mathematica.gr

Μπορεί να έχω σκουριάσει πια στα Μαθηματικά, αλλά όχι τόσο ώστε να μην απολαμβάνω τις κατασκευές!

Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .

Επαναφέρω με μία βοήθεια, έκανα μια επεξεργασία και στα γράμματα (γιατί έδωσα λάθος βοήθεια στην αρχή):

Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε

Κώστας Παππέλης έγραψε: Κυρ Ιαν 10, 2016 6:12 pm Έστω παραλληλόγραμμο και ένα σημείο στο εσωτερικό του ώστε . Έστω ένα ακόμη σημείο στο εσωτερικό του ώστε και . Να αποδειχθεί ότι το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της .

Μία προσέγγιση με την υπόδειξη που δόθηκε:

Κώστας Παππέλης έγραψε: Πέμ Ιαν 21, 2016 1:07 am Θεωρούμε στο ημιεπίπεδο που ορίζει η και δε βρίσκονται οι άλλες δύο κορυφές σημείο ώστε

Εφόσον ισχύει άρα και από το παραλληλόγραμμο τα τετράπλευρα
και είναι παραλληλόγραμμα.

Επομένως και .

Άρα η σχέση μπορεί να γραφτεί ως:


Συνεπώς, από το αντίστροφο του θεωρήματος λαμβάνουμε ότι το τετράπλευρο είναι περιγγράψιμο, δηλαδή υπάρχει κύκλος τέτοιος ώστε να εφάπτεται και στις πλευρές του.

Είναι άρα .
Υποθέσαμε ότι το είναι τέτοιο ώστε Άρα πρέπει και
δηλαδή το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας

Παρόμοια, εφόσον ισχύει .
Όμως , άρα .
Έτσι, το ανήκει και στη διχοτόμο της γωνίας .

Συνεπώς το σημείο είναι το σημείο τομής διχοτόμων του περιγγράψιμου τετραπλεύρου
άρα το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του.

Επομένως το βρίσκεται πάνω στη διχοτόμο της γωνίας