mathematica.gr

Έστω ABΓ ένα οξυγώνιο τρίγωνο και Δ,E,Ζ τα ίχνη των υψών από τις κορυφές A,B,Γ, στις απέναντι πλευρές αντίστοιχα. Έστω Κ,Λ,Σ τα ίχνη των καθέτων από τα A,B,Γ στις EΖ,ΖΔ,ΔE, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες AΚ,BΛ,ΓΣ είναι συντρέχουσες.

Αν είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε από το θεώρημα Nagel έχουμε
, και .

Η δική μου προσπάθεια , μη γνωρίζοντας το Θεώρημα του Nagel(!!) είναι με την ομοιοθεσία του κύκλου ΑΒΓ και του κύκλου ΔΕΖ με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο Η του τριγώνου ΑΒΓ.Βρίσκεται στο αρχείο Sketchpad4.
Γιάννης Μανίκας

Φέρνουμε την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στην κορυφή .
To είναι εγγράψιμο, άρα .
Ακόμα εγγεγραμμένη-αντίστοιχη χορδής και εφαπτομένης γωνία.
Άρα , οπότε η είναι παράλληλη της εφαπτομένης και
.

stranton έγραψε:Φέρνουμε την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στην κορυφή .
To είναι εγγράψιμο, άρα .
Ακόμα εγγεγραμμένη-αντίστοιχη χορδής και εφαπτομένης γωνία.
Άρα , οπότε η είναι παράλληλη της εφαπτομένης και
.

Aυτή η απόξειξη ισχύει επίσης για κάθε κύκλο χορδής , που τέμνει τις πλευρές του δοσμένου τριγώνου στα σημεία αντιστοίχως και τα οποία μπορεί επίσης να βρίσκονται στις προεκτάσεις των ως άνω πλευρών προς το μέρος του ή προς το μέρος των

Ισχύει πάντοτε και οι ευθείες ονομάζονται αντιπαράλληλες ευθείες, ως προς τη γωνία ( ως προς τις ευθείες της γωνίας ).

Κώστας Βήττας.