mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 08, 2012 1:00 am**

Να λυθεί το σύστημα
$5\left( {x + \frac{4}{x}} \right) = 12\left( {y + \frac{4}{y}} \right) = 13\left( {z + \frac{4}{z}} \right)$
xy + yz + zx = 4

$\left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right)$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 08, 2012 1:34 am**

nikoszan έγραψε:Να λυθεί το σύστημα
$5\left( {x + \frac{4}{x}} \right) = 12\left( {y + \frac{4}{y}} \right) = 13\left( {z + \frac{4}{z}} \right)$

$\left( {x,y,z \in \mathbb{R}} \right)$

Πρώτα βρίσκουμε τις λύσεις $\displaystyle{(x,y,z)}$ με $\displaystyle{x,y,z>0}$ (αφού, φανερά, τα $\displaystyle{x,y,z}$ είναι ομόσημα).

Θέτουμε

$\displaystyle{x=2\tan \frac{A}{2},y=2\tan \frac{B}{2},z=2\tan \frac{C}{2},}$ (**)

οπότε οι εξισώσεις γράφονται

$\displaystyle{\frac{1}{5}\frac{\tan \frac{A}{2}}{1+\tan \frac{A}{2}}=\frac{1}{12}\frac{\tan \frac{B}{2}}{1+\tan ^2\frac{B}{2}}=\frac{1}{13}\frac{\tan ^2\frac{C}{2}}{1+\tan ^2\frac{C}{2}}}$ (1)

$\displaystyle{\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1}$ (2).

Από τη δεύτερη προκύπτει ότι τα $\displaystyle{A,B,C}$ είναι γωνίες τριγώνου, ενώ από την (1) έχουμε

$\displaystyle{\frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{12}=\frac{\sin C}{13}.}$

Επειδή ισχύει $\displaystyle{5^2+12^2=13^2,}$ το $\displaystyle{\triangle ABC}$ είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{C=90^0,}$ οπότε $\displaystyle{\sin C=1,~ \sin A=\frac{5}{13},~ \sin B=\frac{12}{13}.}$

Με χρήση της $\displaystyle{\sin 2t=\frac{2\tan t}{1+\tan ^2t}}$ από τις (**) βρίσκουμε $\displaystyle{x=\frac{2}{5},y=\frac{4}{3},z=2.}$

Τότε, λύση είναι και η $\displaystyle{x=-\frac{2}{5},y=-\frac{4}{3},z=-2.}$

mathematica.gr

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ

Re: ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΠΟ ΒΙΕΤΝΑΜ