Σελίδα 1 από 5

Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:00 am
από cretanman
Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:04 am
από Καρδαμίτσης Σπύρος
ξεκινάω με το δεύτερο θέμα

ΘΕΜΑ 2ο

Β1 Για \displaystyle{x \ne 1} έχουμε :

\displaystyle{ 
\frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2\sqrt {x^2  - x + 1}  - 1 - 1}}{{x - 1}} = \frac{{2(\sqrt {x^2  - x + 1}  - 1)}}{{x - 1}} =  
}
\displaystyle{ 
 = \frac{{2x(x - 1)}}{{(x - 1)(\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1)}} = \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1}} =  
}

επομένως

\displaystyle{ 
\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x}}{{\sqrt {x^2  - x + 1}  + 1}} = 1 
}

Β2 Για κάθε x πραγματικό αριθμό έχουμε:
\displaystyle{ f^{\prime}(x)} \displaystyle{ 
 = \frac{{2x - 1}}{{\sqrt {x^2  - x + 1} }} 
}
επομένως
\displaystyle{f^{\prime}(0)=  - 1}


Β3 Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον οριζόντιο άξονα έχουμε ότι εφω = - 1 δηλαδή ω = 135.

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:13 am
από rek2
Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:23 am
από Α.Κυριακόπουλος
rek2 έγραψε:Οι ορισμοί στο Α3 είναι οκ;
Η δική σου γνώμη ποια είναι;

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:23 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Το θέμα Γ μοιάζει με το θέμα που είχα βάλει εδώ (δείτε το θέμα 1) viewtopic.php?f=18&t=5806!!

Δίνω συνοπτικές λύσεις,

Γ1) Αρχικά η πρώτη κλάση είναι \displaystyle{ 
[0,c) 
} ενώ η δεύτερη κλάση είναι της μορφής \displaystyle{ 
[c,2c) 
} άρα \displaystyle{ 
\frac{{c + 2c}}{2} = 6 \Leftrightarrow 3c = 12 \Leftrightarrow c = 4 
}

οπότε κλάσεις είναι \displaystyle{ 
[0,4),\left[ {4,8} \right),\left[ {8,12} \right),\left[ {12,16} \right),\left[ {16,20} \right) 
} και τα κέντρα των κλάσεων είναι: \displaystyle{ 
2,6,10,14,18 
}

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:32 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:35 am
από ΓΙΑΝΝΗΣ ΒΕΝΙΕΡΗΣ
cretanman έγραψε:Μόλις δημοσιεύθηκαν τα θέματα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας τα οποία επισυνάπτω.

Καλά αποτελέσματα στους συμμετέχοντες!

Αλέξανδρος
Καμία σχέση πάντως με τα περσινά θέματα...!

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:41 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)
Γ4) Εδώ νομίζω ότι υπάρχει ένα θέμα από 7 που λέει η άσκηση έως 14 κιλά, αφού δεν λέει κάπου αν οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες, πάντως δίνουμε την απάντηση που ενδείκνεται,

από [4,6) έχουμε 20 παρατηρήσεις, και από [6,8) έχουμε άλλες 20 παρατηρήσεις, οπότε από [7,8) έχουμε 10 παρατηρήσεις, άρα συνολικά από 7 έως 14 κιλά έχουμε 10+45+ 30/2 =10+ 45 +15 =70 παρατηρήσεις

Επομένως η πιθανότητα είναι: 70/160 = 7/16 (από τον ορισμό της κλασσικής πιθανότητας, ευνοϊκές περιπτώσεις προς δυνατές περιπτώσεις)

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:43 am
από polysot
Στο Γ4 οι δυνατές περιπτώσεις είναι :
10 από τη δεύτερη κλάση
45 από την τρίτη
14 από την τέταρτη κλάση
70 σύνολο
άρα η πιθανότητα είναι 7/16

Με πρόλαβε ο Μάκης.
Πάντως Μάκη από τη σχετική παρατήρηση που έχει το βιβλίο σε παράδειγμα στη σελίδα 86 αφήνει να διαφανεί ότι μπορούμε να θεωρούμε ομοιόμορφα κατανεμημένες τις παρατηρήσεις στις κλάσεις...Δε δόθηκε διευκρίνιση;

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:46 am
από cretanman
Χωρίς να γνωρίζω τον τρόπο βαθμολόγησης του Δ1, εκτιμώ ότι η διαδικασία βαθμολόγησής του θα είναι αρκετά επίπονη διαδικασία όπου η ελλιπής δικαιολόγηση στα γραπτά κάποιων μαθητών θα δώσει διαφορετικούς τρόπους βαθμολόγησης από βαθμολογικό σε βαθμολογικό (εννοείται ότι τέτοιο ζήτημα δεν τίθεται για γραπτά που έχουν απαντημένο σωστά το ερώτημα).

Θα πρέπει λοιπόν να δωθούν πολύ συγκεκριμένες οδηγίες για τα παρακάτω βήματα: εύρεση παραγώγου, εύρεση ριζών, απόρριψη της μία ρίζας, πρόσημο του τριωνύμου λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη0\leq P(A) \leq 1 (εδώ κατά τη γνώμη μου θα πρέπει να δωθούν πολύ καλές διευκρινήσεις) και ΤΕΛΙΚΑ εύρεση της μονοτονίας και του ακροτάτου.

Αλέξανδρος

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:50 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Θέμα Δ
Δ1) Έχουμε, \displaystyle{ 
f'\left( x \right) = \frac{{\left( {1 - x + P\left( A \right)} \right)\left( {1 - P\left( A \right) + x} \right)}}{{x - P\left( A \right)}} 
} άρα η \displaystyle{ 
f'\left( x \right) > 0 
} όταν \displaystyle{ 
1 - x + P\left( A \right) > 0 \Leftrightarrow x < 1 + P(A) 
} και αν κάνουμε τον πίνακα μεταβολών βρίσκουμε ότι η f έχει ολικό μέγιστο στο σημείο χ = 1 + Ρ(Α), ενώ είναι γν. αύξουσα στο διάστημα ((Ρ(Α), 1+Ρ(Α)) και γν. φθίνουσα στο (1+Ρ(Α), \displaystyle{ + \infty })

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:55 am
από Gerasimos92
Μόλις επέστρεψα!

Καλά ήταν τα θέματα, λιγάκι πιο δύσκολα απο πέρσι.

Πιστεύω έγραψα πολύ καλά.

(βρήκα τα αποτελέσματα που βρήκατε και εσείς :D )

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:57 am
από swsto
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Γ2) Η μέση τιμή είναι:

\displaystyle{ 
\overline x  = \frac{{2 \cdot 20 + 6 \cdot 40 + 10 \cdot 45 + 14 \cdot 30 + 18 \cdot 25}}{{160}} = \frac{{1600}}{{160}} = 10 
}

ενώ η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)

ενώ η τυπική απόκλιση είναι: \displaystyle{ 
s = \sqrt {25}  = 5 
}

Γ3) Το δείγμα δεν είναι ομοιογενές αφού, \displaystyle{ 
CV = \frac{s}{{\overline x }} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{2} = 0,5 
} δηλαδή 50% (μεγαλύτερο του 10%)


Και με τον τυπο που δινανε δεν ειναι τοσο δυσκολα τα νουμερα

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 10:58 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Δ2) 'Εχουμε \displaystyle{ 
1 + P\left( A \right) = \frac{5}{3} \Leftrightarrow P\left( A \right) = \frac{2}{3} 
} και \displaystyle{ 
f\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0 
} άρα,

\displaystyle{ 
\ln \left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \right)^2  + P\left( B \right) = 0 \Leftrightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} 
}

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:03 am
από Μάκης Χατζόπουλος
Δ3) Έχουμε, \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime  } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} 
}

Δ4) Τέλος,
\displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} 
}

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:04 am
από Gerasimos92
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: η διακύμανση είναι: \displaystyle{ 
s^2  = \frac{{\left( {2 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {6 - 10} \right)^2  \cdot 40 + \left( {10 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {14 - 10} \right)^2  \cdot 20 + \left( {18 - 10} \right)^2  \cdot 20}}{{160}} = \frac{{4000}}{{160}} = 25 
} (εδώ έδιναν άλλο τύπο, που δεν ξέρω αν διευκολύνει τόσο στις πράξεις)
Και εγώ αυτόν τον τύπο χρησιμοποίησα!! Δεν πιστεύω να μου κόψει τίποτα...

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:09 am
από polysot
Εναλλακτικά
Δ4.
Λάθος στις πράξεις...

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:12 am
από antonisant1
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Δ3) Έχουμε, \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A\bigcap B } \right)^\prime  } \right) = 1 - P\left( {A\bigcap B } \right) = 1 - P\left( A \right) - P\left( B \right) + P\left( {A\bigcup B } \right) = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{3} 
}

Δ4) Τέλος,
\displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2 
} 
}

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:13 am
από lonis
Μάκη, σου έφυγε ένα δυαράκι, νομίζω! Το προσθέτω - με την άδειά σου :coolspeak: :
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε: \displaystyle{ 
P\left( {\left( {A - B} \right)\bigcup {\left( {B - A} \right)} } \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - 2P\left( {A\bigcap B } \right) = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2\frac{1}{3} = \frac{1}{2} 
}
Λεωνίδας

Re: Θεματα Γενικής 2010

Δημοσιεύτηκε: Δευ Μάιος 17, 2010 11:13 am
από gmouzou
προσοχη στο δ4 το σωστο αποτελεσμα είναι
1/2