mathematica.gr

Κλείνοντας δυο χρόνια εγγραφής στο μαθηματικά σήμερα, θα ήθελα να μοιραστώ μαζί σας ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα, αν δεν είναι ήδη γνωστό, που συνάντησα σε άρθρο του ρωσικού περιοδικού «Μαθηματική Εκπαίδευση» (σειρά 3, τεύχος 6, 2002) με συγγραφείς τους Λ.Α.Εμιλιάνοβ και Τ.Λ.Εμιλιάνοβα.


Θεώρημα. Δίνεται τρίγωνο και οι πόλοι του (*). Θα λέμε ότι το αντιστοιχεί στην κορυφή ή στo ζεύγος πλευρών και , το στη κορυφή και στην . Θεωρούμε τυχαίο σημείο της ευθείας και το ενώνουμε με τους πόλους . Οι ευθείες και τέμνουν τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα (βλέπε σχήμα). Τότε

α1) η ευθεία διέρχεται από τον πόλο
α2) τα σημεία είναι ίχνη σεβιανών του τριγώνου

β) ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου διέρχεται από το σημείο Feuerbach του τριγώνου


Οι συγγραφείς δίνουν κατασκευαστική απόδειξη κατά την πορεία του άρθρου, με βοηθητικά λήμματα, για τα ερωτήματα (α1), (α2) και καταφεύγουν στην αναλυτική γεωμετρία για την απόδειξη του (β). Όποιος θέλει μπορεί να βασανιστεί για την πλήρη γεωμετρική λύση.

(*) Πόλο μιας κορυφής (ή ζευγους πλευρών) ονομάζουν το σημείο τομής αντίστοιχων πλευρών του ορθικού τρίγώνου και του τριγώνου Gergonne.

Al.Koutsouridis έγραψε:Κλείνοντας δυο χρόνια εγγραφής στο μαθηματικά σήμερα...

Να τα χιλιάσεις!!! Πάντα Γερός, Δυνατός και Δημιουργικός!!!

Καλησπέρα!
Παραθέτω μία λύση για τα πρώτα δύο υποερωτήματα και μία ημιτελή προσπάθεια για το 3ο υποερώτημα ελπίζοντας ότι θα βρεθεί κάποιος να βοηθήσει.

Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Για να αποδείχθεί αυτό αρκεί να δείξουμε ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά ως προς άξονα.
Από Desargues , αρκεί αυτά να είναι προοπτικά ως προς κέντρο ,ή ισοδύναμα οι ευθείες να τέμνονται επι της .
Αυτό όμως προκύπτει εύκολα με χρήση του θεωρήματος του Μενελάου.
Συγκεκριμένα θεωρούμε . Τότε από Μενέλαο :
. To όμως είναι το αρμονικό συζυγές του και το το αρμονικό συζυγές του οπότε
που ισοδυναμεί με τα σημεία να είναι συνευθειακά. Συνεπώς τα είναι συνευθειακά.
Από Θ. Pascal τώρα στις συνευθειακές τριάδες και προκύπτει ότι .
(Το το θεωρήσαμε τυχαίο σημείο της ενώ τα είναι τα σημεία τομής των με τις πλευρές του τριγώνου ).


Αυτό το υποερώτημα προκύπτει εύκολα με χρήση του πρώτου , καθώς και χρήση του θεωρήματος του Μενελάου. Κάνουμε χρήση αυτού ως εξής:
1)Τρίγωνο - τέμνουσα .

2)Τρίγωνο - τέμνουσα .

Οπότε προκύπτει'Ομοια το εφαρμόζουμε και για τα σημείαοπότε προκύπτει

Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω σχέσεων προκύπτει το ζητούμενο (από Ceva).

Για το τρίτο υποερώτημα θα γράψω μία σκέψη που έκανα ελπίζοντας ότι οδηγεί σε λύση.
Θα αποδείξουμε την ακόλουθη γενικότερη πρόταση :
Έστω τρίγωνο, το ορθικό του τρίγωνοκαι τυχαίο σημείοστην ευθεία.
Ορίζουμετα σημεία τομής των με την και με την .
Όπως και στο αρχικό πρόβλημα ορίζουμε τα σημεία . Αποδεικνύεται τότε ότι ο περιγεγραμμένος του τέμνει τον περίκυκλο του ορθικού σε σταθερό σημείο . (αν το σημείοανήκει στηντότε στα τρίγωνα που ορίσαμε περιλαμβάνεται και αυτό που ορίζεται από τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου με τις πλευρές οπότε τοθα συμπίπτει σε αυτή την περίπτωση με το σημείο Feuerbach)

Για να αποδείξουμε αυτή την πρόταση θα στηριχθούμε στα εξής λήμματα :

Λήμμα 1: 'Εστω τρίγωνοκαι τυχαία σημείαστις πλευρέςαντίστοιχα. Έστω σημείοστηνκαι σημείακαι. Έστωτα σημεία τομής του περίκυκλου του με τις .Τότε οισυντρέχουν στον περίκυκλο του .

Απόδειξη: Έστωτο σημείο τομής τηςμε τον περίκυκλο του. Τότε από το θεώρημα pascal τα σημεία τομής τωνμε την,με τηνκαιμε την,προκύπτει ότισυνευθειακά. Ομοίωςσυνευθειακά και έτσι έχουμε το ζητούμενο. Λήμμα 2(χωρίς απόδειξη ) : Θεωρούμε τρίγωνοκαι τα μέσα των πλευρών του.Θεωρούμείχνη σεβιανών στις πλευρές του τριγώνου .Τότε υπάρχει κωνική που διέρχεται από ταοι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνωνκαιτέμνονται επί αυτής.

Προχωρώντας στην απόδειξη της πρότασης , θεωρούμε τα μέσα των. Από το λήμμα 1 οιτέμνονται στον κύκλο του Euler ,έστω στο.
Τα σημείαείναι συνευθειακά οπότε ταανήκουν σε κωνική (από το αντίστροφο του Pascal).
Ομοίως και ταανήκουν σε κωνική .
Από το Λήμμα 2 έπεται ότι ο περιγεγραμμένος τουδιέρχεται από το το οποίο δίνει το συμπέρασμα που θέλαμε.

Για το β) που από ότι βλέπω έμεινε...
Καθώς το κινείται πάνω στην ορίζει ίσους διπλούς λόγους με το στην αφού συνδέονται μέσω προβολής ως προς τον πόλο .Άρα η τομή των ,έστω ,η οποία βρίσκεται και στην ,κινείται πάνω σε κωνική.Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η κωνική περνάει από τα άρα είναι η υπερβολή του .Από εδώ το ζητούμενο έπεται από ένα (γνωστό) λήμμα που οφείλεται στον :
Αν ο σεβιανός κύκλος σημείου ως προς το ,τότε αυτός ο κύκλος περνάει από το κέντρο της υπερβολής .Παραθέτω μια απόδειξη που έχω υπόψη μου που βασίζεται σε 3 επιπλέον (κάποια γνωστά) λήμματα:
1.Ο ισογώνιος μετασχηματισμός ως προς τρίγωνο στέλνει περιγεγραμμένες κωνικές του τριγώνου σε ευθείες
Απόδειξη:Στα γρήγορα,εδώ(το αντίστροφο) :viewtopic.php?f=178&t=62253&p=306081#p306081 .
2.Αν ο ποδικός κύκλος σημείου ως προς το ,τότε αυτός ο κύκλος περνάει από το κέντρο της υπερβολής .
Απόδειξη(χωρίς σχήμα):Αν πάρουμε το ισογώνιο του ,έστω είναι γνωστό ότι έχει τον ίδιο ποδικό κύκλο.Το τώρα διαγράφει ευθεία από το 1.Επιπλέον,αυτή η ευθεία περνάει από το περίκεντρο του τριγώνου,αφού είναι ισογώνια υπερβολής που περνάει από το ορθόκεντρο του τριγώνου.Από το 2ο θεώρημα του λοιπόν,οι ποδικοί κύκλοι των (άρα και των ) τέμνονται πάνω στον κύκλο του του σε σημείο .Στέλνοντας το στο άπειρο (από τις δύο μεριές της υπερβολής),ο ποδικός κύκλος γίνεται ασύμπτωτος ευθεία,άρα τελικά το είναι το κέντρο της υπερβολής. 3.Έστω τρίγωνα και .Αν τα και τα είναι προοπτικά ζεύγη τριγώνων,τότε τα βρίσκονται σε κωνική,με τα αντίστοιχα κέντρα προοπτικότητας.(και αντίστροφα).

Απόδειξη:Δείχνουμε το αντίστροφο,αφού λόγω μοναδικότητας (έχει μερικές λεπτομέρειες το επιχείρημα) αν ισχύει το αντίστροφο ισχύει και το ευθύ.Αλλάζουμε τη διαδικασία:Επιλέγουμε σημείο στην κωνική,έπειτα ορίζουμε ως την τομή και κωνικής και ως την τομή και κωνικής.Καθώς κινείται το επί της κωνικής,επειδή οι περνούν από σταθερό σημείο ,οι σημειοσειρές βρίσκονται σε ενέλιξη (ενέλιξη σε κωνική,πχ.θεώρημα 1.5 εδώ -ή μάλλον το αντίστροφό του https://www.google.com/url?sa=t&source= ... BS1VOwzYU0 ) και άρα έχουν ίσους διπλούς λόγους.Άρα είναι προβολική σύνδεση.Ομοίως και η είναι προβολική σύνδεση.Άρα και η είναι προβολική σύνδεση.Με απλό τσεκάρισμα θέσης(για ) οι περνούν από το δηλαδή τα 3 ζεύγη είναι συζυγή σε ενέλιξη.Λόγω του ότι οι σημειοσειρές διαγράφουν ίσους διπλούς λόγους,είναι τελικά συζυγή της ίδιας ενέλιξης (το ορίζεται μονοσήμαντα ώστε να έχουμε ισότητα διπλών λόγων ως η τομή και κωνικής).Άρα τελικά επίσης συνευθειακά.Μένει να δειχθεί η προοπτικότητα των .Αν οριστεί η τομή και κωνικής (καθώς κινείται το ),λόγω του σταθερού τα βρίσκονται σε ενέλιξη δηλαδή διαγράφουν ίσους διπλούς λόγους.Όμοια,αν οριστεί η τομή και κωνικής και και κωνικής αντίστοιχα, και επειδή τα διαγράφουν ίσους διπλούς λόγους από τα παραπάνω,τα διαγράφουν και αυτά ίσους διπλούς λόγους.Θέλουμε να δείξουμε ότι ταυτίζονται αυτά τα 3 σημεία,οπότε αρκεί να δειχτεί ότι ταυτίζονται για 3 θέσεις,αφού μετά κατασκευάζονται μονοσήμαντα οι υπόλοιπες θέσεις ώστε κάθε τετράδα να έχει ίσο διπλό λόγο με τις άλλες.Με απλό έλεγχο θέσης (για ) κάτι τέτοιο συμβαίνει,πράγμα που αποδεικνύει και το τρίτο λήμμα. Για να δειχθεί η αρχική πρόταση του ,παίρνουμε τα παράκεντρα του σεβιανού του (),έστω .Από το τρίτο λήμμα,τα βρίσκονται στην ίδια κωνική,όπου το ορθόκεντρο του .Από το δεύτερο λήμμα,το κέντρο της κωνικής βρίσκεται πάνω στο ποδικό του ως προς το ,δηλαδή πάνω στον και η αρχική πρόταση δείχτηκε.
Για το πρόβλημα τώρα,έχουμε πως οι σεβιανοί κύκλοι σημείων επί της υπερβολής του τέμνουν τον κύκλο του στο κέντρο της υπερβολής αυτής.Αν πάρουμε το σημείο του τριγώνου,το οποίο βρίσκεται πάνω σε αυτή την υπερβολή,ο σεβιανός του κύκλος (ο εγγεγραμμένος) τέμνει (εφάπτεται) στον κύκλο του στο σημείο του πράγμα που αποδεικνύει και το αρχικό ζητούμενο.
(Σημ.Το λήμμα 2 αν και ίσως να μην είναι απαραίτητο σημείο για κάποια λύση,ουσιαστικά δείχνει πως ο ποδικός κύκλος σημείου πάνω στην υπερβολή του έχει και αυτός την ίδια ιδιότητα με τον σεβιανό κλπ...)

Τώρα που το θυμήθηκα....Από τα παραπάνω έπεται και το εξής (δύσκολο/σχετικά γνωστό λήμμα):Ο ποδικός και ο σεβιανός κύκλος οποιουδήποτε σημείου ως προς τρίγωνο ,τέμνονται πάνω στον κύκλο Euler του τριγώνου.Κάνοντας χρήση του σημείου https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry ... oint.shtml το κοινό σημείο είναι το σημείο του

Βάζω μια απόδειξη για το Λήμμα του Πάνου η οποία όμως βασίζεται σε (πολλά) λήμματα (γνωστά) για τις κωνικές.
Καταλήγω να χρησιμοποιώ ουσιαστικά και Λήμματα της προηγούμενης ανάρτησης (άρα κάνω κύκλους ).
Παρ'όλα αυτά το αγνοώ αυτό και επιλέγω άλλο δρόμο,ίσα ίσα για να υπάρχουν κι εδώ κάποια γνωστά αποτελέσματα από τη θεωρία των κωνικών.(Πέραν αυτού το Λήμμα ίσως είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μπορεί να σταθεί κι από μόνο του ως πρόβλημα).
Δείχνω,με βάση την προηγούμενη ανάρτηση,πως το κοινό σημείο είναι το κέντρο της ισοσκελούς υπερβολής που περνάει από τα ( ορθόκεντρο, σημείο σύγκλισης ). Αρχικά είναι γνωστό λήμμα πως οι 6 κορυφές 2 σεβιανών τριγώνων ως προς τρίγωνο βρίσκονται σε κωνική (η απόδειξη π.χ. με Pascal).Άρα τα βρίσκονται όντως σε κωνική.
Από το Λήμμα 3 της προηγούμενης ανάρτησης,το ένα εκ των 2 κοινών σημείων του σεβιανού κύκλου του με τον κύκλο του Euler είναι το κέντρο της παραπάνω Υπερβολής.
Συνεπώς αρκεί το κέντρο αυτό να βρίσκεται πάνω στην .
Για να το δείξω αυτό παίρνω σημείο πάνω στην και πολικότητα ως προς την υπερβολή .
Από γνωστό Λήμμα,αφού το διαγράφει κωνική,η πολική του θα περιγράφει κωνική.(παραλείπω προς το παρόν την απόδειξη...-παρ'όλα αυτά πρόκειται ουσιαστικά για τη λεγόμενη Δυϊκότητα).
Από γνωστό Λήμμα (βλέπε εδώ με ενελίξεις viewtopic.php?f=185&t=64289&p=310906#p310906) η πολική του ως προς την υπερβολή είναι η (και κυκλικά τα υπόλοιπα) και του η .
Άρα στο περίβλημμα των πολικών του (αφού περνάει από αυτά τα σημεία) θα περιέχονται και οι .
Αυτό σημαίνει πως η Δυϊκή καμπύλη (κωνική) της εφάπτεται στις παραπάνω πλευρές.
Θέλω να δείξω πως καθώς κινείται το περνάει από το κέντρο της υπερβολής ή ισοδύναμα πως η πολική του σε κάποια στιγμή γίνεται η ευθεία στο άπειρο.Αυτό θα σήμαινε πως η δυϊκή καμπύλη αγγίζει την ευθεία στο άπειρο σε ένα ακριβώς σημείο.
Άρα θέλω να δείξω πως η Δυϊκή καμπύλη είναι παραβολή .
Άρα θέλω να δείξω πως υπάρχει εγγεγραμμένη παραβολή στις .
Μια εγγεγραμμένη κωνική χρειάζεται 5 ευθείες για να οριστεί.Μια παραβολή συγκεκριμένα,χρειάζεται 4 (η μια είναι η ευθεία στο άπειρο).
Άρα παίρνω την (μοναδική) παραβολή που εφάπτεται στις και ελπίζω να δείξω πως εφάπτεται και στις .
Εναλλακτικά,αρκεί να δείξω πως οι μοναδικές παραβολές που εφάπτονται σε τετράδες από τα παραπάνω τμήματα ταυτίζονται (είναι μια).
Για να οριστεί μια παραβολή αρκεί να δοθεί η εστία της και η διευθετούσα της.
Ισχύει το εξής λήμμα:
Η εστία εγγεγραμμένης παραβολής σε τετράπλευρο ταυτίζεται με το σημείο Miquel του και η διευθετούσα της με την ευθεία Steiner του.
(δεν είναι δύσκολο/αποδεικνύεται και με την οπτική ιδιότητα της παραβολής).
Άρα αρκεί να δειχθεί πως όλα τα πιθανά (πλήρη) τετράπλευρα που δημιουργούνται από τις έχουν το ίδιο σημείο Miquel και την ίδια ευθεία Steiner.
Για το σημείο Miquel ουσιαστικά δείχτηκε εδώ viewtopic.php?f=185&t=64522 ενώ με λίγη σκέψη,λόγω της ταύτισης του σημείου Miquel ταυτίζονται και οι ευθείες του Steiner.
Έτσι,το λήμμα δείχτηκε...
Σημ.Φυσικά αντιστρέφοντας τη διαδικασία παίρνουμε άλλη μια απόδειξη για το "Λήμμα με Miquel"

Ελπίζω σύντομα να βρω λίγο παραπάνω χρόνο να μελετήσω τις λύσεις του min##. Δεν μου είναι και εύκολο να τις παρακολουθήσω.

Μεχρί τότε, πληροφοριακά να προσθέσω για όποιον ενδιαφέρεται, ότι μια γεωμετρική απόδειξη υπάρχει σε μεταγενέστερο τεύχος (2005) του περιοδικού. Στο άρθρο με θέμα "Σχετικά με τους περιγεγραμμένους κύκλους σεβιανών και ποδικών τριγών και μερικών καμπυλών που σχετίζονται με το τρίγωνο" , Kulanin σελ. 164-182.

Μια ακόμα,πιο elementary λύση στο αρχικό :
(Ουσιαστικά απαιτείται η πρόταση του σε συνδυασμό με το θεώρημα Fontene για τους ποδικούς κύκλους(βλ.πρώτη ανάρτηση).
Η παρακάτω απόδειξη έχει το πλεονέκτημα (πέραν του "originality"-παρότι βασίζεται και αυτή σε κάποιες γνωστές προτάσεις δεν τις έχω δει να συνδυάζονται με αυτόν τον τρόπο) ότι χρησιμοποιεί σχεδόν απλά μέσα (με εξαίρεση το θ.Fontene που προαναφέρθηκε και ένα λήμμα που θα δειχτεί σε επόμενη ανάρτηση)
Πρόταση():
Ο ποδικός και ο σεβιανός κύκλος σημείου ως προς τρίγωνο τέμνονται στον κύκλο του .
Απόδειξη:
Αρχίζουμε ως εξής.Έστω τα συμμετρικά του ως προς τις και τα συμμετρικά του ως προς τα μέσα των .
Προφανώς οι είναι ομοκυκλικές τετράδες.
ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ 1.
Οι τρεις παραπάνω κύκλοι τέμνονται σε κοινό σημείο.
Απόδειξη:Έστω η τομή των .
Δείχνουμε ότι ανήκει και στον .
Πράγματι είναι

και ο ισχυρισμός έπεται.

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ 2.
εγγράψιμα
Απόδειξη:(μόνο για το πρώτο-το δεύτερο όμοια)
Ισχύει .
Το τελευταίο φαίνεται εύκολα πως είναι ίσο με (μην ξεχνάμε άλλωστε πως το είναι ομοιόθετο του ποδικού του ..).

Από τον ΙΣΧΥΡΙΣΜΟ 2. και με ομοιοθεσία κέντρου το μέσο του ανήκει τόσο στον ποδικό κύκλο του όσο και στον κύκλο του .
Σκοπός μας πλέον είναι να δείξουμε ότι το μέσο του ανήκει και στον σεβιανό (έστω ) του ή εναλλακτικά πως ο ομοιόθετος του σεβιανού του με ομοιοθεσία κέντρου /λόγου (έστω ) περνάει από το . Έπειτα από αντιστροφή κέντρου και τυχαίας δύναμης,το τελευταίο μετατρέπεται στο ισοδύναμο (δε βάζω τόνους στα αντίστροφα για ευνόητους λόγους):
Τρίγωνο με σημείο εντός του.
τα κέντρα των .Αυτό μπορούμε να το δούμε ως εξής:Το ήταν το αντίστροφο του ως προς τον .Συνεπώς,επειδή η αντιστροφή (κέντρου ) διατηρεί τα αντίστροφα σημεία ως προς κάποιον άλλο κύκλο,το θα γίνει το αντίστροφο σημείου στο άπειρο (αντίστροφο του ) ως προς τον δηλαδή θα γίνει το κέντρο του κλπ.
οι δεύτερες τομές των , , και τα μέσα των .
η κοινή τομή .
Ζητούμενο:Θέμε εγγράψιμο.

Αρχικά παρατηρούμε τις καθετότητες .
Προεκτείνοντας λοιπόν τις φτιάχνουμε από τις τομές τους το DEF(βλ. σχήμα 2).
Ισχύουν οι προφανείς παραλληλίες .
Έτσι (με τη χρήση Θ.Θαλή) συμπεραίνουμε πως τα είναι τα μέσα των .
Μπορούμε πλέον να επαναδιατυπώσουμε το πρόβλημα ως εξής:
Τρίγωνο DEF με σημείο που κινείται σε σταθερή ευθεία που περνάει από το περίκεντρο του DEF (σημαντικό).
τα μέσα των .
το ποδικό του ως προς DEF.
το τρίγωνο που σχηματίζεται απ'τις τομές των κύκλων
η κοινή τομή .
Ζητούμενο:Θέμε εγγράψιμο.

Αντιστρέφουμε τη διαδικασία:
Εντοπίζουμε την τομή και δείχνουμε ότι ανήκει στους . ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ 3α.
Οι συμμετρικές της ως προς τις ,έστω συντρέχουν στον σε σημείο .
Απόδειξη:Παραλείπεται ως απλή (πάρτε τα συμμετρικά του ορθοκέντρου του ως προς τις πλευρές).
ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ 3β.
Το σημείο είναι κοινό σημείο των .
Απόδειξη:Θα ακολουθήσει σε επόμενη ανάρτηση για να μη βαραίνει το πράμα.
Παρατηρούμε τώρα ότι οι περνούν από τα αντίστοιχα λόγω συμμετρίας(σχήμα 3).
Αρκεί να δείξουμε πως πχ. εγγράψιμο και θα έχουμε τελειώσει.
Όμως και και η απόδειξη έχει γίνει.

Ας αποδείξουμε και τον τελευταίο ισχυρισμό (επειδή επιπλέον τον χρειάζομαι και σε άλλα topics ): Λήμμα 1.
Η ευθεία (και οι κυκλικές της),όπου περνάει από σταθερό σημείο.
Απόδειξη:
Έστω η προβολή του στην .
Προφανώς το ανήκει τόσο στον ,όσο και στον .
Έτσι το είναι το σημείο του και λόγω αυτόυ ανήκει και στους .
Καθώς τώρα το κινείται πάνω στην ευθεία που περνάει από το ,από Σπειροειδή ομοιότητα η σχέση είναι προβολική ως στροφή κατά σταθερή γωνία.
Οι σχέσεις είναι επίσης προβολικές ως προβολές σε σταθερή ευθεία.
Τελικά το κινείται προβολικά (γραμμικά) ως προς .Όταν μάλιστα το πάει στο άπειρο,τα 2 σημεία ταυτίζονται και άρα η σχέση τους είναι προοπτική,δηλαδή η διέρχεται από σταθερό σημείο,το οποίο προσδιορίζεται με 2 τσεκαρίσματα: Λήμμα 2.Το σταθερό σημείο είναι το σημείο .
Ελέγχουμε τις περιπτώσεις όπου το βρίσκεται στις πλευρές .
Έστω πχ. πως το βρίσκεται στην (ταυτίζεται με το ).
Ας είναι η προβολή του στην , η τομή .
Παρατηρούμε αρχικά πως το είναι αντιδιαμετρικό του στον .
Από αυτό έπεται πως η είναι κάθετη στην ή κατόπιν συμμετρίας προς την ότι το συμμετρικό του προς αυτήν είναι το .
Εμείς φυσικά θέμε συνευθειακά.
Παίρνοντας συμμετρία προς την αρκεί συνευθειακά με το συμμετρικό του .
Με ένα στους λαμβάνουμε πως η τομή της με τον κύκλο βρίσκεται στην εκ του παράλληλη προς την () και λόγω μονοσήμαντου ταυτίζεται με το κλπ.

Τέλος,από θεώρημα Fontene το σημείο που ορίστηκε από τα παραπάνω Λήμματα ως η τομή (και των κυκλικών τους) ανήκει στον .
The end

Σημ.Η παραπάνω απόδειξη της πρότασης θα μπορούσε να συντομευτεί αρκετά,αλλά τότε θα γινόταν υπερβολικά πυκνή (και γενικά μη στοιχειώδης) οπότε προτίμησα τον πιο "επίπονο" αλλά σίγουρο δρόμο.
Σημ.2.Για παράδειγμα το Λήμμα 1 γενικεύεται (και αποδεικνύεται) απευθείας με Προβολική και χωρίς ομοιότητες/στροφές..