mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μάιος 15, 2016 4:52 pm**

Να λύσετε στους μη αρνητικούς ακεραίους την εξίσωση 2^x-1=xy

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2016 11:18 pm**

Προσπάθησα να κάνω αποδείξω με τη μέθοδο της επ΄ άπειρον καθόδου ότι η εξίσωση αυτή δεν έχει άλλες λύσεις
εκτός από την
α) x = 0

και

οποιοδήποτε φυσικό αριθμό και την
β) x = y =1

,
αλλά όπως μου υπέδειξαν οι Μ. Λάμπρου και Α. Συγκελάκης είχα λογικό σφάλμα.

Έτσι, υποδεικνύω τη λύση που υπάρχει στο βιβλίο του Waclaw Sierpinski "250 προβλήματα της Στοιχειώδους θεωρία Αριθμών",
πρόβλημα 1/25, σελίδα 27, πρόκειται για ακριβώς την ίδια διατύπωση.

Να αποδειχθεί ότι για ο αριθμός δεν είναι ακέραιος.

Ανδρέας Πούλος

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Μάιος 17, 2016 11:50 pm**

Για όσους δεν διαθέτουν το εξαιρετικό αυτό βιβλίο , αντιγράφω από εκεί την λύση.

Έστω n > 1

ακέραιος , και

ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του

. Έστω ακόμη

ο μικρότερος ακέραιος geq 1

για τον οποίο ισχύει $2^d\equiv 1 (mod p)$ . Από το θεώρημα του Fermat

, έχουμε $2^{p-1} \equiv 1(mod p )$ .

Όμως , αν $n \mid 2^n -1$ , τότε και $p \mid 2^n -1$ και άρα $2^n \equiv 1(mod p)$ .

Έχουμε , λοιπόν , $d \mid p-1$ και $d \mid n$ . Άρα , d<p

. Αυτό , όμως , από τον ορισμό του

σημαίνει ότι d=1

. Οπότε έχουμε

$2^1 \equiv 1(modp)$ από όπου $p\mid1$ και άρα p=1

που είναι άτοπο , αφού ο

είναι πρώτος.

Ώστε, δεν υπάρχουν ακέραιοι

ώστε $n \mid 2^n -1$ .

Φιλικά,
Ορέστης.

mathematica.gr

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

Re: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ