Σελίδα 1 από 1
Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)
Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 26, 2016 12:10 pm
από dement
Επειδή το θέμα αυτό είναι μάλλον εύκολο (και οπωσδήποτε παρόμοια, αν όχι το ίδιο, έχουμε ήδη δει), προτείνω να ισχύσει κι εδώ ο "κανόνας των 48 ωρών" για τα έμπειρα μέλη του
.
Να προσδιοριστούν οι θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
.
(Και δεν βάζουμε εμείς και τις αρνητικές; Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις!)
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)
Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 26, 2016 4:57 pm
από harrisp
Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.
Γράφουμε την εξίσωση:
.
Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:
Απ΄όπου παίρνουμε τις λύσεις:
και τις αναδιατάξεις τους.
Αν εργαστούμε με παρόμοιο τρόπο θα βρούμε και όλες τις ακέραιες λύσεις που είναι:
και οι αναδιατάξεις τους.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)
Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2016 10:13 am
από dement
Πολύ ωραία, Χάρη. Αν θέλεις γράψε και τις υπόλοιπες ώστε να έχουμε πληρότητα.
Για τόσο μικρούς αριθμούς ίσως γλιτώνει χρόνο μια προσέγγιση brute force (κατά περίπτωση), αλλά η δική σου επιτρέπει τη γενίκευση.
BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με
στη θέση του
;
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)
Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2016 12:46 pm
από Demetres
dement έγραψε:
BONUS: Πόσες λύσεις έχει το αντίστοιχο πρόβλημα με
στη θέση του
;
Όπως και στην λύση του Χάρη καταλήγουμε στην
και έχουμε μια λύση για κάθε διαιρέτη του
. Το
έχει
θετικούς διαιρέτες και άρα
διαιρέτες.
Από αυτές τις λύσεις όμως πρέπει να απορρίψουμε όσες δίνουν
ή
. Υπάρχει μια τέτοια λύση, η
. Οπότε τελικά μας μένουν
αποδεκτές λύσεις.
Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2016-17 (3)
Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 28, 2016 12:49 pm
από Demetres
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Θα γράψω την λύση μου για τις θετικές ακέραιες λύσεις και θα επιστρέψω αργότερα με όλες.
Γράφουμε την εξίσωση:
.
Εχουμε τις εξής περιπτώσεις:
Χάρη, μία διόρθωση.
Έλεγξες τις περιπτώσεις όπου
και
θετικοί ακέραιοι. Έπρεπε όμως να ελέγξεις τις περιπτώσεις όπου
θετικοί ακέραιοι. Η τελική απάντηση τυγχάνει να είναι η ίδια.