mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 16, 2013 11:03 am**

Πρόβλημα 19: Οι πραγματικοί αριθμοί a,b

ικανοποιούν τη σχέση $b^3 +b \le a - a^3$ . Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του a + b

.

Λύση: Θέτουμε $\displaystyle{\lambda : = a + b,}$ οπότε η δοσμένη σχέση γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{{b^3} + b \le a - {a^3} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + b - a \le 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - 3ab} \right] + b - a \le 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \lambda \left( {{\lambda ^2} - 3ab} \right) + b - a \le 0 \Leftrightarrow {\lambda ^3} - 3a\left( {\lambda - a} \right) + 2\lambda - a \le 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \Leftrightarrow \boxed{3\lambda {a^2} - \left( {3{\lambda ^2} + 2} \right)a + {\lambda ^3} + \lambda \le 0}}$ $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ .

Αναζητούμε τη μέγιστη τιμή του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\lambda }$ , ώστε η ανίσωση $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ να έχει λύση ως προς

. Αν $\displaystyle{\lambda = 0,}$ τότε η $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ επαληθεύεται για κάθε $\displaystyle{a \ge 0.}$ Υποθέτουμε ότι $\displaystyle{\lambda > 0,}$ οπότε η $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ είναι δευτέρου βαθμού ως προς

, με διακρίνουσα

$\displaystyle{\Delta = {\left( {3{\lambda ^2} + 2} \right)^2} - 12\lambda \left( {{\lambda ^3} + \lambda } \right) = 4 - 3{\lambda ^4}.}$

Θα πρέπει, λοιπόν, να ισχύει:

$\displaystyle{\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4 - 3{\lambda ^4} \ge 0 \Leftrightarrow \lambda \le \sqrt[4]{{\frac{4}{3}}},}$

με το ίσον να ισχύει όταν το

είναι η διπλή ρίζα της $\bf \color{red} \left( \bigstar \right)$ (για $\displaystyle{\lambda = \sqrt[4]{{\dfrac{4}{3}}}}$ ).

Επομένως, είναι $\displaystyle{{\boxed{\lambda _{\max } = \sqrt[4]{{\dfrac{4}{3}}}}}$ .

mathematica.gr

Βουλγάρικο Πρόβλημα 19

Βουλγάρικο Πρόβλημα 19