mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 14, 2013 6:15 pm**

Συνεχίζω (με μια διόρθωση στην εκφώνηση...):

Πρόβλημα 12: Να βρείτε τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b

για τους οποίους ισχύει

$\displaystyle{\left[ {a\left[ {bn} \right]} \right] = n - 1}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Λύση: Από τη σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ προκύπτει ότι

$\displaystyle{a\left( {bn - 1} \right) - 1 < n - 1 \le abn}$

και άρα

$\displaystyle{ - 1 \le \left( {ab - 1} \right)n < a}$ $\bf \color{red} \left( 1 \right)$

για κάθε θετικό ακέραιο

.

Αν $\displaystyle{{ab - 1 > 0},}$ τότε η δεξιά ανισότητα στην $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ δεν ισχύει για $\displaystyle{n \ge \dfrac{a}{{ab - 1}}.}$

Αν $\displaystyle{{ab - 1 < 0},}$ τότε η αριστερή ανισότητα στην $\bf \color{red} \left( 1 \right)$ δεν ισχύει για $\displaystyle{n > \dfrac{1}{{1 - ab}}.}$

Επομένως, είναι $\displaystyle{ab = 1}$ και η σχέση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ είναι ισοδύναμη με τη διπλή ανισότητα:

$\displaystyle{a\left[ {bn} \right] - 1 < n - 1 \le a\left[ {bn} \right] \Leftrightarrow \left[ {bn} \right] - b < bn - b \le \left[ {bn} \right] \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow bn - b \le \left[ {bn} \right] < bn}$ $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ .

Η ανισότητα $\displaystyle{\left[ {bn} \right] < bn}$ είναι ισοδύναμη με το ότι για κάθε θετικό ακέραιο

, ο αριθμός $\displaystyle{bn}$ δεν είναι ακέραιος. Ισοδύναμα, ο αριθμός

είναι άρρητος, οπότε και ο

είναι άρρητος.

Θα αποδείξουμε ότι $\displaystyle{bn - b \le \left[ {bn} \right]}$ για κάθε θετικό ακέραιο

αν και μόνο αν $\displaystyle{b \ge 1.}$

Πράγματι, αν $\displaystyle{b \ge 1}$ , τότε

$\displaystyle{bn - b \le bn - 1 < \left[ {bn} \right].}$

Έστω τώρα ότι ο $\displaystyle{b \in \left( {0,1} \right)}$ είναι άρρητος. Θέτουμε $\displaystyle{n = \left[ {\frac{{2 - b}}{{1 - b}}} \right] = \left[ {\frac{1}{{1 - b}}} \right] + 1,}$ οπότε είναι:

$\displaystyle{\frac{1}{{1 - b}} - 1 < n - 1 < \frac{1}{{1 - b}} \Leftrightarrow 1 < n - nb < 2 - b}$

και άρα

$\displaystyle{bn - b > n - 2}$

και $\displaystyle{bn < n - 1,}$ οπότε

$\displaystyle{\left[ {bn} \right] \le n - 2.}$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για την παραπάνω επιλογή του

ισχύει $\displaystyle{bn - b > \left[ {bn} \right]}$ και άρα ότι, αν $\displaystyle{b \in \left( {0,1} \right)}$ , τότε η αριστερή ανισότητα στη σχέση $\bf \color{red} \left( 2 \right)$ δεν ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο

.

Ώστε, η απάντηση στο πρόβλημά μας είναι: $\displaystyle{a,b \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ και b>1

.

mathematica.gr

Βουλγάρικο Πρόβλημα 12

Βουλγάρικο Πρόβλημα 12