mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Οκτ 10, 2012 2:39 pm**

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και έστω μεταβλητό σημείο επί της πλευρά του Επί των πλευρών $AC,\ AB,$ ορίζουμε τα σημεία $E,\ Z$ αντιστοίχως, ώστε η κάθε μία από τις ευθείες $DE,\ DZ$ να έχει γνωστή διεύθυνση. Αποδείξτε ότι η ευθεία όπου $P\equiv BE\cap CZ,$ περνάει από σταθερό σημείο.

Κώστας Βήττας.

: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).; f=112_t=31825.PNG (19 KiB) Προβλήθηκε 2344 φορές

ΥΓ. Ειναι η γενίκευση της πρότασης Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (3).

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 23, 2020 2:13 pm**

Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο

.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $P,\ Q$ , τα σημεία επί της ευθείας

ώστε να είναι $AP\parallel DF$ και $AQ\parallel DE$ και ας είναι

, το σημείο ώστε το APZQ

να είναι παραλληλόγραμμο.

Έστω τα σημεία $K\equiv DE\cap AP$ και $L\equiv DF\cap AQ$ και $R\equiv BK\cap PF$ και $S\equiv QK\cap PL$ .

Θεωρούμε τα τρίγωνα $\vartriangle KBQ,\ \vartriangle PFL$ , για τα οποία παρατηρούμε ότι $PK\cap BF\cap QL\equiv A$ και άρα τα τρίγωνα αυτά είναι προοπτικά και επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, έχουμε ότι τα σημεία $D\equiv BQ\cap FL$ και $R\equiv KB\cap PF$ και $S\equiv KQ\cap PL$ είναι συνευθειακά.

Ομοίως, τα τρίγωνα $\vartriangle BKE,\ \vartriangle FPC$ είναι επίσης προοπτικά, λόγω $BF\cap PK\cap EC\equiv A$ και επομένως, τα σημεία $D\equiv KE\cap PC$ και $R\equiv BK\cap FP$ και $T\equiv BE\cap FC$ είναι συνευθειακά.

: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).; f 112_t 31825(a).PNG (25.24 KiB) Προβλήθηκε 1964 φορές

$\bullet$ Οι ευθείες $DRS,\ DRT$ τώρα, ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως έχουμε ότι τα σημεία $D,\ R,\ S,\ T$ ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Στο παραλληλόγραμμο APZQ

θεωρούμε το σημείο

στο εσωτερικό του και από $DK\parallel AQ$ και $DL\parallel AP$ , σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί στο

(*), προκύπτει ότι τα σημεία $Z,\ D,$ και $S\equiv QK\cap PL$ είναι συνευθειακά.

Η μεταβλητή ευθεία

δηλαδή, περνάει από το σταθερό σημείο

, ως το συμμετρικό σημείο του

ως προς το μέσον του τμήματος

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

(*) Δείτε Εδώ .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. (18-02-2020) Δείτε και Εδώ την συζήτηση που έχει γίνει για το ίδιο πρόβλημα και δόθηκε μία εξαιρετική απόδειξη με αρμονικά συζυγή, από τον Δημήτρη Παπαδημητρίου.