο για την πρόκριση στην ΙΜΟ

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Απρ 26, 2012 12:40 pm**

Να σκεφτείτε ότι και το 2000 στον αντίστοιχο διαγωνισμό για τη στελέχωση της γαλλικής ομάδας που πήγε στην ΙΜΟ εκείνης της χρονιάς έπεσε παρόμοιο θέμα. Δεν μετανιώνω που την έβαλα , πιστεύω ότι κάποιοι ωφελήθηκαν γιατί κατάλαβαν τι είναι εύκολο σ' αυτό το επίπεδο.

mathematica.gr

AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004

AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004

Re: AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004

Re: AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004

Re: AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004

Re: AΠΟ ΤΟ ΓΑΛΛΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΓΙΑ ΙΜΟ 2004