mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 11:19 am**

Για τους θετικούς αριθμούς $\displaystyle{a_1,a_2,...,a_q,b_1,b_2,...,b_p}$ ισχύει η σχέση

$\displaystyle{\sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+...+\sqrt[n]{a_q}=\sqrt[n]{b_1}+\sqrt[n]{b_2}+...+\sqrt[n]{b_p}}$ για άπειρες τιμές του

φυσικού αριθμού $\displaystyle{n}$

Να δειχθεί ότι

α) $\displaystyle{p=q}$ και

β) $\displaystyle{a_i=b_i}$ για κάθε $\displaystyle{i=1,2,...,p}$

Για το β) δεν έχω λύση

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 11:42 am**

(α) Παίρνοντας το όριο όταν το

τείνει στο άπειρο παίρνουμε p=q

. (Επειδή $x^{1/n} \to 1$ για

θετικό πραγματικό.)

(β) Ορίζουμε $x_i = \sqrt[p!]{a_i}$ και $y_i = \sqrt[p!]{b_i}$ . Παρατηρούμε τώρα ότι $\displaystyle{\sum_{i=1}^p x_i^k = \sum_{i=1}^p y_i^k}$ για κάθε $k=1,2,\ldots,p$ . Από τους τύπους του Νεύτωνα (δείτε εδώ) κάθε στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο στα x_i

ισούται με το αντίστοιχο στοιχειώδες συμμετρικό πολυώνυμο στα y_i

. Όμως τα στοιχειώδη συμμετρικά πολυώνυμα είναι ως προς το πρόσημο οι συντελεστές του πολυωνύμου $(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_p)$ . Επομένως $(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_p) = (x-y_1) \cdots (x-y_p)$ και άρα μετά ίσως από κάποια μετάθεση έχουμε x_i = y_i

για κάθε

. Το ζητούμενο έπεται.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 12:04 pm**

Δημήτρη,

Ὑπέθεσες ὅτι ἡ ἰσότης ἰσχύει διά κάθε

. Ὅμως ἰσχύει μόνο γιά ἄπειρες τιμές τοῦ

!

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 12:09 pm**

Ναι Γιώργο έχεις δίκιο. Δεν διάβασα προσεκτικά την άσκηση. Θα πρέπει να το ξανασκεφτώ.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 12:13 pm**

Πάντως μέ λίγη προσπάθεια διορθώνεται - Ἄν ἰσχύει γιά ἄπειρες τό πλῆθος τιμές ἰσχύει διά κάθε

φυσικό - Ἀκόμη καί διά κάθε

πραγματικό! (Ὑπόδειξη. Μιγαδική Ἀνάλυση.)

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 03, 2013 12:21 pm**

Ναι έχεις δίκιο! Με σωστή διατύπωση του identity theorem (όπου κοιτάμε μόνο αν οι συναρτήσεις συμφωνούν σε σύνολο που έχει σημείο συσσώρευσης) βγαίνει.

Σίγουρα όμως πρέπει να βγαίνει και διαφορετικά.

mathematica.gr

n-οστές ρίζες

n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες

Re: n-οστές ρίζες