mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιαν 27, 2013 9:52 pm**

Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής 7m^2 − 11n^2

όπου

και

φυσικοί αριθμοί.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιαν 29, 2013 12:51 pm**

socrates έγραψε:Προσδιορίστε τους δύο μικρότερους φυσικούς αριθμούς της μορφής όπου και φυσικοί αριθμοί.

Θα αποδείξουμε ότι αν

και

είναι θετικοί ακέραιοι τότε οι δύο μικρότεροι θετικοί ακέραιοι της μορφής 7m^2 − 11n^2

είναι οι

και

Είναι $x^2\equiv 0,1,2,4\left(\mod7 \right)$ και $x^2\equiv 0,1,3,4,5,9\left(\mod11 \right)$ για κάθε $x\in\mathbb{Z}.$

Έστω m,n,k

θετικοί ακέραιοι ώστε 7m^2 − 11n^2=k.

Τότε $k\equiv 3n^2\left(\mod7 \right)$ οπότε $k\equiv 0,3,5,6\left(\mod 7\right)$ .
Επίσης $k\equiv 7m^2\left(\mod 11\right)$ οπότε $k\equiv 0,2,6,7,8,10\left(\mod 11\right)$ .

Άρα $k\neq 0,1,2,3,4,5,8,9,11,12$

Μια πρώτη πιθανή τιμή είναι το

Η εξίσωση