mathematica.gr

Καλησπέρα σε όλους.

Θα ήθελα να ζητήσω την βοήθεια σας, σχετικά με τα Διακριτά Μαθηματικά.

Τα θέματα:
1. Να σχεδιάσετε ένα συνεκτικό γράφημα με μονοπάτι Euler.
2. Να βρείτε τη γεννήτρια συνάρτηση της ακολουθίας: 1,5,10,10,5,1,0,0,...
3. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια πενταμελής επιτροπή με Πρόεδρο, Αντιπρόεδρο και τρία ισότιμα μέλη από 50 φοιτητές ?
4. Να λύσετε τη διοφανικτή εξίσωση : και την γραμμική ισοτιμία : .
5. Να υπολογίσετε τα πεπερασμένα αθροίσματα: και .

6. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ομάδα n ατόμων, υπάρχουν τουλάχιστον 2 άτομα που έχουν τον ίδιο αριθμό φίλων μέσα στην ομάδα αυτή.
Υποθέτουμε ότι ο x είναι φίλος του y, τότε και ο y είναι φίλος του x.
7. Ποίος είναι ο συντελεστής του όρου στο ανάπτυγμα του ?


Επειδή δυσκολεύομαι να τα κατανοήσω, θα προτιμούσα οι λύσεις σας να είναι αναλυτικές, έτσι ώστε να με βοηθήσετε περαιτέρω.

Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων.

Ακριβώς τα ίδια που γράφω εδώ εφαρμόζονται και σε αυτήν την περίπτωση.

Π.χ. για την (1) γνωρίζεις τι είναι συνεκτικό γράφημα και τι είναι γράφημα Euler; Αν ναι τότε είναι αρκετά απλή. Αν όχι πρέπει να κοιτάξεις τις σημειώσεις σου. Αν τις κοιτάξεις και έχεις μπερδευτεί με κάποιον από τους ορισμούς τότε να βοηθήσουμε.

Demetres έγραψε:Ακριβώς τα ίδια που γράφω εδώ εφαρμόζονται και σε αυτήν την περίπτωση.

Π.χ. για την (1) γνωρίζεις τι είναι συνεκτικό γράφημα και τι είναι γράφημα Euler; Αν ναι τότε είναι αρκετά απλή. Αν όχι πρέπει να κοιτάξεις τις σημειώσεις σου. Αν τις κοιτάξεις και έχεις μπερδευτεί με κάποιον από τους ορισμούς τότε να βοηθήσουμε.

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

Δυστυχώς αλλά δεν είμαι σε θέση να ξεχωρίσω και να καταλάβω, ποίο είναι γράφημα Euler, και ποίο είναι συνεκτικό γράφημα.
Επίσης, ποία είναι η διαφορά ενός γραφήματος να έχει μονοπάτι Euler και να μην έχει κύκλωμα Euler. Ή το αντίστροφο.

Θα έλεγα ότι είμαι κάτι παραπάνω από μπερδεμένος.

Υπάρχουν ορισμοί και παραδείγματα π.χ. στο δωρεάν βιβλίο που βρίσκεται εδώ (στα αγγλικά).

Πάντως αν μπορείτε και έχετε χρόνο, προσπαθήστε να δώσετε λύση για κανένα θέμα.
Έχω μπερδευτεί και όσο συνεχίζω να διαβάζω το σύγγραμμα του C.L.LIU, τόσο περισσότερο μπερδεύομαι.

Μόνο με αναλυτική λύση, μπορώ να καταλάβω και να συγκρίνω τι δεν καταλαβαίνω.

@Demetres ,
Κύριε Δημήτρη, γνωρίζετε πως πρέπει να σκεφτώ έτσι ώστε να λύσω τα ερωτήματα 1,2,4,5 ?
Δηλαδή, πως λύνονται?

Το πιο βασικό για τις (1)-(2) είναι να μάθεις τους ορισμούς. Για τις (3)-(7) δες τα παραδείγματα που έχετε κάνει στην τάξη. Δεν μπορώ να φανταστώ ότι δεν έχετε δει πως να λύνετε την διοφαντική εξίσωση και σας το έβαλε ουρανοκατέβατο.

Διάβασε τις σημειώσεις σου, και αν έχεις απορία σε συγκεκριμένο σημείο που δεν καταλαβαίνεις την διαδικασία πολύ ευχαρίστως να βοηθήσουμε. Αλλά να σου δώσουμε τις απαντήσεις στα θέματα, τουλάχιστον εγώ δεν πρόκειται να το κάνω. Δεν θα σου προσφέρει καμία βοήθεια εκτός από το να παρουσιάσεις λυμένο κάτι που δεν είναι καθόλου δικό σου.

Demetres έγραψε:Το πιο βασικό για τις (1)-(2) είναι να μάθεις τους ορισμούς. Για τις (3)-(7) δες τα παραδείγματα που έχετε κάνει στην τάξη. Δεν μπορώ να φανταστώ ότι δεν έχετε δει πως να λύνετε την διοφαντική εξίσωση και σας το έβαλε ουρανοκατέβατο.

Διάβασε τις σημειώσεις σου, και αν έχεις απορία σε συγκεκριμένο σημείο που δεν καταλαβαίνεις την διαδικασία πολύ ευχαρίστως να βοηθήσουμε. Αλλά να σου δώσουμε τις απαντήσεις στα θέματα, τουλάχιστον εγώ δεν πρόκειται να το κάνω. Δεν θα σου προσφέρει καμία βοήθεια εκτός από το να παρουσιάσεις λυμένο κάτι που δεν είναι καθόλου δικό σου.

Δεν τίθεται θέμα παρουσίασης ή κάτι άλλο. Εγώ να καταλάβω θέλω. Άλλωστε, σας ζήτησα την βοήθεια σας, λόγω του γεγονότος ότι, έχω μπερδευτεί και δεύτερον, ότι πλησιάζει η εξεταστική.
Όσον αφορά τις διοφαντικές εξισώσεις, θα ψάξω περαιτέρω.
Σχετικά με το (5) , πώς σκέφτομαι όμως ? Έχω απορία γιατί δεν μπορώ να καταλάβω την διαδικασία επίλυσης, ή αν θέλετε τον τρόπο σκέψης για την επίλυση.

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας, σχετικά με το (1) και (2) .

Για παράδειγμα, εδώ έχουμε ένα γράφημα Euler, και ένα συνεκτικό γράφημα.
Έχω διαβάσει τόσα αρχεία και ορισμούς και δεν είμαι σε θέση να τα ξεχωρίσω.
Το θέμα, είναι ότι ποίο είναι το γράφημα euler και ποίο το συνεκτικό γράφημα?

Συνεκτικό γράφημα : όλα τα σημεία συνδέονται με όλα.
Ορισμοί:
1) Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν υπάρχει ένα μονοπάτι μεταξύ κάθε δύο κορυφών.
2) Ένα κατευθυνόμενο γράφημα ονομάζεται συνεκτικό αν το μη κατευθυνόμενο γράφημα που προκύπτει από αυτό όταν δεν ληφθούν υπ’ όψιν οι κατευθύνσεις των ακμών είναι συνεκτικό.
3) Σε ένα γράφημα ορίζουμε ως μονοπάτι Euler ένα μονοπάτι το οποίο διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Αν κατάλαβα καλά, από τον μπακαλίστικο τρόπο και τους 3 επίσημους ορισμούς, το συνεκτικό γράφημα είναι το (II), σωστά ή όχι
Παρόλα αυτά, αν η τελευταία κορυφή συμπίπτει με την πρώτη τότε λέμε ότι έχουμε κύκλο , άρα τελικά το γράφημα (II) , είναι κύκλος Euler?

Η μήπως το ούτε το 1, ούτε το 2, δεν είναι Euler?

Αν μπορεί κάποιος να βοηθήσει, με απλά λόγια, θα το εκτιμούσα, γιατί έχω μπερδευτεί.

Και τα δύο γραφήματα είναι συνεκτικά. [Συνεκτικό σημαίνει για κάθε δύο κορυφές να μπορείς να βρεις μονοπάτι που να σε πηγαίνει από την μία στην άλλη.]

Το δεύτερο γράφημα όντως είναι/έχει κύκλο Euler. Το πρώτο έχει μόνο μονοπάτι Euler αλλά όχι κύκλο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Demetres έγραψε:Και τα δύο γραφήματα είναι συνεκτικά. [Συνεκτικό σημαίνει για κάθε δύο κορυφές να μπορείς να βρεις μονοπάτι που να σε πηγαίνει από την μία στην άλλη.]

Το δεύτερο γράφημα όντως είναι/έχει κύκλο Euler. Το πρώτο έχει μόνο μονοπάτι Euler αλλά όχι κύκλο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Σίγουρα το (ΙΙ) γράφημα έχει κύκλο Euler?
Γιατί μου είπανε, συζητώντας με άλλους συμφοιτητές μου ότι στο ΙΙ, δεν έχουμε Euler.

Και πως το 1ο γράφημα είναι συνεκτικό, αφού 2 κορυφές δεν συνδέονται, ή δεν είναι απαραίτητο ?

Ellas95 έγραψε:

Demetres έγραψε:Και τα δύο γραφήματα είναι συνεκτικά. [Συνεκτικό σημαίνει για κάθε δύο κορυφές να μπορείς να βρεις μονοπάτι που να σε πηγαίνει από την μία στην άλλη.]

Το δεύτερο γράφημα όντως είναι/έχει κύκλο Euler. Το πρώτο έχει μόνο μονοπάτι Euler αλλά όχι κύκλο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Σίγουρα το (ΙΙ) γράφημα έχει κύκλο Euler?
Γιατί μου είπανε, συζητώντας με άλλους συμφοιτητές μου ότι στο ΙΙ, δεν έχουμε Euler.

Και πως το 1ο γράφημα είναι συνεκτικό, αφού 2 κορυφές δεν συνδέονται, ή δεν είναι απαραίτητο ?

Άλλο το συνεκτικό, άλλο το πλήρες. Στο πλήρες θέλεις κάθε για δύο κορυφές να υπάρχει ακμή μεταξύ τους. Στο συνεκτικό θέλεις απλώς να υπάρχει ένα μονοπάτι.

Το (ΙΙ) έχει όντως κύκλο Euler. Σκέψου ότι θες να το σχεδιάσεις με μια μονοκοντυλιά η οποία θα τελειώνει από εκεί που άρχισες. Είναι εύκολο να δεις πως γίνεται.

Υπάρχει επίσης και θεώρημα που λέει ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και κάθε κορυφή του έχει άρτιο βαθμό. [Εδώ έχουμε ήδη πει πως είναι συνεκτικό. Επίσης όλες οι κορυφές έχουν βαθμό 2.]

Στο γράφημα (ΙΙ), δεν θα έπρεπε όλε οι κορυφές να συνδέονται για να έχουμε Euler ?

H θα πρέπει να έχω στο νου μου, την μονοκοντυλιά ?
Το γνωρίζω το θεώρημα που είπατε, αλλά τι εννοείτε ότι οι κορυφές έχουν βαθμό 2 ?
===========================================================================
Γράφημα (ΙΙΙ)


Για παράδειγμα το γράφημα ΙΙΙ, είναι συνεκτικό γράφημα με μονοπάτι Euler?
Σωστά ?


Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για την βοήθεια σας!
Το εκτιμώ!

Ο βαθμός μιας κορυφής είναι ο αριθμός των ακμών στις οποίες ανήκει. Π.χ. στο γράφημα ΙΙΙ που σχεδιάσεις κάθε κορυφή έχει βαθμό 4. Το γράφημα είναι και συνεκτικό και έχει κύκλο Euler.

Α μάλιστα κατάλαβα.

Τώρα όσον αφορά, το γράφημα (ΙΙΙ), απαντάει στο θέμα 1 ?

Γιατί ναι μεν είναι συνεκτικό, αλλά είναι κύκλος Euler. Εμείς θέλουμε συνεκτικό με μονοπάτι Euler.
Άρα θα βασιστώ στο θεώρημα, και θα προσπαθήσω να έχω κορυφές με περιττό αριθμό ακμών για να έχω μονοπάτι Euler ?

Γράφημα IV:


Άρα τώρα, έχω συνεκτικό γράφημα με μονοπάτι Euler? Σωστά?
Αφού έχω, κορυφές με περιττό βαθμό, δηλαδή περιττό αριθμό ακμών.

Σωστά ή κάνω λάθος?
Και επομένως, το γράφημα IV είναι πιο ορθό σε σχέση με το ΙΙΙ, για το ΘΕΜΑ (1) και καλύπτει το θέμα αυτό πλήρως ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Όμως κύκλος Euler, δεν είναι και όταν περιέχει και μονοπάτι Euler σύμφωνα με τον ορισμό ?
Οπότε το γράφημα 3 και 4, είναι παρόμοια? Ή δεν ισχύει κάτι τέτοιο?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Όχι. Για το μονοπάτι Euler το θεώρημα λέει ότι όλες οι κορυφές εκτός από το πολύ 2 έχουν άρτιο βαθμό Στο τελευταίο σου γράφημα έχεις 4 κορυφές με περιττό βαθμό.

[Για το μονοπάτι Euler πρέπει να μπορείς να το ζωγραφίσεις με μια μονοκοντυλιά, χωρίς απαραίτητα να πρέπει να τελειώσεις εκεί που άρχισες. Στο τελευταίο σου γράφημα όσο και να προσπαθήσεις δεν θα τα καταφέρεις.]

Demetres έγραψε:Όχι. Για το μονοπάτι Euler το θεώρημα λέει ότι όλες οι κορυφές εκτός από το πολύ 2 έχουν άρτιο βαθμό Στο τελευταίο σου γράφημα έχεις 4 κορυφές με περιττό βαθμό.

[Για το μονοπάτι Euler πρέπει να μπορείς να το ζωγραφίσεις με μια μονοκοντυλιά, χωρίς απαραίτητα να πρέπει να τελειώσεις εκεί που άρχισες. Στο τελευταίο σου γράφημα όσο και να προσπαθήσεις δεν θα τα καταφέρεις.]

Άρα από τα 4 γραφήματα , μόνο το 1ο γράφημα απαντάει στο ΘΕΜΑ 1 ορθά ή όχι?
Διότι είπατε για το 1ο γράφημα ότι είναι και συνεκτικό , αλλά και με μονοπάτι Euler.

Δεν θα έπρεπε όμως στο γράφημα 1, να συνδέονται όλες οι κορυφές μεταξύ τους για να έχουμε Euler?
=================================================================================================================================
Οι απαντήσεις σας και το μεράκι σας ομολογώ, ότι με βοηθήσανε να καταλάβω αρκετά και κυρίως να αντιμετωπίσω την σύγχυση που επικρατούσε στο κεφάλι μου.

hint για το 5: Παίξε με τη σχέση (παραγώγισε ή/και πολλαπλασίασε με κάτι και στο τέλος θέσε όπου κάτι άλλο ώστε να βγει στο ένα μέλος αυτό που ψάχνεις και στο άλλο κάτι σε κλειστή μορφή).

Nick1990 έγραψε:hint για το 5: Παίξε με τη σχέση (παραγώγισε ή/και πολλαπλασίασε με κάτι και στο τέλος θέσε όπου κάτι άλλο ώστε να βγει στο ένα μέλος αυτό που ψάχνεις και στο άλλο κάτι σε κλειστή μορφή).

ok θα το προσπαθήσω.Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση. Τώρα παλεύω ακόμα με τα γραφήματα.
Σχετικά με το θέμα 2, πώς πρέπει να σκεφτώ για να βρω την γεννήτρια συνάρτηση ?

Σας ευχαριστώ.

@Demetres




Αυτά τα 4 νέα γραφήματα "υπακούν " στην μονοκοντυλιά.

Demetres έγραψε: όλες οι κορυφές εκτός από το πολύ 2 έχουν άρτιο βαθμό.

Αυτό που είπατε δεν μπορώ να το καταλάβω.

Ερώτηση 1 ) Από αυτά τα 4 νέα γραφήματα (5,6,7,8), απαντάει κανένα ορθά στο ΘΕΜΑ 1 , δηλαδή έχουμε συνεκτικό γράφημα με μονοπάτι Euler?
Ερώτηση 2 ) Το γράφημα Ι , είπατε ότι είναι συνεκτικό με μονοπάτι Euler.Άρα απαντάει ορθά στο ΘΕΜΑ 1 ?

Πάντως, Ικανή και Αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα συνεκτικό γράφημα, γράφημα Euler, πρέπει d(v)= άριος , για κάθε κορυφή v ανήκει V.
Επομένως, ναι μεν το γράφημα 1 είναι συνεκτικό αλλά δεν είναι γράφημα Euler.


Απαντήστε μου αν θέλετε ξεχωριστά για την κάθε ερώτηση για να μην γίνει σύγχυση .