mathematica.gr

Δίνεται τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο και έστω μεταβλητό σημείο επί του τόξου , που δεν περιέχει τις αλλες κορυφές. Η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και έστω τα σημεία και Αποδείξτε ότι η ευθεία περνάει από σταθερό σημείο έστω επί της ευθείας

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Η ενδιάφέρουσα αυτή πρόταση, είναι δάνειο από το διαδίκτυο. ( 19/08/2014 - Συμπλήρωση υστερόγραφου : Βλέπε Εδώ ).

Θα δείξουμε ότι η είναι συμμετροδιάμεσος του τριγώνου . Προς τούτο, αρκεί να δείξουμε ότι διέρχεται από το σημείο τομής, έστω , των εφαπτόμενων του κύκλου στα σημεία και .

Αν είναι το σημείο τομής των και , τα σημεία είναι συνευθειακά. (θεώρημα του Pascal στο εξάγωνο ).

Θεωρούμε τον προβολικό μετασχηματισμό που στέλνει τον δοσμένο κύκλο σε κύκλο και την ευθεία στην ευθεία στο άπειρο. (είναι γνωστό ότι υπάρχει τέτοιος μετασχηματισμός αρκεί η ευθεία, όπως εδώ η , να μη τέμνει τον κύκλο).

Οι ευθείες που τέμνονται σε σημείο της ευθείας γίνονται παράλληλες (εδώ μας ενδιαφέρουν οι ευθείες , οι και πρωτίστως οι ), επομένως αρκεί να αποδείξουμε ότι η μετασχηματίζεται σε ευθεία παράλληλη με τις ευθείες στις οποίες μετασχηματίζονται οι εφαπτόμενες .

Επειδή, όμως, ο μετασχηματισμός είναι , οι μετασχηματίζονται σε εφαπτόμενες του νέου κύκλου, επομένως η μετασχηματίζεται σε διάμετρο, και έτσι αρκεί να αποδείξουμε ότι η μετασχηματίζεται σε ευθεία κάθετη σ’ αυτήν την διάμετρο.

Συμπληρώνουμε το νέο σχήμα και προκύπτει εδώ η πρόταση με το ορθογώνιο στο μήνυμα του Σωτήρη, ο οποίος παίρνοντας τον λόγο … τη σφάζει στο γόνατο(!!), και η απόδειξη έγινε.