mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 27, 2013 8:16 pm**

: ask214.png (11.22 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Έστω τετράγωνο ABCD

πλευράς

και το σημείο

που κινείται στην πλευρά

.

Το ημικύκλιο διαμέτρου

, που βρίσκεται στο εσωτερικό του τετραγώνου , τέμνει την

στο

.

Το ημικύκλιο διαμέτρου

, που βρίσκεται στο στο ημιεπεπίδο που ορίζουν οι

και το

, τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου

στο

.

α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του

.
β)Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Νοέμ 27, 2013 10:55 pm**

kostas_zervos έγραψε:Έστω τετράγωνο πλευράς και το σημείο που κινείται στην πλευρά .Το ημικύκλιο διαμέτρου , που βρίσκεται στο εσωτερικό του τετραγώνου , τέμνει την στο .Το ημικύκλιο διαμέτρου , που βρίσκεται στο στο ημιεπεπίδο που ορίζουν οι και το , τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου στο .
α)Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του .
β)Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του .

1) Έστω $\displaystyle{K}$ το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου $\displaystyle{MB}$ . Τότε είναι:

$\displaystyle{\angle ZDB\mathop = \limits^{\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\iota \delta \iota o\upsilon \,\,\pi \rho o\sigma \alpha \nu \alpha \tau o\lambda \iota \sigma \mu o\upsilon } \angle ZEM}$ $\displaystyle{\mathop = \limits^{MZEB\,\,\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu o\,\,\sigma \tau o\nu \,\,\left( K \right)} \angle ZBK\mathop = \limits^{\left( {KB} \right) = \left( {KZ} \right) = {R_K}} \angle KZB \Rightarrow KB,ZK}$

εφαπτόμενες του περικυκλίου του “τριγώνου” $\displaystyle{\vartriangle BZD}$ . Το κέντρο του περικυκλίου του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle BZD}$ είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου

της πλευράς του $\displaystyle{BD}$ (που είναι λόγω του τετραγώνου η διαγώνιός του $\displaystyle{AC}$ ) και της καθέτου στην εφαπτόμενη $\displaystyle{KB}$ στο σημείο $\displaystyle{B}$ που είναι η $\displaystyle{BC}$ .

Έτσι το κέντρο του περικυκλίου του τριγώνου $\displaystyle{\vartriangle BZD}$ είναι το σημείο $\displaystyle{C}$ και συνεπώς η $\displaystyle{CZ \bot KZ}$ (ακτίνα κάθετη στην εφαπτόμενη στο σημείο επαφής),

οπότε $\displaystyle{CZ}$ εφαπτόμενη του $\displaystyle{\left( K \right)\mathop \Rightarrow \limits^{CB\,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( K \right)} \left( {CZ} \right) = \left( {CB} \right) = a}$ .
[attachment=0]1.png[/attachment]
Έτσι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος θα είναι το τόξο $\displaystyle{BZ'}$ του κύκλου $\displaystyle{\left( {C,a} \right)}$ , όπου $\displaystyle{{Z'}}$ το σημείο επαφής της εκ του $\displaystyle{C}$ εφαπτόμενης στο

ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{AB\left( {Z' \ne B} \right)}$ (για $\displaystyle{M \equiv A}$ ).

2)Για τα σημεία $\displaystyle{A,Z,C}$ του επιπέδου ισχύει: $\displaystyle{\left( {AZ} \right) \geqslant \left| {\left( {AC} \right) - \left( {CZ} \right)} \right| = \left| {a\sqrt 2 - a} \right| = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \boxed{\min \left( {AZ} \right) = a\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}$

που επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{A,Z,C}$ συνευθειακά ή όταν $\displaystyle{ZK \bot AC \Leftrightarrow \angle ZBM = {22,5^0}}$ .

Στάθης

mathematica.gr

ΗΜΙΚΥΚΛΙΑ

ΗΜΙΚΥΚΛΙΑ

Re: ΗΜΙΚΥΚΛΙΑ