mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Οκτ 25, 2014 12:11 am**

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του

.
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του

που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit: 9-11-2014 Πρόσθεσα το σύνδεσμο για τα θέματα.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:19 pm**

18605

Δίνονται τα διανύσματα $\overrightarrow{OA} = 2 \overrightarrow{i} + 4 \overrightarrow{j} , \overrightarrow{OB} = 3 \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} , \overrightarrow{O\Gamma} = 5 \overrightarrow{i} - 5 \overrightarrow{j}$ , όπου $\overrightarrow{i}$ και $\overrightarrow{j}$ είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων x'x, y'y

αντίστοιχα.
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των $\overrightarrow{AB} , \overrightarrow{B\Gamma}$ . (Μονάδες 12)
β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α,Β και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου.

Λύση

α)Έχουμε ότι: $\overrightarrow{OA} = (2,4), \overrightarrow{OB} = (3,1), \overrightarrow{O\Gamma}=(5,-5)$
Οπότε: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3,1) - (2,4) = (1,-3)$
και
$\overrightarrow{B\Gamma} = \overrightarrow{O\Gamma} - \overrightarrow{OB} = (5,-5) - (3,1) = (2 , -6)$

β) Αρκεί τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}$ να μην είναι παράλληλα, ώστε τα Α,Β,Γ να μην είναι συγγραμμικά.
Οπότε αρκεί: $det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}) \neq 0$ .
Όμως $det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma}) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & -6\end{array}\right| = 1 \cdot(-6) - 2 \cdot (-3) = -6 + 6 = 0$
Συνεπώς τα σημεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά οπότε δεν μπορούν να σχηματίζουν τρίγωνο.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:49 pm**

Λύνω το ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ_2_18604.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:25 pm**

18581

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:29 pm**

ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ_2_18600

α) Είναι $\lambda _{\epsilon _{1}}=\frac{6-0}{0-3}=-2$ άρα $\epsilon _{1}: \psi -0=-2\left(\chi -3 \right)$ δηλαδή $\epsilon _{1}: \psi =-2\chi +6$

β) (i) Είναι $\lambda _{\epsilon _{2}}=\frac{1}{2}$ , οπότε $\epsilon _{2}: \psi =\frac{1}{2}\chi$
(ii) Λύνοντας το σύστημα των παραπάνω ευθειών έχουμε $\left\{\begin{matrix} \psi =-2\chi +6\\ \psi =\frac{1}{2}\chi\ \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}\chi =-2\chi +6\\ \psi =\frac{1}{2}\chi \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \chi =\frac{12}{5}$ και $\psi =\frac{6}{5}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:43 pm**

το ΘΕΜΑ 2-18589

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:46 pm**

Καλησπέρα σε όλους. Για τη διευκόλυνση όσων θέλουν να γράψουν λύση στα θέματα, ετοίμασα ένα αρχείο με τις εκφωνήσεις σε Word.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Νοέμ 09, 2014 11:51 pm**

2_18556

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:04 am**

ΕΤΟΙΜΑΖΩ 18598, 18599

GI_V_MATHP_2_18598

Δίνονται τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}=\left( {{\kappa }^{2}}-6\kappa +9,\kappa -3 \right)$ και $\overrightarrow{A\Gamma }=\left( 1,6 \right)$ , όπου $\kappa \in \mathbb{R}$
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }$
(Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τις τιμές του $\kappa$ , ώστε τα διανύσματα $\overrightarrow{AB}$ και $\overrightarrow{A\Gamma }$ να είναι κάθετα.
(Μονάδες 9)
γ) Για $\kappa =1$ να βρείτε το διάνυσμα $\overrightarrow{B\Gamma }$ .
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ
α) Εφαρμόζοντας την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου,έχουμε: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }={{\kappa }^{2}}-6\kappa +9+\left( \kappa -3 \right)\cdot 6={{\kappa }^{2}}-\cancel{6\kappa }+9+\cancel{6\kappa }-18={{\kappa }^{2}}-9.$
β) Ισχύει : $\displaystyle{\overrightarrow{AB}\bot \overrightarrow{A\Gamma }\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A\Gamma }=0\Leftrightarrow {{\kappa }^{2}}-9=0}$
$\Leftrightarrow {{\kappa }^{2}}=9\Leftrightarrow \kappa =3\text{ }\kappa =-3.$
γ) Για $\kappa =1$ είναι $\overrightarrow{AB}=\left( 4,-2 \right)$ και $\overrightarrow{A\Gamma }=\left( 1,6 \right)$
Επομένως: $\overrightarrow{B\Gamma }=\overrightarrow{A\Gamma }-\overrightarrow{AB}=\left( 1,6 \right)-\left( 4,-2 \right)=\left( 1-4,6-\left( -2 \right) \right)=\left( -3,8 \right).$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:08 am**

GI_V_MATHP_2_18600

Θεωρούμε την ευθεία ${\varepsilon _1}$ που τέμνει τους άξονες $\chi '\chi$ και $\psi '\psi$ στα σημεία ${\rm A}\left( {3,0} \right)$ και ${\rm B}\left( {0,6} \right)$ αντίστοιχα.
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ${\varepsilon _1}$ (Μονάδες 8)
β) Αν ${\varepsilon _2}$ είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ${\varepsilon _1}$ , τότε να βρείτε:
i) την εξίσωση της ευθείας ${\varepsilon _2}$ (Μονάδες 9)
ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ${\varepsilon _1}$ και ${\varepsilon _2}$
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:
α) Είναι $\displaystyle {\lambda _{\overrightarrow {{\rm A}{\rm B}} }} = \frac{{6 - 0}}{{0 - 3}} = - 2$ , οπότε η ευθεία ${\varepsilon _1}$ έχει εξίσωση $\displaystyle \psi - 0 = - 2\left( {\chi - 3} \right) \Leftrightarrow \psi = - 2\chi + 6$

β) Αφού $\displaystyle {\varepsilon _1} \bot {\varepsilon _2}$ , θα είναι $\displaystyle {\lambda _{{\varepsilon _1}}} \cdot {\lambda _{{\varepsilon _2}}} = - 1 \Leftrightarrow {\lambda _{{\varepsilon _2}}} = \frac{1}{2}$

Η ευθεία ${\varepsilon _2}$ διέρχεται από το $\displaystyle {\rm O}\left( {0,\;0} \right)$ οπότε έχει εξίσωση $\displaystyle \left( {{\varepsilon _2}} \right):\;\;\psi = \frac{1}{2}\chi$

γ) Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των ευθειών: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \psi = - 2\chi + 6\;\\ \psi = \frac{1}{2}\chi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{2}\chi = - 2\chi + 6\;\\ \psi = \frac{1}{2}\chi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \chi = \frac{{12}}{5}\;\\ \psi = \frac{6}{5} \end{array} \right.$ ,

οπότε το σημείο τομής τους είναι το $\displaystyle {\rm M}\left( {\frac{{12}}{5},\;\frac{6}{5}} \right)$

edit: Κατόπιν εορτής είδα ότι το είχε ήδη λύσει παραπάνω ο Κώστας....

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:14 am**

GI_V_MATHP_2_18598

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:25 am**

ΓΗ_Β_ΜΑΘΠ

-

Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E , Z σημεία τέτοια ώστε:
$\vec{AE}=\frac{2}{5}\vec{A\Delta },\vec{AZ}=\frac{2}{7}\vec{A\Gamma } ,$
α) Να γράψετε τα διανύσματα $\vec{EZ}$ και $\vec{ZB}$ ως γραμμικό συνδυασμό των $\vec{AB}$ και $\vec{A\Delta }$
(Μονάδες )
β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B , Z και E είναι συνευθειακά.
(Μονάδες )

Ενδεικτική λύση

: 2_18604.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 26249 φορές

α) Θεωρώ σημείο αναφοράς το Α
$\vec{EZ}=\vec{AZ}-\vec{AE}=\frac{2}{7}\vec{A\Gamma }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}(\vec{AB }+\vec{A\Delta})-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}\vec{AB }+\frac{2}{7}\vec{A\Delta}-\frac{2}{5}\vec{A\Delta }=\frac{2}{7}\vec{AB }-\frac{4}{35}\vec{A\Delta}=\frac{2}{7}(\vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})$

$\vec{ZB}=\vec{AB}-\vec{AZ}=\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Gamma }=\vec{AB }-\frac{2}{7}(\vec{AB }+\vec{A\Delta})=\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Delta}=\frac{5}{7}\vec{AB }-\frac{2}{7}\vec{A\Delta}=\frac{5}{7}(\vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})$

β) Από τις διανυσματικές σχέσεις του α) ερωτήματος προκύπτει ότι $\vec{EZ} //( \vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})$ και $\vec{ZB} //( \vec{AB }-\frac{2}{5}\vec{A\Delta})$ άρα και τα διανύσματα $\vec{EZ}$ και $\vec{ZB}$ είναι συγγραμμικά μεταξύ τους και επειδή έχουν κοινό άκρο το Ζ , τότε τα σημεία Ε ,Ζ και Β θα είναι συνευθειακά .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:27 am**

GI_V_MATHP_2_18603

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:47 am**

GI_V_MATHP_2_18605

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 1:43 am**

GI_V_MATHP_2_18602

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 2:25 am**

GI_V_MATHP_2_18601

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 3:05 am**

GI_V_MATHP_2_18595

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 3:40 am**

GI_V_MATHP_2_18592

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:09 pm**

2_18556.doc

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 10, 2014 12:12 pm**

Να σας δώσω και εγώ μερικές λύσεις

mathematica.gr

2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ