mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Ιουν 11, 2013 11:32 pm**

Οι εξετάσεις επαναλήφθηκαν λόγω διαρροής των θεμάτων εδώ.

1. Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{\frac{\eta \mu 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }=\varepsilon \phi \frac{\alpha }{2}}$ .

2. Σε ένα κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.

3.α. Αν $\displaystyle{z\ne -1+0i}$ και $\displaystyle{z\ne 1+0i}$ , δείξτε ότι :
i) Όταν $\left| z \right|=1$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{z-1}{z+1}}$ είναι καθαρός φανταστικός.
ii) Όταν ο αριθμός $\displaystyle{\frac{z-1}{z+1}}$ είναι καθαρός φανταστικός τότε $\left| z \right|=1$ .
β. Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού $z=-\sigma \upsilon \nu \theta +i\eta \mu \theta$ .

4.α. Έστω $\displaystyle{V}$ ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $\displaystyle{K}$ . Αν $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι διανυσματικοί υπόχωροι του $\displaystyle{V}$ ,
να δείξετε ότι το σύνολο $A\cap B$ δεν είναι το κενό και μάλιστα είναι υπόχωρος του $\displaystyle{ V}$ .
β. Αν $\displaystyle{x,y,z}$ είναι τρία γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου,
να δείξετε ότι και τα στοιχεία $\displaystyle{x, y-x, z-x}$ είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα .

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 9:09 pm**

parmenides51 έγραψε:

4.α. Έστω $\displaystyle{V}$ ένας διανυσματικός χώρος πάνω στο σώμα $\displaystyle{K}$ . Αν $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι διανυσματικοί υπόχωροι του $\displaystyle{V}$ ,
να δείξετε ότι το σύνολο $A\cap B$ δεν είναι το κενό και μάλιστα είναι υπόχωρος του $\displaystyle{ V}$ .
β. Αν $\displaystyle{x,y,z}$ είναι τρία γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου,
να δείξετε ότι και τα στοιχεία $\displaystyle{x, y-x, z-x}$ είναι επίσης γραμμικώς ανεξάρτητα .

Καλησπέρα.

α)Εφόσον τα σύνολα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι διανυσματικοί υπόχωροι του $\displaystyle{V}$ , έπεται ότι

$\displaystyle{\left(\vec{0}\in A\ \land\, \vec{0}\in B\right)\Rightarrow \vec{0}\in A\cap B\Rightarrow A\cap B\neq \varnothing}$

Έστω $\displaystyle{x,y\in A\cap B}$ και $\displaystyle{m,k\in K}$ .Τότε θα ισχύει,

$\displaystyle{\left(mx+ky\in A\ \land\,mx+ky\in B\right)\Rightarrow mx+ky\in A\cap B}$ , γεγονός που αποδεικνύει ότι το σύνολο

$\displaystyle{A\cap B}$ είναι διανυσματικός υπόχωρος του $\displaystyle{V}$ .

β)Έστω $\displaystyle{a,b,c\in K}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{ax+b(y-x)+c(z-x)=0}$ .Συνεπώς,

$\displaystyle{\left(a-b-c\right)x+by+cz=0}$ .

Επειδή τα στοιχεία $\displaystyle{x,y,z}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, έχουμε ότι

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} a-b-c=0\\ 0a+b-0c=0\\ 0a+0b+c=0 \end{matrix}\Leftrightarrow a=b=c=0}$

και άρα τα στοιχεία $\displaystyle{x\,,y-x\,,z-x}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 9:23 pm**

parmenides51 έγραψε:

1. Να δειχθεί η ισότητα $\displaystyle{\frac{\eta \mu 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }=\varepsilon \phi \frac{\alpha }{2}}$ .

Είναι,

$\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\eta \mu\, 2\alpha }{1+\sigma \upsilon \nu\, 2\alpha }\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu\, \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu \alpha }&=\frac{ \eta \mu\, 2\alpha }{2 \sigma \upsilon \nu ^2\, \alpha}\cdot \frac{\sigma \upsilon \nu\, \alpha }{1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha }\\&=\frac{2 \eta \mu\, \alpha \cdot \sigma \upsilon \nu^2\, \alpha}{2 \sigma \upsilon \nu ^2\, \alpha\cdot \left(1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha\right)}\\&=\frac{\eta \mu\, \alpha}{1+\sigma \upsilon \nu\, \alpha}\\&=\frac{2 \eta \mu\, \frac{\alpha}{2}\cdot \sigma \upsilon \nu\, \frac{\alpha}{2}}{2 \sigma \upsilon \nu^2\, \frac{\alpha}{2}}\\&=\frac{\eta \mu\, \frac{\alpha}{2}}{\sigma \upsilon \nu\, \frac{\alpha}{2}}\\&=\varepsilon \phi\, \frac{\alpha}{2}\end{aligned}}$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 9:50 pm**

3.α. Αν $\displaystyle{z\ne -1+0i}$ και $\displaystyle{z\ne 1+0i}$ , δείξτε ότι :
i) Όταν $\left| z \right|=1$ τότε ο αριθμός $\displaystyle{\frac{z-1}{z+1}}$ είναι καθαρός φανταστικός.
ii) Όταν ο αριθμός $\displaystyle{\frac{z-1}{z+1}}$ είναι καθαρός φανταστικός τότε $\left| z \right|=1$ .
β. Να βρείτε το μέτρο και το όρισμα του μιγαδικού $z=-\sigma \upsilon \nu \theta +i\eta \mu \theta$ .

α. i) Αν $\left| z \right| = 1 \Leftrightarrow z\bar z = 1 \Leftrightarrow \bar z = \frac{1}{z}$

$\displaystyle\overline {\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right)} = \frac{{\bar z - 1}}{{\bar z + 1}} = \frac{{\frac{1}{z} - 1}}{{\frac{1}{z} + 1}} = \frac{{1 - z}}{{z + 1}} = - \frac{{z - 1}}{{z + 1}}$

Άρα $\displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} \in I$

ii) Αν $\displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} \in I$ τότε:

$\displaystyle\frac{{z - 1}}{{z + 1}} = - \overline {\left( {\frac{{z - 1}}{{z + 1}}} \right)} \Rightarrow \frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{1 - \bar z}}{{\bar z + 1}} \Leftrightarrow z\bar z + z - \bar z - 1 = z - z\bar z + 1 - \bar z \Rightarrow$

$2z\bar z = 2 \Rightarrow \left| z \right| = 1$

β) Είναι $\left| z \right| = \sqrt {\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta + \eta {\mu ^2}\theta } \Rightarrow \left| z \right| = 1$

$z = - \sigma \upsilon \nu \theta + i\eta \mu \theta \Rightarrow z = \left| z \right|\left[ {\sigma \upsilon \nu \left( {\pi - \theta } \right) + i\eta \mu \left( {\pi - \theta } \right)} \right]$

Άρα $Arg(z) = \pi - \theta$

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 9:51 pm**

Δεν θα λύσω κάποιο θέμα. Άλλωστε είχα λύσει κάποια από αυτά τότε...
Αξίζει όμως να διαβάσει κανείς την παραπομπή και ξανά την παραπομπή του "Parmenides" ώστε να φτάσει στο σχόλιο του Γιώργου του Ρίζου.
Παθών και εγώ,βεβαίως.

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιουν 13, 2013 11:29 pm**

2. Σε ένα κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ να εγγραφεί κανονικό τρίγωνο (ισόπλευρο) και να υπολογιστεί η πλευρά και το απόστημά του από την ακτίνα του κύκλου.

Επειδή

,

διάμεσοι ισχύει ότι: $OK=\frac{R}{2}$
Επομενως $AK=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}$
Aρα στο τρίγωνο ABK

έχω ότι ημ60= $\frac{AK}{AB}\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3R}{2AB}\Rightarrow AB=\sqrt{3}R$
H πλευρά του τριγώνου είναι ίση με $\sqrt{3}R$ και το απόστημα ίσο με $\frac{R}{2}$

mathematica.gr

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1979 (επαναληπτικές)