mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιούλ 16, 2013 6:32 pm**

Πρόβλημα:

Να βρεθεί το πλήθος λύσεων του συστήματος:
$\displaystyle \left(\Sigma \right): \begin{cases} x+y+z=3xy \\ x^2+y^2+z^2=3xz \\ x^3+y^3+z^3=3yz \end{cases}$

Λύση:
$\bullet$ Αν y=0

τότε είναι άμεσο πως x=z=0

και προκύπτει η λύση (x,y,z)=(0,0,0)

.
$\bullet$ Αν $y \neq 0$ τότε θέτουμε: $\displaystyle x=ay , z= by$ και το σύστημα γίνεται

$\displaystyle \begin{cases} ay+y+by=3ay^2 \\ a^2y^2+y^2+b^2y^2=3aby^2 \\ a^3y^3+y^3+b^3y^3=3by^2 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a+b+1=3ay \\ a^2+b^2+1=3ab \\ y\left(a^3+b^3+1 \right) =3b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a^2+b^2+1=3ab \\ \left(a+b+1 \right)\left(a^3+b^3+1 \right)=9ab \end{cases}$

Ωστόσο a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

και

επομένως θέτουμε και πάλι a+b=m,ab=n

και το σύστημα γίνεται:
$\displaystyle \begin{cases} \left(m+1 \right)\left(m^3-3mn+1 \right)=9n \\ m^2+1=5n \end{cases}$

Αντικαθιστώντας το

στην 1η σχέση λαμβάνουμε:
$\left(m+1 \right)\left(2m^3-3m+1 \right)=9m^2+9\Leftrightarrow \left(m-2 \right)\left(m^3+3m^2+1 \right)=0$

(*):

Η περίπτωση m=2

δίνει τη λύση (x,y,z)=(1,1,1)

.

Από τη μελέτη της συνάρτησης f(m)=m^3+3m^2+1

προκύπτει ότι υπάρχει μοναδική πραγματική ρίζα $x_0 \in (-4,-3)$ και έτσι το σύστημα: $\displaystyle \left(a+b=x_0 , 5ab=x_0^2+1 \right)$ έχει 2 λύσεις αφού η διακρίνουσα του $\displaystyle k^2-x_0k+\frac{x_0^2+1}{5}=0$ είναι $\displaystyle \frac{x_0^2-4}{5}$ και άρα θετική για $x_0 \in (-4,-3)$ . Συνεπώς έχουμε 2 λύσεις του αρχικού συστήματος σε αυτήν την περίπτωση.

Συνολικά λοιπόν έχουμε 4 λύσεις στους πραγματικούς.

mathematica.gr

Βουλγάρικο Πρόβλημα 1

Βουλγάρικο Πρόβλημα 1