mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Φεβ 05, 2023 1:35 am**

21653
Στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, το 1ο τεταρτημόριο αντιστοιχεί σε μια θαλάσσια περιοχή και τα υπόλοιπα τεταρτημόρια σε στεριά. Οι ημιάξονες $\displaystyle {\mathrm O}x,{\mathrm O}y$ οριοθετούν ένα λιμάνι. Ένα πλοίο ρυμουλκείται στο λιμάνι, δεμένο με δύο συρματόσχοινα στο ίδιο σημείο $\displaystyle \Pi (\kappa ,\lambda )$ του πλοίου. Το ένα από τα δύο ρυμουλκά είναι σταθερό στο σημείο Ε(2,0) και το άλλο κινείται ώστε η θέση να περιγράφεται από το σημείο $\displaystyle \Rho (-2,\lambda )$ . Η ρυμούλκηση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε χρονική στιγμή της ρυμούλκησης να ισχύει $\displaystyle (\Pi \Epsilon )=(\Pi \Rho )$ .
α) Να αποδείξετε ότι το σημείο $\displaystyle \Rho (-2,\lambda )$ κινείται σε σταθερή ευθεία $\displaystyle (\delta )$ της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
β) Να αιτιολογήσετε γιατί κάθε χρονική στιγμή της ρυμούλκησης είναι $\displaystyle \Pi \Rho \bot (\delta )$ .
γ) Να αποδείξετε ότι η πορεία του $\displaystyle \Pi (\kappa ,\lambda )$ είναι παραβολή $\displaystyle C$ της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
δ) Αν $\displaystyle {{y}^{2}}=8x$ η εξίσωση της παραβολής $\displaystyle C$ να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή η μεσοκάθετος του $\displaystyle \Epsilon \Rho$
εφάπτεται της παραβολής $\displaystyle C$ στο σημείο $\displaystyle \Pi$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 06, 2023 1:21 pm**

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 05, 2023 1:35 am
21653
Στο παρακάτω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, το 1ο τεταρτημόριο αντιστοιχεί σε μια θαλάσσια περιοχή και τα υπόλοιπα τεταρτημόρια σε στεριά. Οι ημιάξονες $\displaystyle {\mathrm O}x,{\mathrm O}y$ οριοθετούν ένα λιμάνι. Ένα πλοίο ρυμουλκείται στο λιμάνι, δεμένο με δύο συρματόσχοινα στο ίδιο σημείο $\displaystyle \Pi (\kappa ,\lambda )$ του πλοίου. Το ένα από τα δύο ρυμουλκά είναι σταθερό στο σημείο Ε(2,0) και το άλλο κινείται ώστε η θέση να περιγράφεται από το σημείο $\displaystyle P(-2,\lambda )$ . Η ρυμούλκηση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε χρονική στιγμή της ρυμούλκησης να ισχύει $\displaystyle (\Pi E )=(\Pi P )$ .
α) Να αποδείξετε ότι το σημείο $\displaystyle P(-2,\lambda )$ κινείται σε σταθερή ευθεία $\displaystyle (\delta )$ της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
β) Να αιτιολογήσετε γιατί κάθε χρονική στιγμή της ρυμούλκησης είναι $\displaystyle \Pi P \bot (\delta )$ .
γ) Να αποδείξετε ότι η πορεία του $\displaystyle \Pi (\kappa ,\lambda )$ είναι παραβολή $\displaystyle C$ της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
δ) Αν $\displaystyle {{y}^{2}}=8x$ η εξίσωση της παραβολής $\displaystyle C$ να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή η μεσοκάθετος του $\displaystyle EP$
εφάπτεται της παραβολής $\displaystyle C$ στο σημείο $\displaystyle \Pi$ .

α) To σημείο

έχει σταθερή τετμημένη

και θετική τεταγμένη, άρα θα κινείται στην ευθεία $\boxed{(\delta):x=-2, y>0}$

β) Προφανώς, $\displaystyle \Pi P||x'x \Leftrightarrow$ $\boxed{\Pi P\bot (\delta)}$

γ) Το $\Pi$ ισαπέχει από το E(2,0)

και από την ευθεία $(\delta),$ άρα εξ ορισμού θα κινείται στην παραβολή $\boxed{C:{y^2} = 2px = 8x}$ (1)

: Καράβια βγήκαν στη στεριά.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 3365 φορές

δ) Η μεσοκάθετος $(\epsilon)$ του

διέρχεται από το μέσο $\displaystyle M\left( {0,\frac{\lambda }{2}} \right)$ και θα έχει συντελεστή διεύθυνσης αντιθετοαντίστροφο

του $\displaystyle {\lambda _{EP}}.$ Οπότε, $\boxed{(\varepsilon ):y = \frac{4}{\lambda }x + \frac{\lambda }{2}}$ (2)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (1)

και

βρίσκουμε $x_1=\dfrac{\lambda^2}{8}$ και

$y_1=\lambda,$ άρα η $(\epsilon)$ τέμνει την παραβολή στο σημείο $\Pi.$ Αλλά, $\displaystyle y = \frac{4}{\lambda }x + \frac{\lambda }{2} \Leftrightarrow y\lambda = 4\left( {x + \frac{{{\lambda ^2}}}{8}} \right) \Leftrightarrow$

$\boxed{y{y_1} = p(x + {x_1})}$ που σημαίνει ότι τελικά η $(\epsilon)$ εφάπτεται της παραβολής στο $\Pi.$

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Φεβ 06, 2023 5:23 pm**

Αλλιώς τα ερωτήματα γ), δ).

γ) $\displaystyle \Pi P = \Pi E \Leftrightarrow {(\kappa + 2)^2} = {(\kappa - 2)^2} + {\lambda ^2} \Leftrightarrow {\lambda ^2} = 8\kappa,$ άρα το $\Pi$ κινείται στην παραβολή με εξίσωση $\boxed{y^2=8x}$

δ) Το $\displaystyle \Pi \left( {\frac{{{\lambda ^2}}}{8},\lambda } \right)$ επαληθεύει την εξίσωση της μεσοκαθέτου $\displaystyle (\varepsilon ):y = \frac{4}{\lambda }x + \frac{\lambda }{2},$ οπότε είναι σημείο της $(\epsilon)$ κι επειδή

$\displaystyle (\varepsilon ):y\lambda = 4\left( {x + \frac{{{\lambda ^2}}}{8}} \right),$ η $(\epsilon)$ θα εφάπτεται της παραβολής στο σημείο $\Pi.$

mathematica.gr

Καράβια βγήκαν στη στεριά ....

Καράβια βγήκαν στη στεριά ....

Re: Καράβια βγήκαν στη στεριά ....

Re: Καράβια βγήκαν στη στεριά ....