mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 10, 2022 8:18 pm**

Τα θέματα:

https://www.minedu.gov.gr/publications/ ... 022_10.pdf

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Σεπ 01, 2023 8:01 pm**

Aς ξεκινήσουμε με το 4ο θέμα...

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση

με

$f\left ( x \right ) =\begin{cases}-x^{3}+3x+1 , -1\leq x\leq 0 \right ] \\ x^{x}, \displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}\end{cases}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η

είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0.$

MONAΔΕΣ 6

Δ2. i. Nα βρείτε τα κρίσιμα σημεία της

(μονάδες 3).

ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της

(μονάδες 5).

MONAΔΕΣ 8

Δ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle a, b \epsilon \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$ υπάρχει $\displaystyle\xi \epsilon \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$ τέτοιο

ώστε $\displaystyle f\left ( \xi \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

MONAΔΕΣ 5

Δ4. Nα αποδείξετε ότι $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{2}{e}}xf\left ( x \right )dx>\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}}-\left ( \frac{1}{e} \right )^{\frac{1}{e}}$

MONAΔΕΣ 6

ΛΥΣΗ

Δ1. $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x^{x}=\lim_{x\to0^{+}}\left ( e^{lnx} \right )^{x}=\lim_{x\to0^{+}}e^{lnx\cdot x}=e^{0}=1$

Φυσικά θεώρησα δεδομένο ότι $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ \left ( lnx\cdot x \right )=0$ , αυτό αποδεικνύεται με τον κανόνα De l' Hospital.

$\displaystyle{ \lim_{x\to0^{-}}f\left ( x \right )={ \lim_{x\to0^{-}}\left ( -x^{3}+3x+1 \right )=1$

'Αρα $\displaystyle{ \lim_{x\to0}f\left ( x \right )=1=f\left ( 0 \right )$

Έτσι η

είναι συνεχής στο $x_{0}=0.$

Θα εξεταστεί η παραγωγισιμότητα της

στο $x_{0}=0.$

$\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right )}{x-0}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{x}-1}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{xlnx}-1}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\left ( e^{xlnx}-1 \right )'}{\left ( x \right )'}=\lim_{x\to0^{+}}\left [ \left ( 1+lnx \right )e^{xlnx} \right ]=$

$\left [ 1+\left (-\infty \right ) \right ]\cdot e^{0}=-\infty$

Έτσι η

δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0.$

Δ2.

$f'\left ( x \right ) =\begin{cases}-3x^{2}+3 , -1\leq x< 0 \right ] \\ x^{x}\left ( 1+lnx \right ), \displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}\end{cases}$

Ένα κρίσιμο σημείο για την

είναι το $x_{0}=0.$

Θα βρεθούν τώρα οι ρίζες της f'.

Για $-1\leq x< 0$ έχω $f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow -3x^{2}+3=0\Leftrightarrow x=-1$ και x=1.

Φυσικά γίνεται δεκτή μόνο η τιμή x=-1.

Για $\displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}$ έχω

$\displaystyle f'\left ( x \right ) =0\Leftrightarrow x^{x}\left ( 1+lnx \right )=0\Leftrightarrow 1+lnx=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$

To $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{e}$ είναι κρίσιμο σημείο για την

Το

δεν είναι κρίσιμο σημείο της

, ως άκρο του διαστήματος $\displaystyle \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$

στο οποίο ορίζεται η

Aς δούμε και το πεδίο τιμών της

Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία του τριωνύμου δευτέρου βαθμού , ισχύει ότι

$-3x^{2}+3> 0$ για κάθε

με

Άρα $f'\left ( x \right )> 0$ για κάθε $x\epsilon \left ( -1,0 \right ).$

Aυτό σημαίνει ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left [ -1,0 \right ]$

$-1\leq x\leq 0\Rightarrow f\left ( -1 \right )\leq f\left ( x \right )\leq f\left ( 0 \right )\Rightarrow -1\leq f\left ( x \right )\leq 1$

Mπορεί να γραφεί ότι $\left [ -1,0 \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ]$

Aς δούμε τι γίνεται για τα

για τα οποία $\displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}$

Για αυτά ισχύει ότι $f'\left ( x \right )=x^{x}\left ( 1+lnx \right ).$

$\displaystyle f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$ όπως ήδη γράφηκε.

Ισχύει ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow 0< x< \frac{1}{e}$

και ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow \frac{1}{e}< x< \frac{2}{e}$

Έχουμε δει ότι $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ \left f\left (x \right ) =1$ και εύκολα βρίσκεται ότι

$\displaystyle (0,\frac{1}{e}]\rightarrow [e^{-\frac{1}{e}},1)$ και $\displaystyle \left [ \frac{1}{e},\frac{2}{e} \right ]\rightarrow \left [ e^{-\frac{1}{e}},\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}} \right ]$

Άρα $\displaystyle (0,\frac{2}{e}]\rightarrow [e^{-\frac{1}{e}},1)$

To ζητούμενο πεδίο τιμών, όπως εύκολα καταλαβαίνει κάποιος, είναι το $\left [ -1,1 \right ]$

Δ3.

Πριν γραφεί οτιδήποτε πρέπει να γραφεί ότι η ποσότητα

$\displaystyle \frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$ βρίσκεται μεταξύ των

$f\left ( a \right ),f\left ( b \right )$ όταν $f\left ( a \right )\neq f\left ( b \right )$

Διακρίνω περιπτώσεις:

1η περίπτωση: $f\left ( a \right )\neq f\left ( b \right )$

Οι συνθήκες του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών ικανοποιούνται.

Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f\left ( \xi \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

2η περίπτωση: $f\left ( a \right )= f\left ( b \right )$

Σε αυτήν την περίπτωση $\displaystyle f\left ( a \right )=f\left ( b \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

To ζητούμενο $\xi$ είναι το

και το

Δ4.

Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \left [ \frac{1}{e},\frac{2}{e} \right ]$ ισχύει ότι x> lnx+1.

Άρα ισχύει

$x^{^{x}}\cdot x> x^{^{x}}\cdot \left ( lnx+1 \right )\Rightarrow xf\left ( x \right )> x^{^{x}}\cdot \left ( lnx+1 \right )$

Συνεπώς $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{2e^{-1}}x\cdot f\left ( x \right )dx> \int_{e^{^{-1}}}^{2e^{-1}}x^{x}\left ( 1+lnx \right )dx\Rightarrow \int_{e^{-1}}^{2e^{-1}}x\cdot f\left ( x \right )dx>\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}}-\left ( \frac{1}{e} \right )^{\frac{1}{e}}$

Φυσικά για τον υπολογισμό του $\displaystyle\int_{e^{^{-1}}}^{2e^{-1}}x^{x}\left ( 1+lnx \right )dx$

ελήφθη υπ' όψιν

ότι $\left ( x^{x} \right )'=x^{x}\left ( 1+lnx \right )$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Σεπ 02, 2023 3:05 pm**

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 01, 2023 8:01 pm
Aς ξεκινήσουμε με το 4ο θέμα...

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται η συνάρτηση με

$f\left ( x \right ) =\begin{cases}-x^{3}+3x+1 , -1\leq x\leq 0 \right ] \\ x^{x}, \displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}\end{cases}$

Δ1. Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής αλλά μη παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0.$

MONAΔΕΣ 6

Δ2. i. Nα βρείτε τα κρίσιμα σημεία της (μονάδες 3).

ii. Nα βρείτε το σύνολο τιμών της (μονάδες 5).

MONAΔΕΣ 8

Δ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle a, b \epsilon \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$ υπάρχει $\displaystyle\xi \epsilon \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$ τέτοιο

ώστε $\displaystyle f\left ( \xi \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

MONAΔΕΣ 5

Δ4. Nα αποδείξετε ότι $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{2}{e}}xf\left ( x \right )dx>\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}}-\left ( \frac{1}{e} \right )^{\frac{1}{e}}$

MONAΔΕΣ 6

ΛΥΣΗ

Δ1. $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ f(x)=\lim_{x\to0^{+}}x^{x}=\lim_{x\to0^{+}}\left ( e^{lnx} \right )^{x}=\lim_{x\to0^{+}}e^{lnx\cdot x}=e^{0}=1$

Φυσικά θεώρησα δεδομένο ότι $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ \left ( lnx\cdot x \right )=0$ , αυτό αποδεικνύεται με τον κανόνα De l' Hospital.

$\displaystyle{ \lim_{x\to0^{-}}f\left ( x \right )={ \lim_{x\to0^{-}}\left ( -x^{3}+3x+1 \right )=1$

'Αρα $\displaystyle{ \lim_{x\to0}f\left ( x \right )=1=f\left ( 0 \right )$

Έτσι η είναι συνεχής στο $x_{0}=0.$

Θα εξεταστεί η παραγωγισιμότητα της στο $x_{0}=0.$

$\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\frac{f\left ( x \right )-f\left ( 0 \right )}{x-0}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{x^{x}-1}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{xlnx}-1}{x}=\lim_{x\to0^{+}}\frac{\left ( e^{xlnx}-1 \right )'}{\left ( x \right )'}=\lim_{x\to0^{+}}\left [ \left ( 1+lnx \right )e^{xlnx} \right ]=$

$\left [ 1+\left (-\infty \right ) \right ]\cdot e^{0}=-\infty$

Έτσι η δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0.$

Δ2.

$f'\left ( x \right ) =\begin{cases}-3x^{2}+3 , -1\leq x< 0 \right ] \\ x^{x}\left ( 1+lnx \right ), \displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}\end{cases}$

Ένα κρίσιμο σημείο για την είναι το $x_{0}=0.$

Θα βρεθούν τώρα οι ρίζες της

Για $-1\leq x< 0$ έχω $f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow -3x^{2}+3=0\Leftrightarrow x=-1$ και

Φυσικά γίνεται δεκτή μόνο η τιμή

Για $\displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}$ έχω

$\displaystyle f'\left ( x \right ) =0\Leftrightarrow x^{x}\left ( 1+lnx \right )=0\Leftrightarrow 1+lnx=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$

To $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{e}$ είναι κρίσιμο σημείο για την

Το δεν είναι κρίσιμο σημείο της , ως άκρο του διαστήματος $\displaystyle \left [ -1,\frac{2}{e} \right ]$

στο οποίο ορίζεται η

Aς δούμε και το πεδίο τιμών της

Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία του τριωνύμου δευτέρου βαθμού , ισχύει ότι

$-3x^{2}+3> 0$ για κάθε με

Άρα $f'\left ( x \right )> 0$ για κάθε $x\epsilon \left ( -1,0 \right ).$

Aυτό σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο $\left [ -1,0 \right ]$

$-1\leq x\leq 0\Rightarrow f\left ( -1 \right )\leq f\left ( x \right )\leq f\left ( 0 \right )\Rightarrow -1\leq f\left ( x \right )\leq 1$

Mπορεί να γραφεί ότι $\left [ -1,0 \right ]\rightarrow \left [ -1,1 \right ]$

Aς δούμε τι γίνεται για τα για τα οποία $\displaystyle 0< x\leq \frac{2}{e}$

Για αυτά ισχύει ότι $f'\left ( x \right )=x^{x}\left ( 1+lnx \right ).$

$\displaystyle f'\left ( x \right )=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{e}$ όπως ήδη γράφηκε.

Ισχύει ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )< 0\Leftrightarrow 0< x< \frac{1}{e}$

και ότι $\displaystyle f'\left ( x \right )> 0\Leftrightarrow \frac{1}{e}< x< \frac{2}{e}$

Έχουμε δει ότι $\displaystyle{ \lim_{x\to0^{+}}\ \left f\left (x \right ) =1$ και εύκολα βρίσκεται ότι

$\displaystyle (0,\frac{1}{e}]\rightarrow [e^{-\frac{1}{e}},1)$ και $\displaystyle \left [ \frac{1}{e},\frac{2}{e} \right ]\rightarrow \left [ e^{-\frac{1}{e}},\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}} \right ]$

Άρα $\displaystyle (0,\frac{2}{e}]\rightarrow [e^{-\frac{1}{e}},1)$

To ζητούμενο πεδίο τιμών, όπως εύκολα καταλαβαίνει κάποιος, είναι το $\left [ -1,1 \right ]$

Δ3.

Πριν γραφεί οτιδήποτε πρέπει να γραφεί ότι η ποσότητα

$\displaystyle \frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$ βρίσκεται μεταξύ των

$f\left ( a \right ),f\left ( b \right )$ όταν $f\left ( a \right )\neq f\left ( b \right )$

Διακρίνω περιπτώσεις:

1η περίπτωση: $f\left ( a \right )\neq f\left ( b \right )$

Οι συνθήκες του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών ικανοποιούνται.

Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon \left ( a,b \right )$ τέτοιο ώστε $\displaystyle f\left ( \xi \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

2η περίπτωση: $f\left ( a \right )= f\left ( b \right )$

Σε αυτήν την περίπτωση $\displaystyle f\left ( a \right )=f\left ( b \right )=\frac{2f\left ( a \right )+3f\left ( b \right )}{5}$

To ζητούμενο $\xi$ είναι το και το

Δ4.

Για κάθε $\displaystyle x \epsilon \left [ \frac{1}{e},\frac{2}{e} \right ]$ ισχύει ότι

Άρα ισχύει

$x^{^{x}}\cdot x> x^{^{x}}\cdot \left ( lnx+1 \right )\Rightarrow xf\left ( x \right )> x^{^{x}}\cdot \left ( lnx+1 \right )$

Συνεπώς $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{2e^{-1}}x\cdot f\left ( x \right )dx> \int_{e^{^{-1}}}^{2e^{-1}}x^{x}\left ( 1+lnx \right )dx\Rightarrow \int_{e^{-1}}^{2e^{-1}}x\cdot f\left ( x \right )dx>\left ( \frac{2}{e} \right )^{\frac{2}{e}}-\left ( \frac{1}{e} \right )^{\frac{1}{e}}$

Φυσικά για τον υπολογισμό του $\displaystyle\int_{e^{^{-1}}}^{2e^{-1}}x^{x}\left ( 1+lnx \right )dx$

ελήφθη υπ' όψιν

ότι $\left ( x^{x} \right )'=x^{x}\left ( 1+lnx \right )$

: Σεπτ. 2022.png (7.32 KiB) Προβλήθηκε 2423 φορές

Δίνω τη γραφική παράσταση της

στη λύση του Τηλέμαχου.

mathematica.gr

Θέματα επαναληπτικών εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2022

Θέματα επαναληπτικών εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2022

Re: Θέματα επαναληπτικών εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2022

Re: Θέματα επαναληπτικών εξετάσεων Σεπτεμβρίου 2022