mathematica.gr

Σε κάθε τρίγωνο αποδείξτε ότι το έγκεντρο το βαρύκεντρο και το σημείο Nagel , ανήκουν στην ίδια ευθεία και ότι .

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Το Σημείο Nagel ενός τριγώνου, είναι το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες που συνδέουν κάθε κορυφή του, με το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου κύκλου στην απέναντι πλευρά ( ).

Εστω τα σημεια επαφης των παραγγεγραμμενων ,που αντιστοιχουν στις κορυφες , στις πλευρες αντιστοιχως. Εστω ο εγγεγραμμενος κυκλος του , το κεντρο του και τα σημεια επαφης του με τις .

Ειναι γνωστο οτι τα ειναι τα συμμετρικα των ως προς τα μεσα των πλευρων , που ονομαζω αντιστοιχως. Ακομα αν τοτε ξερουμε οτι αντιδιαμετρικο του .

Εχουμε λοιπον οτι αρα και ομοιως . Ακομα .
Αρα τα τριγωνα και ειναι ομοια αφου οι πλευρες τους ανα δυο ειναι παραλληλες.

Απο τις αναλογιες παιρνουμε:

Εστω και

Τοτε

Αρα , βαρυκεντρο και .

Απο την ασκηση βγαινει ενα ακομα συμπερασμα:
Εφοσον

τοτε .

Το έγκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι το σημείο Nagel του τριγώνου ΚΛΜ των μέσων των πλευρών του ΑΒΓ.
Λόγω της ομοιοθεσίας λόγου 1/2 και κέντρου G, προκύπτει το ζητούμενο.