Ανισότητα με κυβικές ρίζες
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 03, 2016 7:47 pm
Για όλους τους θετικούς πραγματικούς 
να αποδείξετε ότι
![\sqrt[3]{a(b+1)yz} +\sqrt[3]{b(c+1)zx} +\sqrt[3]{c(a+1)xy} \leq \sqrt[3]{(a+1) (b+1)(c+1)(x+1)(y+1)(z+1)}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/a21693f4fa347444fe536385bc0bbdb1.png "\sqrt[3]{a(b+1)yz} +\sqrt[3]{b(c+1)zx} +\sqrt[3]{c(a+1)xy} \leq \sqrt[3]{(a+1) (b+1)(c+1)(x+1)(y+1)(z+1)}")
να αποδείξετε ότιΘέτουμεsmar έγραψε:Για όλους τους θετικούς πραγματικούς
Αρκεί να δείξουμε ότι
![\displaystyle{\sqrt[3]{A(1-C)(1-X)YZ} +\sqrt[3]{(1-A)BX(1-Y)Z} +\sqrt[3]{(1-B)CXY(1-Z)} \leq 1}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d5a8ae88d5ea8ea13022d67b0e166aa3.png "\displaystyle{\sqrt[3]{A(1-C)(1-X)YZ} +\sqrt[3]{(1-A)BX(1-Y)Z} +\sqrt[3]{(1-B)CXY(1-Z)} \leq 1}}")
ή
![\displaystyle{\sqrt[3]{AZ(Y-CY)(1-X)} +\sqrt[3]{BX(Z-AZ)(1-Y)} +\sqrt[3]{CY(X-BX)(1-Z)} \leq 1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/af2f0a55a312616afa6b45006e262414.png "\displaystyle{\sqrt[3]{AZ(Y-CY)(1-X)} +\sqrt[3]{BX(Z-AZ)(1-Y)} +\sqrt[3]{CY(X-BX)(1-Z)} \leq 1}")
Από την ανισότητα Hölder αρκεί
![\displaystyle{\sqrt[3]{(AZ+BX+CY)(X+Y+Z-AZ-BX-CY)(3-X-Y-Z)}} \leq 1}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/492b3752ef354c0fca2901c7848776cf.png "\displaystyle{\sqrt[3]{(AZ+BX+CY)(X+Y+Z-AZ-BX-CY)(3-X-Y-Z)}} \leq 1}")
που είναι συνέπεια της ΑΜ-ΓΜ.